高考中的数列及函数问题

考察所求式
左边n部分，考虑把右边拆成n部分 令f (n) ln(n 1) n
2(n 1) [ f (n) f (n 1)] [ f (n 1) f (n 2)] ... [ f (1) f (0)] f (0) [ f (1) f (0)] [ f (2) f (1)] ... [ f (n) f (n 1)]
令x
k 1，则ln( k 1)
k
k
k 1 2k
1 2( k 1)
k 1 2k
k 2(k 1)
k
得证。
练习： *1、求证：
证1：
证2：令
再证 再取n=2,3,..,n累加得证。
2、求证：
证：
*3、求证：
证：
此题思想重要！
2n 3(1 1 ) 2n 3得证。 n 1
三、对偶放缩 基本结论：糖水不等式
数列不等式与函数不等式
数列不等式为高中数学的重点和难点，常 出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和 技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行 合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类 问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见 的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到 的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、 对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、 等比放缩、切线放缩等等。
2n 2
*（2）1 1 1 ... 1 2
n1 n 2
3n 1
*（3）n
1 2
1
1 2
...
1 2n 1
n(n
2)
（4）1 1 1 ... 1 2( n 1 1)
23
n
二、函数放缩
函数法即构造函数，利用函数单调性进行 放缩。
基本结论：
*例2、求证：
证1：
证2：
练习：
an
S a1 a2 ... an
(2a1 4a2 ) (4a2 6a3 ) ... (2nan (2n 2)an1 )
(2n 2)an1 2a1 (2n 2)an1 1
同前an
1 S 2n 2 1
2n 1
2n 3
2n 1 1放得太大。
an1
1 2
3 5 (2n 1)(2n 1) 4 6 2n(2n 2)
只需 1 f (n) f (n 1) 2n 1 2n 1 分析法可证。
2n 1
证2：先考虑求和，再考虑裂项放缩。
1 3 5 (2n 1)(2n 1) 2n 1 an1 2 4 6 2n(2n 2) 2n 2 an
(2n 2)an1 (2n 1)an 2nan an an 2(n 1)an1 2nan
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
f (x) 1 或 1
x
x
1 n
n n+1
f (x) 1 或 1
x
x
1 n
n-1 n
*例1、求证：
证：
同理证右。
ln( n 1) 1 ln( n ) n n n 1
练习：
1、求证：
（1） 1 1 ... 1 2
n1 n 2
111 8n 3 8n 1 4n 3
( 1 1 )( 1 1 )0 8n 3 8n 6 8n 1 8n 6
f (n) f (n 1), 所以f (n)减，则需 f (1) m 15
1 1 11 m
14
m
a2 a3 5 9 15
3
正整数m最小值为5.
*例3、求证：
证1：
4n
3,{ 1 an
}前n项和为Sn , 若S2n1
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Sn
m 15
恒成立，
求整数m的最小值。
解： 1 1 ... 1 m 对n N 恒成立，
an1 an2
a2n1 15
令f (n) 1 1 ... 1 ,
an1 an2
a2n1
f (n 1) 1 1 ... 1
an an1
a2n1
f (n) f (n 1) 1 1 1 a2n a2n1 an
3 2
1 2n 3
S 3 2n 2 1 2n 1 1适合。 2 2n 3
四、裂项放缩
裂项放缩是最广泛、最重要的放缩技巧。常见 于积式、分式，根式，二次等结构，基本思想是 转化成差形结构f(n)-f(n-1)累加求和解决问题。 一般思路是配积取倒凑差。
基本结论：
的列项思路：
……
x
1
(a , x 1)
2
g ( x)
a
a 1 x2
1 x
ax2
x 1 x2
a
[ax
(1 a)]( x x2
1)
a[x (1 1)](x 1)
g(x)
a x2
0（或用二次函数图象分析）
g(x)在[1,)增，所以g(x) g(1) 0
f (x) ln x
证（2）：在（1）中
取a 1 ,则 1 x 1 ln x(x 1, 只有x 1取等) 2 2 2x
例1、求证：
证：
例2、求证：
证：
练习：
1、求证：(1
1)(1 3
1 )...(1 5
1 2n
) 1
2n 1 3
证：略。
2、求证：12
13 24
1 3 5 246
...
1
3 2
5 46
(2n 1) 2n
2n 1 1
证1：先通项放缩，再考虑求和。
1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2n
证2：令
再证： 所以：
由
取n=2,3,…,n累加
再证： 构造函数：
*例4、求证：
证：
*例5、求证：
证：两个字母的不等式，可以将其中一个 字母看成变量，另一个看成常数构造函数。
*例6、已知函数 （1）证明： （2）证明：
在
上恒成立；
解（1）：令g(x) f (x) ln x ax a 1 1 2a ln x
注意f (0) 0, 所以只需证1 f (k) f (k 1) k
1 ln(k 1) k ln k k 1
k
2(k 1)
2k
ln( k 1) 1 k k 1 k 1 k k k 2(k 1) 2k 2k 2(k 1)
对照结论 1 x 1 ln x(x 1, 只有x 1取等) 2 2x
an
2 4 6 2n
3 5 7 (2n 1)
an 2
1 2 3 2n 2 3 4 (2n 1)
1 2n 1
an
1 2n 1
考虑右端裂成n份为
2n 1 1 f (n) f (1) [ f (n) f (n 1)] [ f (n 1) f (n 2)] ... [ f (2) f (1)]