全等三角形模型(教(学)案)

教学过程

一、课堂导入

【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？

【思考】△ABD≌△ACE

二、复习预习

【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线，为什么？请你说明理由．

【解答】OP平分∠AOB

理由如下：

∵OM=ON，PM=PN，OP=OP

∴△MOP≌△NOP（SSS）

∴∠MOP=∠NOP

∴OP平分∠MON

（即OP是∠AOB的角平分线）

三、知识讲解

考点1

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。

考点2

全等三角形的判定：

所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL

四、例题精析

【例题1】

【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：

AE=BF．

【答案】证明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．

∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，

∵∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAG=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，

BAE CBF AB CB

ABE BCF

∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．

【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直

角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．

【例题2】

【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；

（2）求证：AE⊥CF．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，

∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，

∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，

在△AEB和△CFB中，

AB BC

ABE CBF BE BF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．

（2）延长AE交BC于O，交CF于H，

∵△AEB≌△CFB，∴∠BAE=∠BCF，

∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AOB=90°，

∵∠AOB=∠COH，∴∠BCF+∠COH=90°，

∴∠CHO=90°，∴AE⊥CF

【解析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．

（2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明．

【例题3】

【题干】（2014•顺义区一模）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．

（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：

如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．

【答案】：（1）如图1，以N 为圆心，以MQ 为半径画圆弧；以M 为圆心，以NQ 为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求．

主要根据“SSS”判定三角形的全等．

（2）如图3，

延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．

∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DAC DAC +∠EAC=180°∴∠BAC BCA =∠EAC

在△EAC和△BAC中，

AE CE

AC CA

EAC BCN

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

∴△AECEAC≌△BCA （SAS），∴∠B=∠E，AB=CE

∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB．

【解析】（1）以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F，则△MNF 为所画三角形．

（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC≌△BCA，得：∠B =∠E，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．

【例题4】

出结论，他的结论应是；

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

五、课堂运用

【基础】

1.在平面正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．

（2）BH⊥DE．

【答案】证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，

BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，

∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE，

在△BCH和△DCE中，

BC CD

BCH DCE

CE CH

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH=DE；

（2）∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH=∠CDE，

又∵∠CGB=∠MGD，∴∠DMB=∠BCD=90°，

∴BH⊥DE．

【解析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．