计算方法课件10月24-2011

如抛物线 y=a+b+cx2 令 z1=x, z2=x2 得一两个自变量的线性方程 得一两个自变量的线性方程 y=a+bz1+cz2 用多变量数据拟合的方法很容易求解。 用多变量数据拟合的方法很容易求解。
将非线性变量替换为线性， 将非线性变量替换为线性，然后针对新变量 的线性关系做最小二乘拟合的优势与 优势与弊端： 弊端： 优势： 优势：计算简单； 计算简单； 弊端： 弊端：However, the approximation obtained in this
i =1 i =1 k =0 N N m 2
为使误差平方和最小， 为使误差平方和最小，对 α j 求偏导数并令导数值为0：
2∑ ωi ( yi − ∑ α k Pk ( xi )) Pj ( xi ) = 0,
i =1 k =0 N m
j = 0,1,..., m
令
c jk = ∑ ωi Pj ( xi ) Pk ( xi ), c j = ∑ ωi yi Pj ( xi )
L0 ( x ) = 1 L1 ( x ) = − x + 1 L2 ( x ) = x 2 − 4 x + 2 L3 ( x ) = − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ...
Pk ( x) = ak x k + ak −1 x k −1 + ... + a1 x + a0
为k次多项式
加权最小二乘法： 加权最小二乘法：计算误差平方和时， 计算误差平方和时，根据各个数据点 的精度不同， 的精度不同，给每个误差的平方以权数ωi>0. >0 假定有N组实验数据（ 组实验数据（xi，yi） （weight） 每个数据点的误差： 每个数据点的误差：ei = yi − ∑ α k Pk ( xi ), i = 1, 2,..., N
具体形式为： 具体形式为： P0 ( x ) = 1
P 1 ( x) = x 1 P2 ( x ) = (3 x 2 − 1) 2 1 P3 ( x ) = (5 x 3 − 3x ) 2 ...
勒让德多项式的性质： 勒让德多项式的性质：
(1) 正交性： 正交性： m≠n 0, 1 (Pn , Pm ) = ∫ Pn ( x )Pm ( x ) dx = 2 −1 , m=n 2n + 1 (2) 满足递推公式： 满足递推公式：
（正交多项式：orthogonal polynomial）
一. 正交多项式拟合： 正交多项式拟合： 问题的提出
多项式拟合的一般情形： 多项式拟合的一般情形：
y* = α 0 P0 ( x) + α1 P 1 ( x ) + ... + α m P m ( x) = ∑ α k P k ( x)
k =0 m
kx =
π
(sin kx ,cos jx ) = 0 (1,sin jx ) = (1,cos jx ) = 0
π
−
∫π sin
π
−
∫π cos
2
kx = 0 ,
−π
∫ sin
kx =
−π
∫ cos
kx = π > 0 , (sin kx ,sin kx ) = (cos kx ,cos kx ) = π
因为： ： 因为π ∫ sin kx sin jxd x = 0 , ( j ≠ k ) (sin kx,sin jx ) = 0
−π
π
−
∫π co s kx co s
π
− π
jxd x = 0 , ( j ≠ k )
(cos kx ,cos jx ) = 0
∫π sin
2
kx cos jxdx = 0 ,
2 ω ( x ) P j ( x )dx = 1 ∫a b
则为规格化正交多项式。 规格化正交多项式。
3. 常用正交多项式
• • • Legendre 勒让德多项式 Laguerre 拉盖尔多项式 Chebyshev 切比雪夫多项式
（1）Legendre 勒让德多项式
Legrendre多项式： 多项式：在区间[-1, 1]上，权函数=1， 由{1, x, …, xn,…}正交化得到的多项式。 正交化得到的多项式。 简单表达式： 简单表达式：
5.5.多项式数据拟合： 多项式数据拟合： 方法1：直接用最小二乘法， 直接用最小二乘法， 方法2：转换为多变量线性关系做多变量直线拟合的方法。 转换为多变量线性关系做多变量直线拟合的方法。 设函数y=f(x)在n个互异点的观测数据为 xi yi 用n次多项式拟合 y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 做变量替换： 做变量替换：z1=x, z2=x2, z3=x3, …, zn=xn y=an zn+an-1 zn-1+…+a1z+a0, 变为线性关系 然后用多变量数据拟合的方法来处理。 然后用多变量数据拟合的方法来处理。 x1 y1 x2 ….. xn y2 ….. yn
∫
b
a
ω ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
则称 f(x) 与 g(x) 在 [a, b] 上 带权 ω(x) 正交。 正交。 正交函数族： 正交函数族：若函数族 ϕ0(x), ϕ1(x), …, ϕn(x)∈C[a, b] 满足
j≠k 0, (ϕ j , ϕ k ) = ∫ ω ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = a ck ≠ 0, j = k
i =1 i =1
N
N
得正规方程组∑ck=0mjkα k − c j = 0, j = 0,1,..., m
正规方程组
∑c
k =0
m
jk
α k − c j = 0, j = 0,1,..., m
若Pk(x) (k=0,1,…,m)满足： 满足：
N c jk = ∑ ωi Pj ( xi ) Pk ( xi ) = 0 j ≠ k i =1 N c = ω y P ( x ) > 0 j , k = 0,1,..., m ∑ j i i j i i =1
的Pk(x)称为关于权数 ωi 的正交多项式族。 的正交多项式族。
二. 正交多项式族
1. 正交函数族
（orthogonal set of functions）
正交： 正交：设 f(x), g(x) ∈ C[a, b],ω(x) 是 [a, b] 上的权函数， 上的权函数，
若 ( f , g) =
N c jk = ∑ ωi Pj ( xi ) Pk ( xi ) i =1 N c = ω y P ( x ) j , k = 0,1,..., m ∑ j i i j i i =1
则正规方程组化简为： 则正规方程组化简为：
∑c
k =0
m
jk
α k − c j = 0, j = 0,1,..., m
1 dn 2 n P0 ( x ) = 1, Pn ( x ) = n ( x − 1) 2 n ! dx n
因为 d
n
x∈ [-1, 1]，n = 1, 2, …
所以 Pn ( x ) =
dx
2 n ( x − 1) = 2n(2n − 1)⋯ ( n + 1) n
1 n n −1 2 n (2 n − 1) ⋯ ( n + 1) x + a x + ... + a0 n −1 n 2 ( n !)
( n + 1)Pn+1 ( x ) = (2n + 1) x Pn ( x ) − nPn−1 ( x )
（2）Laguerre 拉盖尔多项式
n d Ln ( x ) = e x n ( x n e − x ) x∈ [0, ∞]，n = 0, 1, 2, … dx
表达式： 表达式：
具体表达式： 具体表达式：
Today’s Plan
2010-10-24
上节课重点回顾： 上节课重点回顾：
多变量拟合， 多变量拟合，多项式拟合， 多项式拟合，非线性拟合
今日新内容： 今日新内容：
非线性拟合， 非线性拟合，正交多项式
1
上节课(2010-10-17)重点回顾
谢谢李妮娜同学 带领大家做回顾总结！
2
单变量线性拟合 线性拟合 数据拟合： 数据拟合： 最小二乘法 非线性拟合 非多项式拟合 多变量线性拟合 多项式拟合
4 . （非多项式的） 非多项式的）非线性数据拟合
解决途径: 首先确定为何种非线性关系 然后将非线性关系转换为线性关系. （1）确定为何种非线性关系
• 根据专业知识和经验来确定经验曲线 的近似公式. • 画散点图,根据散点图的分布形状及 特点来选择适当的曲线.
（2）. 将非线性关系转换为线性关系. A. 指数上不含有未知变量： 指数上不含有未知变量： • 通过变量替换将非线性方程转换为线性方程, 转为直线数据拟合问题. B. 指数上含有未知变量： 指数上含有未知变量： • 方程两边取对数， 方程两边取对数，然后变量替换转换为 线性拟合问题。 线性拟合问题。
c jjα j − c j = 0
解为： 解为：
αj =
cj c jj
满足条件
N c jk = ∑ ωi Pj ( xi ) Pk ( xi ) = 0 j ≠ k i =1 N c = ω y P ( x ) > 0 j , k = 0,1,..., m ∑ jk i i j i i =1
B) 若指数上含有待确定的参数a或b，如: 幂函数: y= a xb 指数函数： 指数函数：y = a ebx 则通常会对近似方程两边取对数： 则通常会对近似方程两边取对数： 幂函数: lny = lna +b lnx 指数函数： 指数函数：lny= lna +bx 然后做变量替换转换成线性关系： 然后做变量替换转换成线性关系： lny= lna +bx lny = lnb +b lnx y’=ln y，x’=ln x A=lna y’=A+bx’ y’=ln y， A=lna y’=A+bx