第六讲 简单的二元二次方程组
大学二年级求解二元二次方程组
大学二年级求解二元二次方程组二元二次方程组是指含有两个变量的两个二次方程的方程组。
在大学数学中，求解二元二次方程组是一个基础且重要的知识点。
本文将介绍如何求解二元二次方程组，帮助大学二年级的学生更好地掌握这个知识。
一、二元二次方程组介绍二元二次方程组一般形式为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0,a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 0.其中，a₁、b₁、c₁、d₁、e₁、f₁、a₂、b₂、c₂、d₂、e₂、f₂为已知系数。
二、求解方法常用的方法有代入法和消元法两种。
下面将分别介绍这两种方法的步骤。
代入法的步骤如下：1. 选其中一个方程，用其中一个变量表示出另一个变量。
2. 将表示出的变量代入另一个方程，得到一个只含有一个变量的一元二次方程。
3. 解这个一元二次方程，得到一个或两个解。
4. 将得到的解代入刚才选定的方程中，求出另一个变量。
5. 得到方程组的解。
消元法的步骤如下：1. 直接或间接通过变换，使得两个方程的系数相等，或者相差一个常数倍。
2. 将两个方程相减，消去一个变量，得到一个一元二次方程。
3. 解这个一元二次方程，得到一个或两个解。
4. 将得到的解代入其中一个原方程，求出另一个变量。
5. 得到方程组的解。
三、示例接下来，通过一个具体的例子来演示如何求解二元二次方程组。
例题：2x² + 5xy - 3y² + 4x + 7y - 6 = 0,3x² - 4xy + 6y² - 2x - 9y + 5 = 0.解法：1. 选取第一个方程，用它表示出x。
2x² + 5xy - 3y² + 4x + 7y - 6 = 0,移项得：2x² + (5y+4)x + (6-7y+3y²) = 0.则：x = (-5y-4 ± √((5y+4)²-4*2*(6-7y+3y²)))/(2*2).2. 将x代入第二个方程，得到一个一元二次方程。
二元二次方程组的解法
代入消元
x y a 2.对于形如 的二元二次方程组的解法，我们可 xy b 以借助一元二次方程根与系数的关系来求解 。
3.基本步骤： ⑴ 代入消元，将方程转化为一元二次方程
⑵ 解一元二次方程得两根
⑶ 代入方程，求得原方程组的解 4. 注意：方程组的解的书写格式
作业：
解下列方程组
• 1．将方程组中的二元一次方程变形为一 个未知数用另一个未知数表示的代数式. • 2．将所得的代数式代入二元二次方程中 得到一个一元二次方程。 • 3．解一元二次方程求出一个未知数的值。 • 4．将所求的值代入由1所得的式子求出 另一未知数的值。 • 5．写出方程组的解。
练习： 解下列方程组
⒈ y = x－2 x2＋y2 = 6 ⑴ ⑵ ⒉ 2y－3x = 1 ⑴ 13x2－8xy＋3 = 0 ⑵
练习:⒈下列方程中是二元二次方程的是
A x2 1 0 y2 B
（ B ）
x y2 0
x y 2
2 1 1 x y
y 1 C x 2
A
D
⒉下列方程组中，是二元二次方程组的是 （ C ）
x y 2x
2 2
B
x y 1
C
x y 4y 2
2 2
x y 5
的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。
二元二次方程的一般形式是：
ax bxy cy dx ey f 0
2 2
（a、b、c不同时为零）。其中 ax 、bxy、cy 叫做二次项，dx、ey叫做一次项，f叫做常数项。
2
2
观察；下面的两个方程组 x2－2xy＋y2－4x＋y－15=0 x－2y＋1=0 x2－ y2 =10 x2－3xy＋2y2=0 第一个方程组：是由一个二元二次方程和一个二元一次方程 组成的。 第二个方程组： 是由二个二元二次方程组成的 像这样的方程组叫做二元二次方程组。
初高中数学衔接第6课时简单的二元二次方程组的解法举例(学生版) -
第6课时简单的二元二次方程组的解法举例（1）二元二次方程及二元二次方程组观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.定义②：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：都是二元二次方程组.（2）二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。
由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.例1 解方程组：例2解方程组：7 10x y xy +=⎧⎨=⎩例3解方程组：⎩⎨⎧==+2522xy y x强化练习：1. 解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩2. 解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩3. 解方程组⎩⎨⎧==+2522xyy x4. 解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩5. 解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩6.解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩7. 方程组⎩⎨⎧-=+-=++4553131532222y xy x y xy x8. 解方程组⎩⎨⎧=+=+---25043432222y x y x y xy x。
初高中衔接——二元二次方程组求解讲义
知识梳理二元二次方程组的含义：二元二次方程组是指由两个未知数构成，且未知数的最高次数至少有一个为二次的方程组.其一般形式可以表示为：{a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0a2x2+b2xy+c2y2+d2x+e2y+f2=0.其中，a i,b i,c i,d i,e i,f i(i=1,2)为常数，且a1,b1,c1或a2,b2,c2不同时为零.二元二次方程组的求解思想：二元二次方程组的求解思想主要是“消元”与“降次”.消元，即通过一定的方法减少未知数的个数.例如，可以利用代入消元法或加减消元法，将两个未知数中的一个用另一个表示，从而将方程组转化为只含有一个未知数的方程.降次，是指降低方程中未知数的次数.通过对方程进行变形、因式分解、配方等操作，将二次方程转化为一次方程来求解.二元二次方程组的求解原理：二元二次方程组的求解原理主要基于等量代换和方程变形.通过对其中一个方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后将其代入另一个方程，实现消元，把二元转化为一元.对于二次方程，利用配方法、因式分解等手段将其变形为乘积形式，从而降低方程的次数，达到求解的目的.其本质是利用数学的恒等变形和等量关系，逐步简化方程组，求出未知数的值，使得方程组中的两个方程同时成立.二元二次方程组的求解方法及步骤：1.代入消元法代入消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，然后代入另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
2.加减消元法加减消元法也是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
3.因式分解法因式分解法是解决二元二次方程组的一种特殊方法。
其基本思想是将方程组中的两个方程进行因式分解，然后将因式分解后的式子相乘，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再求出另一个未知数。
-二元二次方程组
二元二次方程组知识点含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或 把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值； ⑤写出答案．(2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7． ∴ 原方程组的解是：11114774x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或．说明：(1) 对于这种对称性的方程组x y axy b +=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩．【例3】已知方程组⎩⎨⎧+==+--21242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。
数学解二元二次方程组的方法与应用
数学解二元二次方程组的方法与应用主题：数学解二元二次方程组的方法与应用引言：在数学中，方程组是一种常见的问题形式，它描述了多个未知数之间的关系。
本节课将介绍解二元二次方程组的不同方法，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
1. 二元二次方程组的定义- 二元二次方程组由两个二次方程组成，每个方程中含有两个未知数。
- 一般形式为：A1x^2 + B1y^2 + C1xy + D1x + E1y + F1 = 0A2x^2 + B2y^2 + C2xy + D2x + E2y + F2 = 02. 消元法解二元二次方程组- 通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为一元二次方程。
- 分别解得两个未知数的值，获得方程组的解。
3. 代入法解二元二次方程组- 将一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数形式。
- 将该表达式代入另一个方程中，得到一个一元二次方程。
- 解该一元二次方程，得到未知数的值，进而求得方程组的解。
4. 矩阵法解二元二次方程组- 将方程组的系数矩阵与未知数矩阵相乘，得到一个矩阵方程。
- 根据矩阵方程的解法，求得未知数的值，获得方程组的解。
5. 二元二次方程组的应用- 解决实际问题中的多元关系，例如物理、经济等领域。
- 通过解方程组，求得问题的最优解、极值点等。
- 解方程组的方法也被广泛应用于数值计算、图形计算等领域。
6. 实例分析：用解方程组求解最优化问题- 以某企业生产两种产品为例，讨论如何确定生产的最优方案。
- 建立利润函数和约束条件，转化为二元二次方程组。
- 根据解方程组的方法，求得最优的生产方案。
小结：解二元二次方程组是数学中的一个重要问题，通过不同的解法可以求得方程组的解。
在实际应用中，掌握解方程组的方法可以解决更多的问题，为决策提供科学依据。
通过本节课的学习，相信同学们已经掌握了解二元二次方程组的方法与应用，能够在实际问题中灵活运用。
第六讲 简单的二元二次方程组(必上)
解：(1) –(2)3 得： x2 xy 3(xy y2 ) 0
即 x2 2xy 3y2 0 (x 3y)(x y) 0
∴ x 3y 0或x y 0
x 3y 0 x y 0
∴
原方程组可化为两个二元一次方程组：
xy
一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转 化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．
2x y 0
(1)
【例
1】解方程组
x
2
y2
3
0
(2)
分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得 y 2x ，代入方程(2)消去 y ．
练习
A组
x y2 6
(1)
y
x
x y 1
(3)
2
x
2
3xy
y2
5
2．解下列方程组：
x y 3 (1) xy 2
3．解下列方程组：
x(2x 3) 0
(1)
y
x2
1
(x y 2)(x y) 0
(3)
x
5 3
2． (1)
x1
y1
1 2
,
x2 y2
2 1
x1 7 x2 3
, (2) y1
3, 2 y2
7 2
二元二次方程组详细步骤
二元二次方程组详细步骤二元二次方程组是指包含两个变量和两个方程的方程组。
解决这类方程组需要一系列的步骤和方法。
本文将详细介绍解决二元二次方程组的步骤。
步骤1：理解二元二次方程组首先，我们需要理解什么是二元二次方程组。
二元二次方程组可以用以下形式表示：ax^2 + bx + c = 0dx^2 + ex + f = 0其中，a、b、c、d、e、f 是已知常数，而 x 是未知变量。
我们的目标是找到满足同时满足两个方程的 x 的值。
步骤2：使用消元法消除 x 的系数为了简化方程组，我们可以使用消元法。
首先，我们选择一个系数（a 或 d）的绝对值较大的方程，并使其系数为正数。
然后，通过将两个方程相互相减，消除x 的系数。
例如，假设我们选择消除 x 的系数 a。
我们可以将第二个方程乘以 a 并减去第一个方程，得到一个新的方程组：ax^2 + bx + c = 0(ad)x^2 + (ae)x + (af) = 0(ax^2 + bx + c) - (ad)x^2 - (ae)x - (af) = 0 - 0这样，我们就消除了 x 的系数，并得到了一个新的方程组。
步骤3：化简方程组接下来，我们需要将方程组化简为一元二次方程。
通过将方程组中的项合并，我们可以得到一个一元二次方程。
继续上面的例子，我们可以将方程组化简为：(ax^2 - adx^2) + (bx - aex) + (c - af) = 0 - 0化简得到：(a - ad)x^2 + (b - ae)x + (c - af) = 0现在，我们得到了一个一元二次方程。
步骤4：求解一元二次方程一元二次方程可以用以下标准形式表示：px^2 + qx + r = 0我们需要使用一元二次方程的求解方法来找到 x 的值。
这可以通过使用求根公式来实现：x = (-q ± √(q^2 - 4pr)) / (2p)使用这个公式，我们可以求解出 x 的两个值。
初中数学二元二次方程组解法
2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程22260x xy y x y 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y 222220,560.x y x xy y 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．例1 解方程组22440,220.x y x y 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．解：由②,得x ＝2y ＋2，③把③代入①,整理,得8y 2＋8y ＝0，即y(y ＋1)＝0．解得y 1＝0，y 2＝－1．把y 1＝0代入③, 得x 1＝2；把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．所以原方程组的解是①②112,0x y ，220,1.x y 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．例2 解方程组7,12.xy xy ①②解法一：由①，得7.xy ③把③代入②，整理，得27120yy 解这个方程，得123,4y y ．把13y 代入③，得14x ；把24y 代入③，得23x ．所以原方程的解是114,3x y ，223,4.x y 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程27120z z 的两个根，解这个方程，得3z，或4z ．所以原方程组的解是114,3;x y 223,4.x y练习1．下列各组中的值是不是方程组2213,5x y x y 的解?（1）2,3;x y （2）3,2;x y （3）1,4;x y （4）2,3;x y 2．解下列方程组:（1）225,625;y x x y （2）3,10;x y xy （3）221,543;x y y x （4）2222,8.y x x y。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组二元二次方程组是指由两个二次方程组成的方程组。
二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
二元二次方程组则是由两个二次方程组成的方程组，其中每个方程都有两个未知数。
解二元二次方程组的一种常见方法是将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。
具体步骤如下：假设我们有以下二元二次方程组：方程组1：a1x^2+b1y^2+c1xy+d1x+e1y+f1=0方程组2：a2x^2+b2y^2+c2xy+d2x+e2y+f2=0我们可以先将方程组1转化为关于x的一元二次方程。
假设我们固定y的值为y0，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于x的一元二次方程：a2x^2+b2y0^2+c2xy0+d2x+e2y0+f2=0解这个一元二次方程，可以得到两个解x1和x2。
将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与y0相关的解y1和y2。
重复以上步骤，我们可以固定x的值，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于y的一元二次方程：a1x0^2+b1y^2+c1x0y+d1x0+e1y+f1=0解这个一元二次方程，可以得到两个解y3和y4。
将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与x0相关的解x3和x4。
我们得到了四个解(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)，它们是原方程组的解。
当然，这只是解二元二次方程组的一种方法，还有其他方法可以求解。
无论使用哪种方法，都需要注意方程的特殊情况，例如方程没有解或有无穷多解的情况。
二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，可以使用不同的方法求解。
解二元二次方程组需要将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。
解二元二次方程组需要仔细分析方程的特殊情况，并注意求解过程中的计算准确性。
二元二次方程组定义
二元二次方程组定义
【实用版】
目录
1.二元二次方程组的定义
2.二元二次方程组的解法
3.二元二次方程组的应用
正文
【二元二次方程组的定义】
二元二次方程组是指包含两个未知数的二次方程组，一般形式为：ax + by = c
dx + ex + f = 0
其中，a、b、c、d、e、f 都是已知数，且 a、d≠0。
这里的二次方程是指未知数的最高次数为 2 的方程，而二元是指方程组包含两个未知数。
【二元二次方程组的解法】
解二元二次方程组有多种方法，其中比较常见的方法有代入法、消元法和韦达定理。
1.代入法：先从一个方程中解出一个未知数，然后将其代入另一个方程，从而将二元二次方程组转化为一个一元二次方程。
2.消元法：通过加减消元或乘除消元，将二元二次方程组转化为一个一元二次方程。
3.韦达定理：对于二次方程 ax + by = c，其解的和与积分别满足以下关系：
x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a
通过韦达定理，我们可以求得二元二次方程组中未知数的和与积，从而进一步求得解。
【二元二次方程组的应用】
二元二次方程组在实际生活中有广泛的应用，例如在物理、化学、地理、经济等领域。
一个典型的例子是求解两个物体在重力作用下的运动轨迹，可以建立一个二元二次方程组来描述这个问题。
此外，在图像处理中，二元二次方程组也可以用来求解图像的坐标点。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
解决这种方程组的关键是找到方程组的解。
一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。
5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。
二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。
例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组二元二次方程组【教学内容】简单的二元二次方程组【教学目标】1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解。
*2、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
3、通过解简单的二元二次方程组，使学生进一步理解“消元”“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识。
【知识讲解】1、形如x 2+y=2，x 2+y 2=0,3x 2+2y 2+1=0，4x 2–4xy+y 2+2x –y –12=0这些整式方程，每个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次都是2，像这样的含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次是2的整式方程，称为二元二次方程。
关于x 、y 的二元二次方程式的一般形式是ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0（a 、b 、c 不全为零）其中ax 2、bxy 、cy 2叫做方程的二次项，dx 、ey 叫做方程的一次项，f 叫做常数项。
2、我们所研究的二元二次方程组一般由两个方程联立而成，其中一个是二元二次方程，另一个可能是二元二次方程、二元一次方程、一元二次方程或一元一次方程。
二元二次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元二次方程组的解。
求解二元二次方程组的基本思想是消元或降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次，因此，通过消元或降次可以将其转化为二元一次方程组或一元二次方程甚至一元一次方程，以便求解。
例如在解方程组x –2y –1=0 (1)时，注意到(1)可以转化为x=2y+1(3)，将(3)式代入(2)–4x －y+1=0(2)即可消去(2)中的未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程。
我们把这种解方程组的方法叫代入消元法。
而在解方程组=+-=+)2(065)1(202222y xy x y x 时，显然无法直接使用代入法求解，但由于方程（2）可分解为(x –2y)(x –3y)=0即x –2y=0或x –3y=0，这样一来，原来的二元二次方程立即转化为两个二元一次方程，通过因式分解降低了方程的次数。
寒假初二数学第六讲二元二次方程组
第六讲 二元二次方程组、列方程（组）解应用题 新课预习【知识要点】1、二元二次方程（组）：含有两个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程（组）；二元二次方程的一般式：0=+++++22f ey dx cy bxy ax （abc 不全为零，abd 不全为零，bce 不全为零）； 二次项：2ax 、bxy 、2cy ；一次项：dx 、ey ；常数项：f ； 【注】二元二次方程概念注意点：（1）二次项的类型有三，xy 项也是二次项； （2）含x 项和含y 项的最高次数未必均为2； 【注】二元二次方程组概念的注意点：（1）要看整个方程组中是否含有概念所描述的项，而不是看方程；（2）每一个方程未必都是二元二次方程，甚至可能是一元方程或一次方程（元数或次数不超过2）； 2、二元二次方程的解：满足方程的一组未知数的值； 二元二次方程组的解：方程组中各方程解的公共解； 3、二元二次方程组的解法【典型例题】【例】说出下列方程的类型（1）0=-+12y y （2）0=7++2y x （3）1=+2y x （4）0=xy （5）1=++122y x xy【例】说出下列方程组的类型（1）⎩⎨⎧2=-1=+y x y x （2）⎩⎨⎧2=-1=+2222y x y x （3）⎩⎨⎧2=-1=+22y x y x （4）⎩⎨⎧2=1=+xy y x二元方程组 一元方程（5）⎩⎨⎧2=-1=2y x x （6）⎩⎨⎧2=1=22y x （7）⎩⎨⎧2=1=2y x （8）⎩⎨⎧2=1=y xy【例】二元二次方程0=++y x xy 有几组解？二元二次方程是否一定有无数组解？请举例说明；【例】写出一个二元二次方程（组），使该方程（组）有一个解为⎩⎨⎧2-=1=y x【例】解下列方程组（1）22141x y x y -=⎧⎨+=⎩； （2）223062x y x xy y x +=⎧⎨--=⎩；【例】解下列方程组（1）2222520x y x xy y ⎧+=⎨--=⎩； （2）2244100x y y xy ⎧+--=⎨=⎩ （3）22222420x xy y x xy y ⎧++=⎨+-=⎩（4）222249041291x y x xy y ⎧-=⎨++=⎩ （5）2221()2()30x y x y x y ⎧-=⎨----=⎩【巩固练习】 一、填空&选择1、下列方程组中，不是二元二次方程组的是………………………………………（ ）A ．⎩⎨⎧1=1=22y xB ．⎩⎨⎧1=0=2y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧1=+1=1-12222y x y x D ．⎩⎨⎧1=0=y xy2、写出一个以⎩⎨⎧3=1-=y x 为一组解的二元二次方程_________写出一个以⎩⎨⎧2=1=y x 为一组解的二元二次方程组________3、解方程组(2)(1)⎩⎨⎧9=+2+1=-2222y xy x y x 的可行方法是………………………………（ ） A ．将（1）式分解因式 B ．将（2）式分解因式 C ．将（1）（2）式都分解因式 D ．加减消元4、将二元二次方程组(2)(1)⎩⎨⎧0=---1=4+4-2222y x y x y xy x 化为四个二元一次方程组是 ___________________，____________________，___________________，___________________ 二、解下列方程1．⎪⎩⎪⎨⎧21=-212=2-2122y x y x 2．22227650x xy y x xy y ⎧++=⎨-+=⎩三、已知24x y =⎧⎨=-⎩及0x y =⎧⎨=⎩是方程22()()5x a y b +++=的两个解，求实数a,b 的值四、如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧2-=-21=-2y x a y x 没有实数解，求a 的取值范围。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组(3课时)一、教学目标1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。
2、掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解。
3、通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元”“降次”的方法，了解“转化”的数学思想方法。
4、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
5、通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元”、“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识。
二、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
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简单的二元二次方程组在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．所以，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都能够用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 分析：因为方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相对应的未知数的 值；⑤写出答案．(2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，能够消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这个点切记．【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩分析：本题能够用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，能够把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解．解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7．∴ 原方程组的解是：11114774x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或． 说明：(1) 对于这种对称性的方程组x y axy b+=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩．二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组方程组中的一个方程能够因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例3】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩ 分析：注意到方程225()x y x y -=+，可分解成()(5)0x y x y +--=，即得0x y +=或50x y --=，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．解：由(1)得：225()0()()5()0()(5)0x y x y x y x y x y x y x y --+=⇒+--+=⇒+--=∴ 0x y +=或50x y --=∴ 原方程组可化为两个方程组：2222504343x y x y x xy y x xy y --=+=⎧⎧⎨⎨++=++=⎩⎩或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：3124123416,,61x x x x y y y y ⎧⎧==-==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎪⎪⎩⎩说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程能够通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【例4】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们能够消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就能够转化为例3的类型．解：(1) –(2)3⨯得：223()0x xy xy y +-+= 即 22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=∴ 300x y x y -=+=或∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩．用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩． 说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例5】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩分析：(1) +(2)2⨯得：2()36 (3)x y +=，(1) -(2)2⨯得：2()16 (4)x y -=，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或，(1) -(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或． 解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．说明：对称型方程组，如22x y a x y b ⎧+=⎨+=⎩、22x y a xy b⎧+=⎨=⎩都能够通过变形转化为x y mxy n +=⎧⎨=⎩的形式，通过构造一元二次方程求解．2．可消二次项型的方程组【例6】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩分析：注意到两个方程都有xy 项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．解：(1) 3(2)⨯-得：313 1 (3)x y y x -=⇒=- 代入(1)得：212(31)33311x x x x x x -+=⇒=⇒==-或．分别代入(3)得：1224y y ==-或．∴ 原方程组的解是：12121124x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解． 二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．A 组1．解下列方程组：(1) 26x y y x⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩(3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy +=-⎧⎨=⎩(2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩(2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩(3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩(4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩4．解下列方程组： (1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩(2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩B 组1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩(2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩(2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩4．解下列方程组： (1) 2252x y xy ⎧+=⎨=-⎩(2) 22410x y x y +=⎧⎨+=⎩简单的二元二次方程组答案A 组1．212121121212832043(1),,(2),,(3),(4)3 2 223 3x x x x x x x y y y y y y y ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪=-===⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪=-==⎪⎪⎪⎩⎩⎩2． 121212121232(1),,(2),2 1 2 3 x x x x y y y y =-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎩⎩ 3．23112121312122371320112,,(2),,(3),,3315211144x x x x x x x y y y y y y y ⎧=⎧⎧⎧⎧⎪=-==-=--==⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=-==+=-⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩=-=-=⎩⎩⎪⎩23414414231120122,(4),,,2011022x x x x x y y y y y ⎧⎧==⎪⎪===⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩． 4．(1) 123412342222,,,2222x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪==-==-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩．(2)43x y =⎧⎨=⎩．B 组1．1122122175154(1),,(2),4 1 3 3 2x x x x y y y y ⎧=-⎪=-==⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨===⎩⎩⎩⎪=-⎪⎩ 2．121212127312(1),,(2),372 1 22x x x x y y y y ==-⎧⎧==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩3．1234341222(1),22x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩3124123400(2),,22x x x x y y y y ⎧⎧====⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎪⎪⎩⎩4．312412341212(1),,,1221x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩，121213(2),3 1 x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩。