《随机过程》预备知识习题答案

练习一：预备知识 随机过程练习题

1．设n X X X ,,,21 相互独立同服从参数为λ的指数分布，试用特征函数求∑=n k k X

1的分布。

2．设Y X ,相互独立，（1）若Y X ,分别服从二项分布),(p m B 和),(p n B ，试用特征函数求Y X +的分布；（2）若Y X ,分别服从参数为),(1βα和),(2βα的Γ分布，试用特征函数求Y X +的分布。

3．考虑一元件，其失效时间X 服从参数为λ的指数分布，在时刻T 观察该元件，发现它仍在工作，求剩余寿命的期望值)|)((T X T X E ≥-。

4．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为

⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞->=-其它,

0|,|,21),(x x y e y x f y

（1）证明X 和Y 不相关，不独立；（2）求EY 和）（X Y E |

5．设商店在一天的顾客数N 服从参数1000=λ人的泊松分布，又设每位顾客所花的钱i X 服从)50,100(2N ，求商店的日销售额Z 的平均值。

6．设)(~λP X ，由特征函数求DX EX EX ,,2。

答案：

1．∑=n k k X 1的特征函数为n

it t -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λϕ1)(，即~1

∑=n k k X ),(λn Γ。 2．（1）Y X +的特征函数为()(1)it m n t pe p ϕ+=+-，即),(~p m n B Y X ++； （2）Y X +的特征函数为211)(ααβϕ+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=it t ，即),(~21βαα+Γ+Y X 。 3．λ

1+T 4．（1）0),cov(,0,2,0====Y X EXY EY EX ，故X 和Y 不相关；

⎪

⎩⎪⎨⎧≥<=-0,210,21)(x e x e x f x x X )()()1,2

1(y f x f f Y X ≠，故X 和Y 不独立。 （2）2=EY ，1|||+=X X Y E ）

（ 5．1000001=⋅=EX EN EZ

6．)1()(-=it e

e t λϕ，λλλλ=+==DX EX EX ,,2

2