两独立样本t检验与两配对样本t检验的异同

x? y
s
2 X
?
sY2
nm
若 l 非整数时取最接近的整数，则 t* 近似服从自由度是 的
t分布，即t * ~ t ?l ?
拒绝域为：
W
?
? ?
t
*
?
?
t
1?
?
2
?l
???
?
? 例：甲、乙两台机床分别加工某种轴承，轴的直径分别服
从正态分布N ??1,? 2 ? 与N?? 2,? 2 ? ，为检验两台机床加工的轴的
2 1
s
2 y
/?
2 2
~
F
n ? 1, m ? 1
即可选用 拒绝域为
F统计量
W ? {F ? F?
/
2
F
(n ?
?
1,
s
2 x
s
2 y
m?
1)}
作为检验统计量。 或{F ? F1?? / 2 (n ? 1, m ? 1)}
?
2 1
?
?
2 2
当两个正态方差相等时，可把两个样本方
差
s
2 x
与
sY2
合并起来估计同一方差
~ N ????
?
?
2 2
m
????
2，?m22 ???? ，且两者独立，从而
，故在?1 ? ?2
x? y
时?
2 1
?
?
2 2
~ N (0,1)
nm
当
?
2 1
Biblioteka Baidu
与?
2 2
分别用其无偏估计s
2 X
,
sY2
代替后，记t? ?
取
l
?
(s2X n
?
sY2 )2 m
/(n2(snX4?1)
?
m2(smY4 ?1))
sw2
?
?n
?
1?s
2 x
n?
? ?m ? 1?sY2
m? 2
采用如下统计量
t?
x? y
sw
1? 1 nm
拒绝与形式为
W1 ?
? ?t ?
?
? t 1
?
?
n?
2
m
?
2 ???
?
?1 ?2
?
n与m不太大
这是
x
~
N
? ?? ?
?
1，?n12
?
x ? y ~ N ??? 1 ? ?
?
? ??
，y
2?，?n12 ?
两独立样本t检验与 两配对样本t检验的异同
? 1.什么是两独立样本t检验？ ——根据样本数据对两个样本来自的两个 独立总体的均值是否有显著差异进行判断 。
? 2.前提： ①两样本应该是相互独立的；
②样本来自的两个总体应该服从正态分布。
? 3.基本实现思路
? ? 设总体
X1
服从正态分布
N
?1,?
2 1
这是单个正态总体均值是否为0的检验问题。
由于? 未知，因此对此问题用t检验，检验统计连变成 ， t? d
sd / n
其中，d , sd 分别为 d1, d2 ,? , dn 样本均值与样本标准差
。在? ? 0.05
水平上拒绝域{为| t |?
t
1?
?
(n
2
?
1)}
? 例：某企业员工在开展质量管理活动中，为提高产品的 一个关键参数，有人提出需要增加一道工序。为验证这 道工序是否有用，从所生产的产品中随机抽取7件产品，
解：数据之差为：-3.1 -9.8 -6.1 1.4 5.2 -7.8 -4.9
均值与标准差分别为 d ? ? 3 .586 , s d ? 5 .271 检验统计量
d ? 3.586
t ? sd ? 5.271 ? ? 1.80
n
7
? 拒绝域为
? ? t ? ? ? t 0.975 6 ? 2 .4469
平均直径是否一致（取? ? 0.05 ），从各自加工的轴中分别 抽取若干根轴测直径，结果如下：
总体 X（甲） Y（乙）
样本容量 8 7
直径 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9 20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2
解： ， H 0 : ?1 ? ? 2
，总体X 2
服从
正态分布N
??
2
,?
2 2
?
，分别从这两个总体中抽取样
? ? ? ? 本x11 , x12 ,? x1n1
x21 , x22 ,? x2n2
? 1 和? 2
，且两样本相互独
立。要求检验 和 是否有显著差异。
建立假设 ：H0
:?
2 1
?
?
2 2
，H1 :?
2 1
?
?
2 2
两个正态方差
样本未落入拒绝域中，所以在 ? ? 0.05 水平上
还不能认为该道工序对提高参数值有用
? 独立样本的t检验过程用于检验两个独立样本是否来 自具有相同均值的总体，相当于两个正态分布总体的 均值是否相等，即检验假设H 0 : ? 1 ? ? 2 是否成立，此 检验以t分布为理论基础。
? 配对样本检验用于检验两个相关的样本是否来自具有 相同均值的正态总体。即检验假设 H0 : d ? 0 ，实质 就是检验差值的均值和零均值之间的显著性。
| t |?由2.1604
? ? 0.05
于 ，故在
水平上，不能拒绝原假设，因而认
为两台机床加工的轴的平均直径一致。
? 1、什么是两配对样本 t检验？ ——根据样本数据对样本来自两配对总体的均值 是否有显著性差异进行判断。具体分为两种：
①用于同一研究对象分别给予两种不同处理结果；
②对同一研究对象处理结果前后进行比较。
首先测得其参数值，然后通过增加的工序加工后再次测
定其参数值，结果如下表。试问在 ? ? 0.05 水平上能否
认为该道工序对提高参数值有用？
序号 加工前 加工后
1 25.6 28.7
2 20.8 30.6
3 19.4 25.5
4 26.2 24.8
5 24.7 19.5
6 18.1 25.9
7 22.9 27.8
H1 : ?1 ? ? 2
t ? x? y 11
由于两总体方差一致但未知，故用统计量
sw
? nm
在n ? 8, m ? 7,? ? 0.05 时， t0.975 (13) ? 2.1604 ，从而拒绝域{为| t |? 2.1604}
现由样本求得x ? 19.925, y ? 20.143, sw2 ? 0.2425, sw ? 0.4924 ，则t ? ?0.8554 ，
? 2、前提： ①两个样本应是配对的； ②样本来自的两个总体应服从正态分布。
? 3.基本实现思路
设两总体 X ,Y 分别服从正态分布，为实现我们的目的， 最好的方法是去考察成对数据的差di ? xi ? yi , i ? 1,2,? , n 。由于两测量值之差可认为服从正态分布，故di ~ N (? ,? 2 ) ，检验两样本差异转化为检验如下假设H：0 : ? ? 0, H1 : ? ? 0
?
2 1
和?
2 2
常用各自的样本无偏方差
s
2 x
和去
? ? ? ? ? ? s
2 y
估计：
s
2 x
?
1n n ? 1 i?1
xi ? x 2 , sy2 ?
1m m ? 1 i?1
2
yi ? y
由于其差
sx2
?
s
2 y
的分布很难获得，而其商
可由 F分布提供，即
sx2
/
s
2 y
的分布
? ? sx2
/?