连续体结构拓扑优化方法评述_夏天翔

第2卷第1期2011年2月航空工程进展
A DV A N CES IN A ERON A U T ICA L SCIEN CE A N D EN GIN EERIN G Vo l 12N o 11Feb 1 2011
收稿日期:2010-12-01; 修回日期:2011-01-20基金项目:教育部长江学者创新团队项目(Irt0906)通信作者:姚卫星,w xyao@
文章编号:1674-8190(2011)01-001-12
连续体结构拓扑优化方法评述
夏天翔,姚卫星
(南京航空航天大学飞行器先进设计技术国防重点学科实验室,南京 210016)
摘 要:连续体结构拓扑优化在优化中能产生新的构型,对实现自动化智能结构设计具有重要意义。

目前,连续体结构拓扑优化方法主要有:均匀化方法、变厚度法、变密度法、渐进结构优化方法、水平集法、独立连续映射方法。

本文首先系统回顾了以上方法的发展历程,介绍了它们的研究现状。

其次,通过对比以上拓扑优化方法对若干典型算例的优化结果,表明以上方法都有较好的减重效果。

最后,对以上方法进行了总结,列出了它们的优缺点和发展方向。

关键词:拓扑优化;均匀化方法;变厚度法;变密度法;渐进结构优化方法;水平集法;独立连续映射方法中图分类号:V 211.7 文献标识码:A
A Survey of Topology Optimization of Continuum Stru cture
Xia Tianx iang ,Yao Weix ing
(K ey L abor ator y of F undamental Science fo r N atio nal Defense -adv anced Design T echno lo gy of F lig ht
V ehicle,Nanjing U niver sity o f A eronautics and A st ronautics,N anjing 210016,China)
Abstract:A s the to po log y optim izat ion o f continuum structure can pr oduce new config ur atio ns during the optim-i zatio n,it is significant for automatic str ucture design.A t present,the most commo nly used t opolo gy o ptimiza -t ion methods of continuum st ructur e ar e:the ho mog enization method,var iable t hickness method,v ariable dens-i t y metho d,evo lutio nar y str uctur al o pt imizatio n met ho d,lev el set metho d,independent co ntinuous mapping method.Firstly,the develo pment pro cesses of above metho ds ar e sy stematically review ed,their cur rent r e -sear ch is br iefly intro duced in this paper.T hen,these methods ar e com par ed and discussed t hr ough a number of typical ex amples.T he typical ex amples show that all of above methods have gr eat abilities to r educe w eig ht.F-i nally ,the adv ant ag es,disadv ant ag es and dev elo pment directio ns of abov e metho ds ar e discussed.
Key words:to po lo gy o ptimization;homog enizat ion metho d;va riable thickness method;var iable density method;evolutionar y structure optimization metho d;lev el set method;independent continuo us mapping method
0 引言
按照设计变量的不同,结构优化可分为以下三个层次:尺寸优化、形状优化和拓扑优化。

结构拓
扑优化能在给定的外载荷和边界条件下,通过改变结构拓扑使结构在满足约束的前提下性能达到最优。

与尺寸优化、形状优化相比,结构拓扑优化的经济效果更为明显,在优化中能产生新的构型,是
结构实现自动化智能设计所必不可少的。

按照优化对象的性质,拓扑优化可分为离散体拓扑优化和连续体拓扑优化两种。

连续体拓扑优化与离散体拓扑优化相比,在应用范围更广的同
时,模型描述困难,设计变量多,计算量大。

在过去很长一段时间里,连续体拓扑优化发展得十分缓慢,直到1988年Bendso e 等人[1]
提出均匀化方法之后,它才得到了迅速发展。

目前,国内外学者对结构拓扑优化问题已经进行了大量研究[2-9]。

目前最常用的连续体拓扑优化方法有均匀化方法、变厚
度法、变密度法、渐进结构优化方法(ESO)、水平集法(Level set)、独立连续映射方法(ICM)等。

从拓
扑优化方法的基本思路来看,可以将它们分为两类:(1)改变优化对象的材料特性,主要包括均匀化方法和变密度法。

均匀化方法将结构变成多孔材料,而变密度法改变了结构的密度。

(2)改变优化对象的几何形状,主要包括变厚度法、ICM 法、ESO 法、水平集法。

变厚度法改变平面单元的厚度,而ICM 法和ESO 法通过删除或者增加单元。

近年来,拓扑优化在飞机设计领域应用日益广泛[10-14]。

本文首先介绍了以上几种优化方法的基本模型、改进模型和应用,然后用这些方法对三个典型算例进行了优化和分析比较,并进行了讨论。

1 拓扑优化方法回顾
1.1 均匀化方法
1988年,Bendsoe 等人提出了均匀化方法,虽
然最初此方法在作者看来是一种形状优化方法。

其基本思想是在拓扑优化中引入所谓微结构,该方法以空孔尺寸为设计变量,以空孔尺寸的消长实现微结构的增删,从而改变结构拓扑。

均匀化方法含有矩形或正方形孔的正方形单元,如图1
所示。

¹
º
» ¼
图1 四种微结构形式F ig.1 Four kinds of micr ostructure
Bendso e 给出了以结构柔度最小为目标的拓扑优化模型 find a i (i =1,2,,,n) min C
s.t .V [V max
(1)
式中:a i 为微结构中正方形孔的边长(如图1所示);C 为结构柔度;V 为结构实际体积;V max 为给
定的结构最大体积。

Bendsoe 还对比分析了的四种微结构形式,结果发现:增加变量可以提高计算精度,但不能明显减小优化结果的柔度;增加孔的旋转角度变量可以在一定程度上减小中间值的存在。

因此,为了保证计算精度往往最多为每个单元设置三个变量。

由于Bendsoe 使用了数学规划法求解,变量增多会造成求解更加复杂费时。

运用以上的优化模型,Bendsoe 对受单一工况作用的平板进行了拓扑优化设计。

之后,Diaz 等人
[15-16]
在均匀化法中引入权重因子,解决了多工
况下的平面结构拓扑优化和频率优化问题。

O-l ho ff [17]
基于CAD,将拓扑、形状、尺寸优化进行了
整合。

Sigm und [18]
将均匀化方法运用到复合材料设计中,通过对微结构进行拓扑优化得到了有良好力学特性的复合材料。

针对上述情况,一些学者对均匀化方法进行了改进。

Suzuki 等人[19]
采用形式四的微结构形式,推导出a 、b 、H 的迭代公式,然后使用优化准则法求解,从而使模型求解更加简单。

Bendsoe 等人[1]运用平滑处理消除结果中的孔洞,使优化结果更为光滑。

均匀化方法提出之后,连续体拓扑优化得到了迅速发展。

该方法理论严谨、直观,在早期连续体拓扑优化中起到了重要作用。

近年来,国内外学者
主要将其用于柔性机构拓扑优化设计[20-26]和复合
材料拓扑优化设计[27-29]
中。

1.2 变厚度法
变厚度法以单元厚度为设计变量,通过删除厚
度处于尺寸下限的单元实现结构拓扑的变更。

其优化模型如下: find h i (i =1,2,,,n) min V =E n
i=1
h i s
i
s.t.
R i [
R
h i I (0,h 0)(2)
式中:h i 为第i 个单元的厚度;s i 为单元的面积;R i 为第i 个单元的应力;h 0为单元厚度的上限。

基于变厚度法,Tenek 等人[30]对薄壳结构进行
2航空工程进展 第2卷
了拓扑优化的研究;程耿东等人[31]对平面膜结构进行了拓扑优化的研究;周克民等人[32]对平面体拓扑优化进行了总结,提出用变厚度有限单元求解平面连续体拓扑优化问题;王健等人[33]研究了具有应力和厚度约束的平面结构拓扑优化问题。

变厚度法避免了均匀化方法中构造微结构的麻烦,因此可以较为方便地解决平面拓扑优化问题。

但是,由于它把拓扑变量挂靠在低层次的单元厚度上,将连续体拓扑优化问题转化为广义尺寸优化问题,因此无法运用于三维结构中。

1.3变密度法
Mlejnek等人[34]根据均匀化方法提出了变密度法。

其基本思想:定义取值范围为[0,1]的相对密度L,将优化目标用相对密度L的显性函数表示,然后运用数学规划法或优化准则法求解。

Mlejnek给出了以结构柔度最小为目标,以质量保留百分比为约束的变密度拓扑优化模型
find L i(i=1,2,,,n)
min m ax
1[j[p
C j
s.t.E n
i=1
L i Q0V0i
m0
[A
0[L i[1(3)
式中:L i为第i个单元的相对密度;p为工况总数; Q0为单元原始密度;V0i为第i个单元的体积;m0为所有单元取原始密度时的结构总质量,可定义为结构原始质量;A定义为质量保留百分比,是优化结果的结构质量与结构原始质量的比值。

运用以上模型,M lejnek成功解决了多工况下平面和立体结构的拓扑优化问题。

变密度法主要存在以下几点不足:
(1)由于优化过程中不直接删除材料,所以单元的相对密度在[0,1]上均有分布。

对于具有中等大小相对密度(即中间密度)的单元,是否删除就变得难以抉择;
(2)以柔度最小为优化目标,在解决含有强度和刚度约束的优化问题时不够方便;
(3)对于优化结果,需要人为设置阀值,将相对密度小于阀值的单元删除。

对于第一点不足,可通过人为给定相对密度与弹性模量的插值函数关系来减少中间密度去解决。

根据插值函数的类型分为SIM P模型[35]和RAM P 模型[36]两种。

SIM P模型采用幂函数,而RAM P 模型采用有理函数形式。

大量工作证明,通过选取合适的插值函数,不仅可以有效减少中间密度的出现,还可以简化优化模型,减少计算时间。

对于第二点不足,Lin[37]等人提出了一种体积约束适应算法(AVC),使体积约束在优化过程中可以根据强度条件等的满足情况自行改变。

变密度法理论严密,Bendsoe等人[38]已经证实了其物理意义的存在,变密度法应用实例较多。

早期,Yang等人[39]使用变密度法对发动机部件进行了拓扑优化。

随着Nastran、ANSYS等商用CAE 软件开发出基于变密度法的拓扑优化模块,设计人员利用变密度法进行拓扑优化的算例日益增多[40-42],如夏天翔[43]完成了复杂机翼接头的拓扑优化。

1.4独立连续映射方法(ICM法)
1998年,隋允康[44]提出了ICM法。

其基本思想:使用在[0,1]上连续变化的拓扑变量t i表征第i 号单元的有与无;建立拓扑变量与约束的函数关系,在每步迭代中求出所有单元的t i,然后依据某种删除准则将t i小于阀值的单元从结构中删除;之后对改变后的结构进行下一步迭代分析直到收敛。

以结构重量最小为目标的多工况应力约束下的拓扑优化模型如下[45]:
find t i(i=1,2,,n)
min W=E n
i=1
t A i W0i
s.t.R ij[t B i R0i(j=1,2,,p)
0[t i[1(4)
式中:R ij为j工况下第i个单元的应力;p为工况总数;A、B为常数。

之后,隋允康等人[46-49]提出了含位移和屈曲约束的ICM模型;彭细荣等人[50]提出频率约束下的ICM模型;叶红玲等人[51]基于ICM法对三维连续体结构进行了拓扑优化设计;隋允康等人[52-54]根据独立连续拓扑变量概念,建立了桁架和平面膜结构拓扑优化的有无复合体模型;隋允康等人[55]在Nastran及Patran的二次开发环境下,对位移
3
第1期夏天翔等:连续体结构拓扑优化方法评述
约束、频率约束、位移及频率约束、简谐载荷激励下动位移幅值约束等拓扑优化进行了研究,证明了ICM 法在处理静力问题及动力问题的拓扑优化都是可行的。

由于该方法对每个单元单独设置变量,隋允康
[3]
提出运用对偶理论将模型进行转换从而
降低求解规模,提高求解效率。

目前已有将ICM 法运用于工程的实例
[56-57]。

1.5 渐进结构优化方法(ESO 法)
1993年,Xie 等人[58]提出了ESO 法。

其主要思想:通过逐步将无效或者低效的材料从模型中删除,使结构最终趋于符合一定工程要求的优化结构。

Xie 等人
[59]
提出了解决以结构重量最小为目
标,多工况应力约束下拓扑优化问题的优化步骤:
(1)在给定的荷载和边界条件下,定义设计区域,在其上划分有限元网格;
(2)在每个工况下,对结构分别进行静力分析;
(3)求出每个工况下单元的Vo n M ises 的应力R ij 和最大的单元应力R max j 。

若单元的Von M -i ses 应力在所有工况下均满足
R ij
R max j
[RR n
(5)
则认为该单元处于低应力状态,可从结构中删除。

其中,RR n 称为第n 步迭代中的删除率。

以上有限元分析和单元删除重复进行,直到上面的不等式无法满足。

然后引进另一个参数ER ,将删除率修改为:
RR n +1=RR n +ER n =0,1,2,,
(6)
(4)重复第(2)~(3)步,直到某个工况下的最大应力达到许用应力。

基于以上删除准则的ESO 法可称为传统ESO 法。

Zhou 等人[60]提出传统ESO 法在某些情况下会得到非最优解。

为解决这一问题,Xie 等人引入敏感数的概念,敏感数表示删除某个单元对约束或目标函数的影响程度。

基于敏感数删除准则的ESO 法成功解决了含应力、刚度、屈曲约束和自
然频率最大的多工况拓扑优化问题
[61-65]。

ESO 法
的改进还有很多,如引入结构效率度量标准(PI)的ESO 法[66]
、逆适应方法[67]
、双向ESO 法(BE -SO)[68-69]、与遗传算法相结合的GESO [70]
、与SIM P 模型相结合的ERPM 法[71]
、基于单元材料属性更改的EPCM [72]、基于应变能的ESO 法[73]、含有周长约束的BESO 法[74]
等。

其中,最重要的改进方法是Q uerin 等人提出的BESO 法。

BESO 法的一次循环中,结构中不仅有单元被删除,某些已经删除的单元也可以复原。

通过对比可以发现,ESO 法与BESO 法的优化结果相似,但后者效率更高。

ESO 法原理简单,算法实现方便,物理概念明确,与现有的有限元分析软件可以很好结合。

因此,它的应用实例很多[75-79]。

然而,由于ESO 法是一种演化方法,所以它的迭代次数较多,计算效率较低。

此外,虽然T anskanen [80]讨论了ESO 的理论基础,但是它的算法收敛性还没有得到证明。

1.6 水平集法
水平集的概念由Osher 等人[81]于1988年提出,但直到2000年才由Sethian 等人[82]运用到结构拓扑优化中。

其基本思想:将平面或三维结构表达为一个高一维水平集函数5(x ,t)的零水平集5(x ,t)=0,如图2所示。

图2 水平集函数Fig.2 L ev el set function
上图中,左侧的阴影部分8是待优化的平面结构,它内部含有一个孔洞8。

其边界#(x ,t)在优化过程中不断变化。

基于水平集的思想,建立右侧所示的水平集函数5(x ,t),它表示了一个比8高一维的外形随时间变化的三维实体。

它具有这样的性质:5(x ,t)=0所表示的曲面在任何时刻都等于8。

Sethian 研究了以重量最轻为优化目标,具有柔度约束的平面结构拓扑优化问题。

通过改变水平集函数使结构在边界应力大的地方向外扩张,即增加材料;在边界应力小的地方向外收缩,即去除
4航空工程进展 第2卷
材料。

之后,Wang等人[83]和Allaire等人[84]对水平集拓扑优化进行了较为系统的研究和扩展。

Wang 证明了水平集拓扑优化的关键是计算一个含有速度场的H amilton-Jacobi方程
55(x,t)
5t+Ñ5(x,t)d x
d t
=0(7)
而Allaire引入形状导数,建立了H amilton-Jaco bi方程同形状导数之间的关系,然后建立了与Wang相同数学模型。

以上的水平集法都归为传统水平集法。

它有以下三点不足:
(1)对于二维问题时,结构在优化过程中不能自动产生新孔。

对于这一现象,H uang等人[76]给出了解释:空间问题不同于平面问题,由于表面的曲面运动,在优化过程中可以产生新的孔洞;
(2)由于传统水平集法是一种边界演化方法,所以它的收敛速度往往较慢;
(3)每步迭代结束时要重新计算水平集函数5(x,t),需要消耗大量计算时间。

为了解决以上传统水平集法的不足,不少学者对其进行了改进[85-92]。

水平集法作为一种较为年轻的拓扑优化方法受到越来越多的重视。

该方法原理简单,过程形象直观,优化结果的边界光滑清晰。

由于水平集法诞生时间不长,故将其应用实例较少[93-94]。

2经典算例对比
任何一种拓扑优化方法的提出,都需要用算例来验证。

下面给出了三个在文献中频繁出现的经典算例,对比了不同拓扑优化方法的表现。

由于各拓扑优化方法的改进方法层出不穷,为方便比较,仅选择最具代表性的文献中的算例。

2.1悬臂梁
由于长宽比的不同会导致不同的优化结果,所以悬臂梁可分为两种:(1)短悬臂梁(L[H);
(2)长悬臂梁(L>H)。

下面就这两种情况分别进行讨论。

2.1.1短悬臂梁
短悬臂梁结构如图3所示,其中H U2L,其右端面中点处受到竖直方向的集中力载荷作用。

图3短悬臂梁
Fig.3Sho rt cantilever
不同方法下的短悬臂梁优化后的拓扑结构如图4所示[19,31,34,55,68,83]。

由于该问题较为简单,所以各方法的优化结果都是与竖直方向夹45b角且相互垂直的桁架结构。

均匀化方法变厚度法变密度法
ICM法BESO法水平集法
图4短悬臂梁优化结果
Fig.4Optim izat ions of short cantilever
2.1.2长悬臂梁
长悬臂结构如图5所示,其中L U2H,其右端面中点处受到竖直方向的集中力作用。

图5长悬臂梁
F ig.5L o ng cantilever
5
第1期夏天翔等:连续体结构拓扑优化方法评述
不同方法给出的长悬臂梁的拓扑结构如图6所示
[19,32,55,76,89,95]
,优化结果的质量保留百分比列
于如表1
所示。

均匀化方法(50步) 变厚度法(6步
)
变密度法(12步) IC M 法(32步
)
BES O 法(33步)
水平集法(30步)
图6 长悬臂梁优化结果
Fig.6 O pt imizatio ns of long cantilever
由上图可以看出,各优化方法给出的拓扑结构是相同的,但是均匀化方法有较严重的棋盘格式现象;水平集法的优化结果的边界很光滑,这是因为它作为一种边界演化方法,可以保证结构在优化过程中一直具有光滑的边界;变厚度法中,由于矩形单元在迭代中可退化为三角单元,所以结果的边界也较为光滑。

各方法的迭代步数如图6所示,从中可以发现各方法的收敛速度已有明显不同。

2.2 MBB 梁
MBB 梁最早由德国MBB 公司为解决/空中客车0大型客机机舱地板梁的设计问题而提出,问题描述如图7所示。

问题要求梁腹板上预留用于
铺设电缆和管道等设备的孔洞。

图7 M BB 梁
F ig.7 M BB cantilever
不同方法的优化结果[17,31,61,83,96,97]如图8所示。

均匀化方法 变厚度法
变密度法 ICM 法
BE SO 法
水平集法
图8 M BB 梁优化结果
Fig.8 O ptimizations of M BB cantilev er
由上图可以看出,使用变密度法、ICM 法和水平集法可以得到边界清晰、规则的结构;而均匀化方法和ESO 法所得的结果有严重的棋盘格式问题;变厚度法得到的拓扑结构不够规则,而且其右下角与其他方法的结果相比缺少一部分材料。

2.3 三个经典算例的对比
不同方法优化结果的质量保留百分比如表1所示。

表1 三个典型算例结果的质量保留百分比T able 1 Per centag es o f remaining mass o f abo ve
thr ee t ypical ex amples
单位:%算例短悬臂梁
长悬臂梁
M BB 梁均匀化方法255542变厚度法243660变密度法604040ICM 法283440ESO 法105025水平集法
30
40
30
3 分析讨论
下面就基本思想、优化模型、优化结果、方法的
不足与改进等方面对上述六种优化方法的总结如表2所示。

6航空工程进展 第2卷
表2优化方法总结
T able2Summar y of abov e optimizatio n met ho ds
方法基本思想
优化模型
设计变量优化目标约束条件
优化结果的拓扑特点
均匀化方法优化过程中以空孔尺寸的消长实现微
结构的增删,从而改变结构拓扑。

微结构空孔
尺寸与取向
柔度最小体积约束含有大量孔洞
变厚度法在迭代收敛后,通过删除厚度处于尺寸
下限的单元实现结构拓扑的变更。

平面单元厚度体积最小应力约束只能是平面结构
变密度法在迭代收敛后,通过删除相对密度低于
某一阀值的单元来改变结构拓扑。

单元相对密度柔度最小体积约束
边界呈锯齿状;会出现棋盘格式等
数值不稳定问题
ICM法每步迭代中删除拓扑变量小于阀值的
单元,直到迭代收敛。

单元拓扑变量重量最轻
应力、位移、屈
曲、频率等
边界呈锯齿状;会出现棋盘格式等
数值不稳定问题
ESO法逐步将低效材料从结构中删除,使其趋
于符合一定工程要求的优化结构。

表征单元有无
的状态变量
多种目标
应力、位移、屈
曲、频率等
边界呈锯齿状;会出现棋盘格式等
数值不稳定问题
水平集法通过改变高一维的水平集函数来改变
结构拓扑,直到符合一定工程要求。

表征单元有无
的状态变量
多种目标
柔度、体积、
位移等
边界光滑;对平面结构进行优化时
难以产生新的孔洞
由上表可以看出:
(1)均匀化方法和变密度法的优化目标为柔度最小,这在通常以重量最轻为目标的结构优化设计中显得不够实用。

ESO法和水平集法适用于多种优化目标,如重量最轻、固有频率最大、柔度最小等,因此它们的适用范围更广;
(2)变密度法只能应用于平面结构的拓扑优化中,这极大得限制了它的应用。

将均匀化方法运用于三维结构设计时,计算量会大幅增加,因此它一般也只应用于平面结构;
(3)由于ESO法和水平集法是边界演化方法,与其他几种方法相比,计算效率较低;
(4)水平集法优化结果的结构边界相当光滑,其优化结果可以直接使用数控加工方法制造。

对其经过进一步改进,有可能实现自动化智能设计。

而其他方法的优化结果的结构边界都呈现锯齿状。

因此,若要将它们的优化结构制造出来,必须首先进行曲线或曲面拟合。

目前,本文提及的各优化方法经过诸多学者的改进,对简单规则的结构都可以给出很好的优化结构,然而它们在处理实际的工程问题时还存在很多不足。

结合飞行器设计的具体要求,提出几点连续体拓扑优化的发展方向:
(1)优化中需进一步解决诸如棋盘格式、网格依赖、局部最优解等问题[98-99];
(2)飞行器结构通常受力形式复杂,有限元模型庞大,这样会导致拓扑优化的设计变量过多,计算时间过长。

因此,针对连续体结构拓扑优化的快速分析方法,如无网格法[100-102]、并行计算等需要进一步发展;
(3)拓扑优化需进一步考虑诸如可靠性、疲劳寿命、制造成本、几何形状等约束;
(4)复合材料在航空航天结构上的应用日益增多,然而目前的拓扑优化方法都没有考虑复合材料结构。

因此,下一步需要发展能有效处理复合材料结构的拓扑优化方法。

由于连续体结构拓扑优化应用领域广泛,潜力巨大,国内外越来越多的学者投入到该领域的研究中。

随着连续体结构拓扑优化的成熟,结构自动化智能设计必将成为现实。

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