成都大学总复习(信号与线性系统)

F(s )
Re(s) 0
性质
时域
时域
df (t)
微分
dt
d 2 f (t)
dt 2
时域
积分
t
f ()d
0
t
f ( )d
复频域
sF(s) f (0 )
收敛域
Re(s) 0
s2F(s) sf (0 ) f (0 ) Re(s) 0
F (s)
s
F(s)
0 f d
s
s
Re(s) max( 0,0) Re(s) max( 0,0)
de(t) dr(t)
t dt
dt t
e( )d r( )d
7）因果性 t 0 : e(t) 0 t 0 : r(t) 0
例1：一连续时间系统输入- 输出关系为
r(t) Te(t) 1 T
tT
t
2 T
e(
)d
2
试确定该系统是否为线性时不变系统。
解： 微、积分系统是线性系统
所以该系统是线性系统
t 0
2.2 单位冲激响应
激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。
(t)
h (t)
求单位冲激响应的一般步骤
a）求传输算子H(p)；
b）如果m≥n, 用长除法将H(p) 化为真分式； c） H(p)部分分式； d） 根据H(p)部分分式的各项，写出单位冲激响应h(t)；
2.3 卷积积分
1) 定义： 积分式： f (t) f1( ) f2 (t )d
解:
当激励e(t)= ε(t) ，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时， 响应
r1(t) rzi(t) rzs(t) =6e-2t -5e-3t
当激励e(t)= 3ε(t) ，初始状态保持不变时，响应
r2 (t) rzi (t) 3rzs (t) =8e-2t -7e-3t
可得 rzs(t) =e-2t -e-3t rzi(t) =5e-2t -4e-3t 所以，响应 r3(t)=rzi(t) =5e-2t -4e-t
s
lim sF (s)
s0
Re(s) max( 1,2) Re(s) 1 2
例1: 已知F (s) (1 es )2，求f (t) ？ s
F(s)
1 s2
(1
2es
e2s
)
f (t) t (t) 2(t 1) (t 1) (t 2) (t 2)
Y 复频域： zs (z) E(z)H (z)
1 连续信号的时域描述及运算
1.1 冲激信号的性质
筛选： f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
取样： f (t) (t t0 )dt
展缩： (at)
1 (t)(a 0)
a
f (t0 )
卷积： f (t) * (t t0 )
系统的描述：线性常系数微分方程
连
续 系
时域： yzs (t) e(t) * h(t)
系
统
系统响应 的求解
频域：
Yzs ( j) E( j)H ( j)
统 分
复频域： Yzs (s) E(s)H (s)
析
系统的描述：线性常系数差分方程
离
散 系 统
系统响应 的求解
时域： yzs (k) e(k) *h(k) 频域： 不作要求
变换对：f (t) F (s)
F (s) f (t)estdt，s ROC 0
f (t) 1
j
F
(s
)e
st
ds,
t
0
2j j
4.2拉普拉斯变换的收敛域
lim f (t)et 0
t
0 (Re(s) 0 )
4.3 拉普拉斯逆变换
利用部分分式法和性质。
i / s si,单阶（D(s) 0无重根）
T
e(t
t0
)
1 T
tT
t
2 T
e(
t0 )d ,令x
t0
2
则：T e(t t0)
1 T
t
t0
T 2
t
t0
T 2
e(
x)dx
1 T
e( )d t
t0
T 2
t
t0
T 2
而r
(t
t0
)
1 T
e( )d t
t0
T 2
t
t0
T 2
T
e(t t0 )
所以该系统是线性时不变系统。
4 1 (t 1)(t 2)dt 0
14
2
注意积 分区间
1. 2 信号的运算
1）折叠：y(t)=f (-t) 2）时移：y(t)=f (t-to) 3）倒相：y(t)=-f (t) 4）展缩：y(t)=f (at) 其中：a>0
当0<a<1时: y(t)展宽到f(t)的 1/a倍;
当a>1时： y(t)压缩f(t) 的1/a倍.
对称特性 微分特性 积分特性 频域的微分积分特性 卷积定理
4、连续时间系统复频域分析
拉氏变换：定义、性质 典型信号拉氏变换 求拉氏逆变换：利用部分分式法及变换性质 复频域系统分析：电路的复频域模型 复频域系统函数：H(s) 系统稳定性判断
4.1单边拉普拉斯变换的定义
对于有始信号，f (t) f (t) (t)
注意：
f (2t 1) 折叠后是 f (2t 1) 不是 f (1 2t)
f (2t) 右移2后是 f (2(t 2)) 不是 f (2t 2) f (2t 4)
f (t 2) 压缩2后是 f (2t 2) 不是 f (2t 4)
例：已知f(1-2t)如图所示，求f(t) 的波形。
③ 结合律 f (t) h1(t) h2 (t) f (t) [h1(t) h2 (t)]
④ f(t)与冲激信号卷积 f (t) (t) f (t) f (t) (t T ) f (t T ) f (t t0 ) (t T ) f (t t0 T )
2.4 求零状态响应的一般步骤
例2： 已知某线性时不变系统：
当激励e(t)= ε(t) ，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时， 响应r1(t)=(6e-2t -5e-3t) ε(t)；
当激励e(t)=3 ε(t) ，初始状态保持不变时，响应 r2(t)=(8e-2t -7e-3t) ε(t)。
求：（1）激励e(t)=0，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时的响应 r3(t)=？ （2）激励e(t)=2 ε(t)，初始状态为零时的响应r4(t)=？
f (1 2t) 1 (2)
折叠
(2) 1 f (2t 1)
01
3 t t t 3 1 0 t
展宽
t1t
(4) 1 f (t)
右移
2
(4) 1 f (t 1)
t t 1
5 1 0 t
6
2 0 t
1. 3 连续时间系统的概念——线性时不变系统
1）齐次性 e(t) r(t) ae(t) ar(t)
An
an
2A
T
Sa( n )
2
3.3 非周期信号的傅里叶变换
傅立叶变换对 f t F j f (t) 1 F ( j)e jtd F 1F ( j)
2
F( j) f (t)e jtdt F f (t)
3.4 傅里叶变换的性质
原函数 象函数
线性性质 延时特性 移频特性 尺度变换特性 奇偶特性
rzi (0 ), r 'zi (0 ), rz(in1) (0 )
4） 将初值带入rzi(t)的通解表达式，求出待定系数。
例1：已知某系统激励为零，初始值r(0)=2， r’(0)=1，r”(0)=0，描述系统的传
输算子为 解：
H(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
D(p) (p 1)(p 3)2 0
ii / s si, p阶重根
F (s) n Dk(si )
i1 s si
确定系数：F (s)
(sf(ts)1)p k1p
n
(s kisepsit1)(t)
i1
k1p-1
(s
sn )
k12
k1
ss F(s) ki
ki
(s s1或)p利用(s洛必s1)塔p-1法则，
lim
求系统的响应 r (t)。
p1 1 p2 p3 3
r0 (t ) c1et c2e3t c3te3t
r0 (0 ) c1 c2 =2 r0(0 ) c1 3c2 c3 =1
r0(0 ) c1 9c2 6c3 =0
c1 6, c2 4, c3 5
系统时域响应为
r0 (t ) 6et 4e3t 5te3t
2）叠加性 e1(t) r1(t) 3）线性 e2(t) r2(t)
e1(t) e2(t) r1(t) r2(t) ae1(t) be2(t) ar1(t) br2(t)
4）时不变性 e(t) r(t) 5）微分性 e(t) r(t) 6）积分性 e(t) r(t)
e(t t0 ) r(t t0 )
称为函数 f1(t)与 f2(t) 的卷积，记作： f (t) f1(t) f2 (t)
2) 卷积积分的计算
① 利用定义计算
② 利用卷积的性质计算 ③ 利用卷积积分表计算
④ 利用图解法计算
i） f1(t), f2(t) f1(), f2() ii） f2 ( ) f2 ( ) （折叠） iii） f2 ( ) f2(t )（平移） iv） f1( ) f2(t ) （相乘）
v）
f1 (
)
f 2( t
)dτ（积分）
3) 卷积积分的性质
① 交换律 f1(t) f2 (t) f2 (t) f1(t)
f1( )
f2(t
)d
f2( )
f1(t
)d
卷积结果与交换两函数的次序无关。
② 分配律 f1(t) [ f2 (t) f3(t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3(t)
r4(t) =2rzs(t) =2e-2t -2e-3t
2、连续时间系统的时域分析
系统传输算子和自然频率 时域零输入响应 连续系统冲激响应与阶跃响应 卷积积分 时域零状态响应：卷积分析法
2.1 求解系统零输入响应的一般步骤:
1）求系统的自然频率； 2）写出零输入响应rzi(t)的通解表达式； 3）根据电路定理求出系统的初始值 ：
2）指数函数集 ejnt n 0,1,2, ,
( t0，t0 +T )
3.2 周期信号的傅里叶级数展开
（1） f(t)为奇函数 正弦分量
（2） f(t)为偶函数 （3） f(t)为奇谐函数 （4） f(t)为偶谐函数
余弦分量+直流分量 奇次谐波 偶次谐波+直流分量
周期信号频谱特点： 1）离散性 :频谱由频率离散而不连续的谱线组成； 2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍； 3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。（不发散）
ssi
确sisD定ski(sp系Ns)p1(数s1)：ssi
s
kn sn
(s s1)2
s s1
ss F(s)
lim
ssi
d ds
ksd1kDsi(sN)p(s1-) k
ds
!
dNp-k (s) dsDp-k(s)
ssi
1
p
ssi
4.4 拉普拉斯变换的基本性质
性质
时域
复频域
收敛域
线性 a1 f1(t) a2 f2 (t)
尺度 f (at), a 0
时移 f (t t0 )(t t0 ) t0 0
a1F1(s) a2F2 (s) 1 F(s) aa est0 F (s)
Re(s) max( 1,2) Re(s) a0 Re(s) 0
频移 et f (t)
信号与线性系统
总复习
内容回顾
• 1、信号分析
时域：信号分解为冲激信号的线性组合
连续信号 频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合
复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
信
号
抽
分
样
析
时域：信号分解为脉冲序列的线性组合
离散信号 频域：不作要求
源自文库
z域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
内容回顾
• 2、系统分析
f (t t0 )
与阶跃的关系： (t ) (t)
例1：计算f (t) sin(t) (t )
2
解：f (t) sin( t) (t )
2
sin( ) (t ) (t )
2
2
2
例2：计算
4
(2 4t)(t 2)dt
1
解：4 (2 4t)(t 2)dt 1
性质
时域
频域
微分
tf (t)
时域 卷积
时域 乘积
初值
终值
f1(t)* f2 (t)
f1(t) f2 (t) f (0 ) lim f (t)
t 0
f () lim f (t) t
复频域
dF (s) ds
收敛域
Re(s) 0
F1(s)F2 (s)
1 2j F1(s) * F2 (s)
lim sF (s)
a）求传输算子H(p)； b）求单位冲激响应h(t) ； c） 计算卷积；
3、连续时间系统的频域分析
完备正交函数集的概念 周期信号的傅立叶级数展开 非周期信号的傅立叶变换 傅立叶变换的性质
3.1 常用完备正交函数集
1）三角正交函数集 cos(nt),sin(nt)
n 0,1,2, ,
( t0，t0 +T )