第六讲 简单的二元二次方程组

简单的二元二次方程组

在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．所以，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．

含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．

一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都能够用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．

【例1】解方程组22

20 (1)

30 (2)

x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 分析：因为方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：2

2

(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或

把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．

∴原方程组的解是：111111

22

x x y y ==-⎧⎧⎨

⎨

==-⎩⎩或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：

①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；

②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；

④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相对应的未知数的 值；

⑤写出答案．

(2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，能够消去x ，变形

得21x y =-，再代入消元．

(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这个点

切记．

【例2】解方程组11 (1)

28 (2)

x y xy +=⎧⎨

=⎩

分析：本题能够用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，能够把x 、y 看成是方程

211280z z -+=的两根，则更容易求解．

解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程2

11280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7．

∴ 原方程组的解是：1111

47

74x x y y ==⎧⎧⎨⎨

==⎩⎩或． 说明：(1) 对于这种对称性的方程组x y a

xy b

+=⎧⎨

=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造

方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．

(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨

=⎩，则必有解7

4

x y =⎧⎨=⎩．

二、由两个二元二次方程组成的方程组

1．可因式分解型的方程组

方程组中的一个方程能够因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．

【例3】解方程组2222

5() (1)

43 (2)

x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩ 分析：注意到方程22

5()x y x y -=+，可分解成()(5)0x y x y +--=，即得0x y +=或

50x y --=，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．

解：由(1)得：

225()0()()5()0()(5)0x y x y x y x y x y x y x y --+=⇒+--+=⇒+--=

∴ 0x y +=或50x y --=

∴ 原方程组可化为两个方程组：2222

50

4343

x y x y x xy y x xy y --=+=⎧⎧⎨

⎨++=++=⎩⎩或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：

3124123416,,61x x x x y y y y ⎧⎧==-==⎧⎧⎪⎪⎨

⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎪⎪⎩⎩

说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程能够通过因式分解，化为两个二元

一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．

【例4】解方程组22

12 (1)

4 (2)

x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩

分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们能够消去常数项，可得到一个二

次三项式的方程．对其因式分解，就能够转化为例3的类型．

解：(1) –(2)3⨯得：2

2

3()0x xy xy y +-+= 即 2

2230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=

∴ 300x y x y -=+=或

∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22

300

,44

x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩．

用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233

,11

x x y y ==-⎧⎧⎨

⎨

==-⎩⎩． 说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．

【例5】解方程组2226 (1)

5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩

分析：(1) +(2)2⨯得：2

()36 (3)x y +=，(1) -(2)2⨯得：2

()16 (4)x y -=，分别分

解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．

解：(1) +(2)2⨯得：2

2

2

236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或，

(1) -(2)2⨯得：2

2

2

216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或． 解此四个方程组，得原方程组的解是：

3124123

41515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．

说明：对称型方程组，如22x y a x y b ⎧+=⎨+=⎩、22x y a xy b

⎧+=⎨=⎩都能够通过变形转化为x y m

xy n +=⎧⎨=⎩的

形式，通过构造一元二次方程求解．

2．可消二次项型的方程组

【例6】解方程组 3 (1)

38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩

分析：注意到两个方程都有xy 项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．