计算方法课件10月24-2011

的Pk(x)称为关于权数 ωi 的正交多项式族。 的正交多项式族。
二. 正交多项式族
1. 正交函数族
（orthogonal set of functions）
正交： 正交：设 f(x), g(x) ∈ C[a, b],ω(x) 是 [a, b] 上的权函数， 上的权函数，
若 ( f , g) =
N c jk = ∑ ωi Pj ( xi ) Pk ( xi ) i =1 N c = ω y P ( x ) j , k = 0,1,..., m ∑ j i i j i i =1
则正规方程组化简为： 则正规方程组化简为：
∑c
k =0
m
jk
α k − c j = 0, j = 0,1,..., m
( n + 1)Pn+1 ( x ) = (2n + 1) x Pn ( x ) − nPn−1 ( x )
（2）Laguerre 拉盖尔多项式
n d Ln ( x ) = e x n ( x n e − x ) x∈ [0, ∞]，n = 0, 1, 2, … dx
表达式： 表达式：
具体表达式： 具体表达式：
i =1 iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1 k =0 N N m 2
为使误差平方和最小， 为使误差平方和最小，对 α j 求偏导数并令导数值为0：
2∑ ωi ( yi − ∑ α k Pk ( xi )) Pj ( xi ) = 0,
i =1 k =0 N m
j = 0,1,..., m
令
c jk = ∑ ωi Pj ( xi ) Pk ( xi ), c j = ∑ ωi yi Pj ( xi )
k =0 m
误差平方和： 误差平方和：
Q(α 0 , α1 ,..., α m ) = ∑ ωi ei2 = ∑ ωi ( yi − ∑ α k Pk ( xi ))
i =1 i =1 k =0 N N m 2
误差平方和： 误差平方和：
Q(α0 ,α1,...,αm ) = ∑ωi ei2 = ∑ωi ( yi − ∑αk Pk ( xi ))
∫
b
a
ω ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
则称 f(x) 与 g(x) 在 [a, b] 上 带权 ω(x) 正交。 正交。 正交函数族： 正交函数族：若函数族 ϕ0(x), ϕ1(x), …, ϕn(x)∈C[a, b] 满足
j≠k 0, (ϕ j , ϕ k ) = ∫ ω ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = a ck ≠ 0, j = k
B) 若指数上含有待确定的参数a或b，如: 幂函数: y= a xb 指数函数： 指数函数：y = a ebx 则通常会对近似方程两边取对数： 则通常会对近似方程两边取对数： 幂函数: lny = lna +b lnx 指数函数： 指数函数：lny= lna +bx 然后做变量替换转换成线性关系： 然后做变量替换转换成线性关系： lny= lna +bx lny = lnb +b lnx y’=ln y，x’=ln x A=lna y’=A+bx’ y’=ln y， A=lna y’=A+bx
如抛物线 y=a+b+cx2 令 z1=x, z2=x2 得一两个自变量的线性方程 得一两个自变量的线性方程 y=a+bz1+cz2 用多变量数据拟合的方法很容易求解。 用多变量数据拟合的方法很容易求解。
将非线性变量替换为线性， 将非线性变量替换为线性，然后针对新变量 的线性关系做最小二乘拟合的优势与 优势与弊端： 弊端： 优势： 优势：计算简单； 计算简单； 弊端： 弊端：However, the approximation obtained in this
5.5.多项式数据拟合： 多项式数据拟合： 方法1：直接用最小二乘法， 直接用最小二乘法， 方法2：转换为多变量线性关系做多变量直线拟合的方法。 转换为多变量线性关系做多变量直线拟合的方法。 设函数y=f(x)在n个互异点的观测数据为 xi yi 用n次多项式拟合 y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 做变量替换： 做变量替换：z1=x, z2=x2, z3=x3, …, zn=xn y=an zn+an-1 zn-1+…+a1z+a0, 变为线性关系 然后用多变量数据拟合的方法来处理。 然后用多变量数据拟合的方法来处理。 x1 y1 x2 ….. xn y2 ….. yn
4 . （非多项式的） 非多项式的）非线性数据拟合
解决途径: 首先确定为何种非线性关系 然后将非线性关系转换为线性关系. （1）确定为何种非线性关系
• 根据专业知识和经验来确定经验曲线 的近似公式. • 画散点图,根据散点图的分布形状及 特点来选择适当的曲线.
（2）. 将非线性关系转换为线性关系. A. 指数上不含有未知变量： 指数上不含有未知变量： • 通过变量替换将非线性方程转换为线性方程, 转为直线数据拟合问题. B. 指数上含有未知变量： 指数上含有未知变量： • 方程两边取对数， 方程两边取对数，然后变量替换转换为 线性拟合问题。 线性拟合问题。
b
则称 {ϕk(x)} 是 [a, b] 上 带权 ω(x) 的正交函数族， 的正交函数族， 若所有 ck=1 ，则称为 规格化正交函数族。 规格化正交函数族。
（normalized）
如：三角函数族 1， cos x，sin x，cos 2x，sin2x，… 是在 [-π, π] 上 的正交函数族
（正交多项式：orthogonal polynomial）
一. 正交多项式拟合： 正交多项式拟合： 问题的提出
多项式拟合的一般情形： 多项式拟合的一般情形：
y* = α 0 P0 ( x) + α1 P 1 ( x ) + ... + α m P m ( x) = ∑ α k P k ( x)
k =0 m
具体形式为： 具体形式为： P0 ( x ) = 1
P 1 ( x) = x 1 P2 ( x ) = (3 x 2 − 1) 2 1 P3 ( x ) = (5 x 3 − 3x ) 2 ...
勒让德多项式的性质： 勒让德多项式的性质：
(1) 正交性： 正交性： m≠n 0, 1 (Pn , Pm ) = ∫ Pn ( x )Pm ( x ) dx = 2 −1 , m=n 2n + 1 (2) 满足递推公式： 满足递推公式：
数据拟合方法一览表
线性关系 直线拟合 多项式拟合 单 变 量 直 线 拟 合 多 变 量 直 线 拟 合 多项 式拟 合的 最小 二乘 法
非线性关系 曲线拟合 非多项式拟合 变量 替换 转换 为直 线拟 合 方程 两边 取对 数转 换为 直线 拟合
变量 替换 为多 变量 直线 拟合
3.4 正交多项式拟合
L0 ( x ) = 1 L1 ( x ) = − x + 1 L2 ( x ) = x 2 − 4 x + 2 L3 ( x ) = − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ...
Today’s Plan
2010-10-24
上节课重点回顾： 上节课重点回顾：
多变量拟合， 多变量拟合，多项式拟合， 多项式拟合，非线性拟合
今日新内容： 今日新内容：
非线性拟合， 非线性拟合，正交多项式
1
上节课(2010-10-17)重点回顾
谢谢李妮娜同学 带领大家做回顾总结！
2
单变量线性拟合 线性拟合 数据拟合： 数据拟合： 最小二乘法 非线性拟合 非多项式拟合 多变量线性拟合 多项式拟合
2 ω ( x ) P j ( x )dx = 1 ∫a b
则为规格化正交多项式。 规格化正交多项式。
3. 常用正交多项式
• • • Legendre 勒让德多项式 Laguerre 拉盖尔多项式 Chebyshev 切比雪夫多项式
（1）Legendre 勒让德多项式
Legrendre多项式： 多项式：在区间[-1, 1]上，权函数=1， 由{1, x, …, xn,…}正交化得到的多项式。 正交化得到的多项式。 简单表达式： 简单表达式：
i =1 i =1
N
N
得正规方程组
∑c
k =0
m
jk
α k − c j = 0, j = 0,1,..., m
正规方程组
∑c
k =0
m
jk
α k − c j = 0, j = 0,1,..., m
若Pk(x) (k=0,1,…,m)满足： 满足：
N c jk = ∑ ωi Pj ( xi ) Pk ( xi ) = 0 j ≠ k i =1 N c = ω y P ( x ) > 0 j , k = 0,1,..., m ∑ j i i j i i =1
因为： ： 因为π ∫ sin kx sin jxd x = 0 , ( j ≠ k ) (sin kx,sin jx ) = 0
−π
π
−
∫π co s kx co s
π
− π
jxd x = 0 , ( j ≠ k )
(cos kx ,cos jx ) = 0
∫π sin
2
kx cos jxdx = 0 ,
Pk ( x) = ak x k + ak −1 x k −1 + ... + a1 x + a0
为k次多项式
加权最小二乘法： 加权最小二乘法：计算误差平方和时， 计算误差平方和时，根据各个数据点 的精度不同， 的精度不同，给每个误差的平方以权数ωi>0. >0 假定有N组实验数据（ 组实验数据（xi，yi） （weight） 每个数据点的误差： 每个数据点的误差：ei = yi − ∑ α k Pk ( xi ), i = 1, 2,..., N
c jjα j − c j = 0
解为： 解为：
αj =
cj c jj
满足条件
N c jk = ∑ ωi Pj ( xi ) Pk ( xi ) = 0 j ≠ k i =1 N c = ω y P ( x ) > 0 j , k = 0,1,..., m ∑ jk i i j i i =1
所以： 所以： (1, 1) =
(sin kx ,sin kx ) = (cos kx ,cos kx ) = π
∫
π −π
dx = 2π
(cos kx ,sin kx ) = (1,cos kx ) = (1,sin kx ) = 0 (cos kx ,cos jx ) = (sin kx ,sin jx ) = (sin kx ,cos jx ) = 0, ( k ≠ j )
manner is not the least square approximation for the original problem, and this approximation can in some cases differ significantly from the least square approximation to the original problem. —Numerical Analysis by R. Burden and D. Faires
1 dn 2 n P0 ( x ) = 1, Pn ( x ) = n ( x − 1) 2 n ! dx n
因为 d
n
x∈ [-1, 1]，n = 1, 2, …
所以 Pn ( x ) =
dx
2 n ( x − 1) = 2n(2n − 1)⋯ ( n + 1) n
1 n n −1 2 n (2 n − 1) ⋯ ( n + 1) x + a x + ... + a0 n −1 n 2 ( n !)
为正交函数族。 为正交函数族。
2. 正交多项式系
设 Pn(x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式， 次多项式，若
j≠k 0, ( Pj , Pk ) = ∫ ω ( x ) Pj ( x ) Pk ( x )dx = a ck ≠ 0, j = k
b
则称 { Pn ( x )}为 [a, b] 上关于权函数ω(x) 的正交多项式系。 多项式系。 若
kx =
π
(sin kx ,cos jx ) = 0 (1,sin jx ) = (1,cos jx ) = 0
π
−
∫π sin
π
−
∫π cos
2
kx = 0 ,
−π
∫ sin
kx =
−π
∫ cos
kx = π > 0 , (sin kx ,sin kx ) = (cos kx ,cos kx ) = π