运筹学 第4章 整数规划与分配问题

匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
z z
可见它不符合整数条件⑤。 这时 z0 是问题 A 的最优目标函 数值z*的上界，记作z0= z 。 当 x1=0 ， x2=0 ，是问题 A 的一 个整数可行解，这时 z=0 ，是 z*的一个下界，记作 z =0，即 0≤z*≤356。
b x M c x
n n n n i 1 j 1 ij ij i 1 j 1 n n ij n i 1 j 1
ij n
M xij cij xij
i 1 j 1
nM cij xij
i 1 j 1
n
n
故所得最小解就是原问题的最大解。
证明：略。
下面以实例说明匈牙利法的解题步骤：
例2 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成不同 语种说明书所需时间如表4-2所示。问应指派何人去完成 何工作，使所需总时间最少? 表4-2
人 员 任务 英文 日文 德文 俄文 甲 2 15 13 4 乙 10 4 14 15 丙 9 14 16 13 丁 7 8 11 9
重复(1)、(2)两步，可能出现三种情况：
① 效率矩阵每行都有一个打( )号的0元素，此时，令对应 打( )号0元素的xij=1，得到最优解。 ② 打( )号的0元素个数小于m，但未被划去的0元素之间存 在闭回路，这时可顺着闭回路的走向，对每个间隔的0元 素打一( )号，然后对所有打( )号的0元素，或所在行，或 所在列画一条直线。 ③ 矩阵中所有0元素或被划去，或打上( )，但打上( )号的 0元素个数小于m
0 0 5 0
0 8 11 0 2 3 0 11
2 5 0 4
5 4 0 5
第3步：若找出n个独立0元素，就以这些元素对应解矩阵[xij] 中的元素为1，余为0，得最优解。否则，按下列步骤解决 (1) 从第一行开始，若该行只有一个0元素，就对这个元素打 上( )号，对打上( )号0元素所在列画一条直线。若该行没 有0元素或有两个以上0元素(已划去的不计在内)，则转下 一行，依次进行到最后一行。 (2) 从第一列开始，若该列只有一个0元素，就对这个元素打 上( )号，对打上( )号0元素所在行画一条直线。若该列没 有0元素或有两个以上0元素(已划去的不计在内)，则转下 一列，依次进行到最后一列。
分枝定界法思路：对求解最大化的整数规划问题 A ，从 解与它相应的线性规划问题 B 开始，若其最优解不是整 数，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数 的上 z 界，记作 ； A 的任意可行解的目标函数值将是 的一 z z 个下界 。分枝定界法是将 B的可行域分许多子区域 (称 z 为分枝)的方法，逐步减小 和增大 ，最终求得 。 z z z
第4步：为设法使每一行都有一个打( )号的0元素，需要对 矩阵变换。 (1) 从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的数k;
(2) 对矩阵的每行，当该行有直线覆盖时，令 i 0 ,无 直线覆盖的，令 i k ； (3) 对矩阵中有直线覆盖的列，令v j k ，对无直线覆盖
的列，令 v j 0 ;
2 5 0 4
5 4 0 5
0 8 2 5 11 0 5 4 2 3 0 0 0 11 4 5
0 8 0 11 4 5 0 11
0 3 0 2
3 2
0
3

0 0 1 0 0 1 0 0 可见最优解为 xij 0 0 0 1 1 0 0 0 这表示：指定甲译成俄文，乙译成日文，丙译成英文，丁译 成德文，所需总时间最少。
2、逻辑变量在数学模型中的作用
① m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为：
aij x j bi
j 1
n
i 1, 2, , m
定义
1 假定第i个约束条件不起作用 yi 0 假定第i个约束条件起作用
令M 为任意大的正数，则
n aij x j bi Myi j 1 y1 y2 ym m k
证明：将从[bij]中得到的解代入目标函数
z bij xij cij i v j xij
n n n n i 1 j 1
n n
i 1 j 1
cij xij i xij v j xij
i 1 j 1 i 1 j 1 j 1 i 1
max z cij xij
i 1 j 1 m m
可令 bij=M-cij，其中M是足够大的常数(如选cij中最大元 素为M即可)，这时效率矩阵变换为B=(bij)，bij≥0，符合 匈牙利法条件。
目标函数变换后，即解
min z bij xij
i 1 j 1 n n
因为：
n r aij x j bi yi i 1 j 1 y1 y 2 y r 1
上述约束条件可表示为：
§2 分配问题与匈牙利法
2-1 问题的提出与数学模型 某单位需完成 n项任务，恰好有 n个人可承担这些任务。 由于每人的专长不同，完成任务不同，效率也不同。 于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任 务的总效率最高(或所需总时间最小)。这类问题称为分 配问题或指派问题(assignment problem)。 设：用[cij]表示分配问题的效率矩阵，令
1 分配第i个人去完成第 j项任务 xij 0 不分配第i个人去完成第 j项任务
i 1, 2, , n; j 1, 2, , n
当问题要求极小化时，数学模型j 1
n
n
n j 1, 2, , n xij 1 1 i n i 1, 2, , n xij 1 j 1 xij 0 或 1 指派问题是运输问题的特例，即n=m, aj=bi=1。可用 运输问题的解法去求解。根据分配问题的特点，下面给 出匈牙利法。
(4) 从原矩阵的每个元素cij中分别减去 i 和 v j ，得到一个 新的矩阵。 第5步：回到第3步，反复进行，直到矩阵每一行都有一 个打( )号的0元素为止，即找到了最优分配方案。
2 0 8 2 5 2 11 0 5 4 2 3 0 0 0 0 11 4 5 2 2 0 0 2
第4章 整数线性规划
• • • • • §1 整数规划的特点及作用 §2 分配问题与匈牙利法 §3 分枝定界法 §4 割平面法 §5 应用举例
§1 整数规划的特点及作用
1、整数规划的特点 线性规划问题的最优解通常是非整数，但对某些具 体问题，要求解必须是整数。例如，所求解是机器的台 数、完成工作人数等问题，非整数解就不合要求。将非 整数解通过“舍入化整”，不见得是可行解，或虽是可 行解，但不一定是最优解。
因此，求整数最优解问题，有必要另行研究。我们 称此问题为整数线性规划(integer linear programming)， 简称ILP。
整数线性规划中如果所有的变量都限制为(非负)整数， 就称为纯整数线性规划(pure integer linear programming)或称为全整数线性规划(all integer linear programming)； 如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划 (mixed integer linear programming)。
n
n
n
n
cij xij i v j
i 1 j 1 i 1 j 1
n
n
n
n
第一项是[cij]解的目标函数 z，后两项是常数，因而，当 z 达到最小值时，相应地 z 也达到最小值。
定理2 若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部 分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同 行不同列的“0”元素的最大个数。
0 11 2 0 8 0 3 11 2 5 0 4 5 4 0 5
0 11 2 0
8 0 3 11
min zb bij xij 0 min z cij xij c13 c22 c34 c41 28
i j i j
2-3 两点说明
• 人数和任务数不等时的处理方法 若任务数少于人数，处理的办法是增添假想的任务， 使任务数量等于人数，对应效率矩阵中，每个人完成 假想任务时间为0。当任务数多于人数时，可虚设假想 的人来处理。 • 目标函数为极大化问题的处理方法
例：求下列指派问题的最小解
任务 人员 甲 乙 丙 丁 戊
A 12 8 7 15 4
B 7 9 17 14 10
C 9 6 12 6 7
D 7 6 14 6 10
E 9 6 9 10 9
§3 分枝定界法 线性规划问题中，变量x在一个连续的范围内取 值，因此可行解个数有无限多。对整数规划问题，变 量只能取整数值，可行解的总数是有限的。当问题变 量数少时，可使用“穷举法”，将可行的整数解全部 列出来，通过比较得到最优解。但当变量数较大时， 穷举法是不可行的。 有效的方法是仅检查部分可行的整数组合，定 出最优的整数解。分枝定界解法(branch and bound method)就是其中的一种方法。