《几何与代数》 科学出版社 习题解析第一章
高等代数与解析几何1~4章习题答案(DOC)
高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
几何和代数科学出版社习题解析第一章
四. (A) 1(9,10), 2(8,9,10) (B) 9,11,12
假期休闲思考题 1. 你能在15分钟内从下图找到多少个 等边三角形？最多有21个哦，找找看！
2. 你又能从上图找到几个正六边形呢？ 只有2个，你一定会找到的！相信自己！
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题一(B)：
4. (1)
55 53
23 21
2 r1 r2 53
2 21
02 c1 c2 32 21
= 64.
习题解析
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
1 x 1 1 1
4(6)． D
1 1
1 x 1 1 1 y
1 1
1 1 1 1 y
解1：化为上三角形行列式
二. 行列式的主要计算方法
1. 化为三角形行列式
2. 箭形行列式
* ... *
AO
AB
... ... O
CB
*O*
3.
行列式按行(列)展开
n
aik Ajk
=
k=1
|A|, i = j 0, i j
4. 降阶递推法
5. 分解行列法
§1.4 线性方程组的求解
1.矩阵的初等行变换
ri rj , ri k, ri+krj 2. 阶梯阵与行简化阶梯阵 主元为1，主列为ej
解： 任取两个元素xi, xj,
xi, xj必在排列x1,x2,…,xn和xn, xn1,…,x1中的一个
构成逆序，
因此这两个排列的逆序数之和为
n
2
nn 1
2
几何与线性代数(第一章 几何空间中的向量)
一、研究对象及特点
1、主要围绕一个问题: 解线性方程组； 2、研究的对象是离散，一个个的，不是连续的。
比如方程组，矩阵等等。
3、很困难的一门课： 抽象，不容易理解。 4、很容易的一门课：
解决问题的方法单一，步骤固定，程序化。
5、几何与代数关系： 代数给几何提供方法；几何给代数提供直观。
则 || M0M || ???
思考2：如何找出两平面交线上的点 M0 ( x0 , y0 , z0 )
思考3：三个平面的位置关系
对 三 元 一 次 方 程 组 的 求解 ， 实 质 上 是 求 三 个 平 面 的交 点 问 题
1 : a1 x b1 y c1z d1 0, n1 (a1 , b1 , c1 ) 2 : a2 x b2 y c2z d2 0, n2 (a2 , b2 , c2 ) 3 : a3 x b3 y c3z d3 0, n3 (a3 , b3 , c3 )
一般式方程：ax+by+cz+d=0 (a2+ b2+ c20)
例：三点式方程
确定平面的条件：三个不共线的点
已 知 ：P1( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ), P3 ( x3 , y3 , z3 )
则 可 化 为 过 平 面 任 一 点P( x, y, z)，
定理： 向量 , 共线，则存在不全为零的数k1,k2 ,使得 k1 k 2 0
特别地，当|| || 1时， || ||（同向） || ||（反向）
逆否命题：设 不平行与，且k1 k2 0，
则k1 k2 0
2.共面： 平行于同一平面的向量
定理： 三 个 向 量 , ， 共 面
几何与代数习题参考答案_一二三章
8 −3
四、解：因为 (α × β ) ⋅ γ = 0
2 −1 = 63 ≠ 0, 3
1
2 2
所以 α , β , γ 不共面，
以这三个向量为棱所作的平行六面体体积 V = (α × β ) ⋅ γ = 63 。 ----------直接用混合积计算体积,判断共面性.
五、解：由于 α , β 不共线，向量 α , β , γ 共面，则可设 γ = xα + y β , 而
关于参考答案的说明
1、 2、 3、 4、 本答案仅仅具有参考作用，因为不少题目或许有多种解法，此处不过是给 了其中一种。况且偶尔也会出现错误。 有时应该相信自己。如果你能清楚说明为什么自己是正确的，则你已成功。 对自己的答案不太确定时，想办法证明自己对或不对，这种能力更为重要。 不可能每件事情都有现成的答案在那里等你参考、核对。 当你思考题目该怎么做？这样想、那样想对不对等诸如此类的问题时，不 知不觉中，你已在进步。所以重要的是想，是思考。
所以当 a = 7, b ≠ 5 时方程组无解； 当 a = 7, b = 5 时方程组有无穷多解。 三、解：根据方程式，得到方程组
⎧ 6 x1 = x3 ⎧ 6 x1 − x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎨6 x1 = 2 x4 , 即 ⎨6 x1 − 2 x4 = 0 , 直接取 x1 为自由未知量得， ⎪ 2x = x ⎪ 2x − x = 0 4 ⎩ 2 ⎩ 2 4
---------- 共面即说是线性组合，待定系数法。
小结：內积、外积、混合积何时为 0 最为重要，也经常使用。应用它们之前首先得清楚它们 的几何意义。当然如果不会计算一切都是空谈。计算分两种，一是用定义；一是用坐标。特
3
别要记住用坐标如何计算。
《几何与代数》 科学出版社 习题解析第二章
第二章 矩阵
习题解析
则 A ( E B)
n
0 0 1 2 0 0 , B3 B4 Bn 0(n 3) B 0
n(n 1) n 2 2 n E n B B B 2！
n 1
第二章 矩阵
习题解析
1 n 6(4) 设 A 1 ,计算 A . 0 1 0 解 设 A E B, B 0 1 0 n n
(r) P,Q可逆,A m n
=PE
(r) m nQ.
7 max r A , r B r A, B r A r B
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
5) If AB 0, then r A r B n.
单位矩阵
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的代数运算
• 矩阵乘法交换率一般不成立 (AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2 矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk 2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n (a En) AA* A* A A E 5. AA1 A1 A E 4. • 矩阵乘法消去率一般不成立. AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立. AB O, A 0 B O
T T
T
第二章 矩阵
习题解析
9.
已知3级方阵A按列分块为A (1 , 2 , 3 )，
且 A 5, 若B (1 2 2 ,31 4 3 ,5 2 )，求 B .
《解析几何》知识点总结：第1章-向量代数
第一章向量代数一、向量及其线性运算1.向量及其表示（1）向量：有大小和方向的量。
（2）表示：AB ，A 为向量的起点，B 为向量的重点。
（3）向量的模：||AB 。
（4）向径（半径向量/定位向量）：称为P 的向径，简记为P 。
（5）单位向量：模为1，记为|a |aa o =。
（6）零向量：模为0，任意方向，与任何向量共线。
（7）自由向量：可自由平行移动。
（8）相等（相反）：大小相等，方向相同（相反）。
（9）共线（平行）：平行移动到同一始点，在一条直线上；共面。
（10）共面：平行移动到同一始点，在一个平面上。
2.向量的加法和减法（1）加法：①三角/多边形法则（定义1.1）：首尾相连，第一个向量起点到最后一个向量终点；②平行四边形法则（定义1.2）：首首相连，平行四边形过起点的对角线；③三角/多边形不等式：|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |。
（2）减法：三角形法则（定义1.3）：首首相连，OA OB AB -=。
3.向量的数乘（1）定义1.4：实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记为λa。
|λa|=|λ||a|，方向取决于λ。
4.运算律（图形法证明）①交换律：a ±b =b ±a②结合律：（a ±b ）±c =a ±（b ±c ）；λ（μa ）=（λμ）a③分配律：（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb5.共线及共面向量的判定（1）定理1.1：向量b 与非零向量a 共线⟺∃λ∈R ，使b=λa ；推论1.1：两个向量a ，b 共线⟺∃λ，μ∈R ，且λ，μ不同时为0，使λa +μb =0。
（2）定理1.2：若a ，b 不共线，向量c 与a ，b 共面⟺∃λ，μ∈R ，使c =λa +μb ；推论1.2：三个向量a ，b ，c 共面⟺∃λ，μ，φ∈R ，使λa +μb+φc =0。
南京邮电大学《线性代数与解析几何》参考答案
《线性代数与解析几何》练习册参考答案第1章1.1 1.7;2 i =4,j =5;3,+,-3(1)1;(2) -1；4，（1）1；（2）3333a b c abc ++-;(3) 288;(4) abcd .1.2 1.(1)27a ;(2)5a ;2 (1)-3;(2) 3()a b c ++;(3)0;(4) 16；（5） 123b b b ；(6) 12341a a a a ++++ 1.3 .1.12;2(1)12;(2) 12(1)(2)(2)x x x --+;3. 1, -1;4.0,86.5.14142323()()a a b b a a b b --; 6.0,-1,2,3;7. 4142439A A A ++=-,444518A A +=.8.-2. 1.4 1(1) (1,2,3)T ;(2) (,,)T a b c - 2. 1或-2；3；313λλ≠≠且. 第2章2.1 121002211X ⎛⎫= ⎪-⎝⎭2.61010AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131262129BA ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，111152017T B C A -⎛⎫+= ⎪⎝⎭;,3 (1)112233AB a b a b a b =++,111213212223313233a b a b a b BA a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;（2）111213*********3233nn a b a b a b BA a a b a b a b a b a b a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（） 4.（1）cos sin sin cos n n n n θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭;（2）121(1)200nn n nn n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；5. 000000008⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;7. 1200b B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12,b b 是任意常数。
线性代数与解析几何 代万基 第一章书后解答
思考题1-11. 不成立。
因为222(),+=+++A B A AB BA B AB 不一定等于BA . 2. 成立。
因为22(),+=+++A E A AE EA E =AE EA . 3. 成立。
因为22()(),+-=-+-=-A E A E A AE EA E A E2()()-+=-A E A E A E .4. 不成立。
因为矩阵的乘法不满足消去律，由222()=AB A B ，得不出=AB BA .5. 不成立。
反例，1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A 。
6. 不成立。
反例，1000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 。
7. 不成立。
反例，1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 。
8. 成立。
因为,()().Tk TT kk===A A A A A9. 不成立。
因为,()()()(1),Tk TT kkkk=-==-=-A A A A A A 结论与k 的奇偶性有关。
10. 成立。
由对称阵的定义可知结论成立。
习题1-11.111100-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X2.1,2x y ==3.BAABC ABABC 、、正确，依次为55⨯矩阵、41⨯矩阵、41⨯矩阵。
4.（1）3-3-5-7915⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）10530100⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（3）32659110-4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）1432321211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;（5）222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x +++++;（6）157063004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（7）050505050-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5.（1）111112221222331332k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，在矩阵A 的左边乘以对角矩阵时，其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各行； （2）111212313121222323k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在矩阵A 的右边乘以对角矩阵时，其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各列。
高等代数及其解析几何第一章参考答案【陈志杰】
§1
·5·
:
, − − → 1 − → − − → OM = (OA + OC ), 2 − − → 1 − − → − − → OM = (OB + OD), 2
− → − − → − − → − − → − − → OA + OB + OC + OD = 4OM . − → − → 11. , a, b ? − → − → − → − → → → → → (1) |− a + b | = |− a | + | b |; (2) |− a + b | = |− a | − | b |; − → − → − → − → → → → → (3) |− a − b | = |− a | − | b |; (4) |− a − b | = |− a | + | b |. − → → → : (1) “ ” : − a // b . |− a + − → − → − → − → − → − → − → : a b , a, b 0. b | =|a|+| b | − → − → − → − → − → − → − → − → − → → (2) c = a + b, a = c − b, : | c − b | = |− c | + | b |. − → − − → − → − → → → b //→ c . : − a // b , , |− a | ≥ | b |, b = 0. − → − → − − → − → → − → − → − → → − → (3) c = a− b, a = b + c, : | b |+| c | = | b +− c |. − → − − → − → − → → − → − → − → (1) : b // c . a // b . | a − b | ≥ 0, | a | ≥ | b |, − → b = 0. − → − → → − → → − → − → → − → → (4) c =− a − b, a = b +− c, : |b +− c | = |− c | − | b |. − → − → − → − → → → − → (2) : − c // b , b = 0, , |− c | ≥ | b |. a // b , − → − → b =0 a = 0. 12. , . − → − − → − → − − → → − → − → → → (1) | b − a | | a | − | b |; (2) | a + b + → c | ≤ |− a | + | b | + |− c |. : (1) , “ ” . − → − → − → − → − → 11(3): a // b , , | a | ≥ | b |, b = 0.
《高等代数与解析几何》课程分章节经典练习题及参考解答
《⾼等代数与解析⼏何》课程分章节经典练习题及参考解答公众号ID：campusinout关注本⽂推送的练习与典型例题及参考解答对应于《⾼等代数与空间解析⼏何》课程学习、考研等通⽤的经典教材，由陈志杰编写、⾼等教育出版社的《⾼等代数与空间解析⼏何(第⼆版)》教材. 这些课后习题都是学习该课程，或者线性代数学习提⾼应知应会的、⾮常经典的练习题，不管是对于课程学习、还是考研等相关内容的复习、备考，都应该逐题过关、熟练掌握！注：本⽂内容由学友整理⾃⽹络搜索的⽂档，分享转载仅供学习参考，如原出处不允许转载分享，请告知删除，谢谢！更多通⽤教材课后习题分享在逐步完善中...《⾼等代数解析⼏何》练习题解答第⼀章向量代数1.1 向量的线性运算1.2 向量的共线与共⾯1.3 ⽤坐标表⽰向量1.4 线性相关性与线性⽅程组1.5 n维向量空间1.6 ⼏何空间向量的内积1.7 ⼏何空间向量的外积1.8 ⼏何空间向量的混合积1.9 平⾯曲线的⽅程第⼆章⾏列式2.1 映射与变换2.2 置换的奇偶性2.3 矩阵2.4 ⾏列式的定义2.5 ⾏列式的性质2.6 ⾏列式按⼀⾏（⼀列）展开2.7 ⽤⾏列式解线性⽅程组的克拉默法则2.8 拉普拉斯定理第三章线性⽅程组与线性⼦空间3.1 ⽤消元法解线性⽅程组3.2 线性⽅程组的解的情况3.3 向量组的线性相关性3.4 线性⼦空间3.5 线性⼦空间的基与维数3.6 齐次线性⽅程组的解的结构3.7 ⾮齐次线性⽅程组的解的结构，线性流形第四章⼏何空间中的平⾯与直线4.1 ⼏何空间中平⾯的仿射性质4.2 ⼏何空间中平⾯的度量性质4.3 ⼏何空间中直线的仿射性质4.4 ⼏何空间中直线的度量性质4.5 平⾯束第五章矩阵的秩与矩阵的运算5.1 向量组的秩5.2 矩阵的秩5.3 ⽤矩阵的秩判断线性⽅程组的解的情况5.4 线性映射及其矩阵5.5 线性映射及矩阵的运算5.6 矩阵乘积的⾏列式与矩阵的逆5.7 矩阵的分块5.8 初等矩阵5.9 线性映射的象空间与核空间第六章线性空间与欧⼏⾥得空间6.1 线性空间及其同构6.2 线性⼦空间的和与直和6.3 欧⼏⾥得空间6.4 欧⼏⾥得空间中的正交补空间与正交投影6.5 正交变换与正交矩阵第七章⼏何空间的常见曲⾯7.1 ⽴体图与投影7.2 空间曲⾯与曲线的⽅程7.3 旋转曲⾯7.4 柱⾯与柱⾯坐标7.5 锥⾯7.6 ⼆次曲⾯7.7 直纹⾯7.8 曲⾯的交线与曲⾯围成的区域第⼋章线性变换8.1 线性空间的基变换与坐标变换8.2 基变换对线性变换矩阵的影响8.3 线性变换的特征值与特征向量8.4 可对⾓化线性变换8.5 线性变换的不变⼦空间第九章线性空间上的函数9.1 线性函数与双线性函数9.2 对称双线性函数9.3 ⼆次型9.4 对称变换及其典范形9.5 反称双线性函数9.6 ⾣空间9.7 对偶空间第⼗章坐标变换与点变换10.1 平⾯坐标变换10.2 ⼆次曲线⽅程的化简10.3 平⾯的点变换10.4 变换群与⼏何学10.5 ⼆次曲线的正交分类与仿射分类10.6 ⼆次超曲⾯⽅程的化简第⼗⼀章⼀元多项式的因式分解11.1 ⼀元多项式11.2 整除的概念11.3 最⼤公因式11.4 不定⽅程与同余式11.5 因式分解定理11.6 重因式11.7 多项式的根11.8 复系数与实系数多项式11.9 有理系数多项式第⼗⼆章多元多项式12.1 多元多项式12.2 对称多项式12.3 结式12.4 吴消元法12.5 ⼏何定理的机器证明第⼗三章多项式矩阵与若尔当典范形13.1 多项式矩阵13.2 不变因⼦13.3 矩阵相似的条件13.4 初等因⼦13.5 若尔当典范形13.6 矩阵的极⼩多项式第⼗四章若尔当典范形的讨论与应⽤14.1 若尔当典范形的⼏何意义14.2 简单的矩阵⽅程14.3 矩阵函数14.4 矩阵的⼴义逆14.5 矩阵特征值的范围。
解析几何 课后答案 第一章
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、OB、、OD、OE、、AB、、、DE、和中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.和和和和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-C（5=[解]：（1）,-=+；（2）,+=+（3≥且,-=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
几何代数参考答案解析
几何代数参考答案解析几何代数是数学中的一个重要分支，它研究了几何和代数之间的关系。
在学习几何代数时，解答和解析参考答案是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和掌握这门学科。
本文将对几何代数参考答案解析进行探讨。
首先，我们来看一道几何代数的题目：已知平面上有三个点A(1,2)，B(3,4)和C(5,6)，求三角形ABC的面积。
我们可以通过几何方法和代数方法来解答这个问题。
几何方法是通过计算三角形的底和高来求得面积。
首先，我们可以根据两点之间的距离公式求得AB和AC的长度，分别为√8和√32。
然后，我们可以通过向量的叉积公式求得三角形的面积，公式为：S=1/2 * |(x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)|，其中(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)分别为三个点的坐标。
代入AB和AC的长度，我们可以得到三角形ABC的面积为4。
代数方法是通过向量的坐标表示来求得面积。
我们可以将向量AB表示为(3-1,4-2)=(2,2)，向量AC表示为(5-1,6-2)=(4,4)。
然后，我们可以通过向量的叉积公式求得三角形的面积，公式为：S=1/2 * |x1y2-x2y1|，其中x1、y1、x2和y2分别为向量AB和AC的坐标。
代入坐标，我们可以得到三角形ABC的面积为4。
通过以上两种方法，我们可以得到相同的结果，即三角形ABC的面积为4。
这说明几何方法和代数方法在解答这个问题时都是有效的。
通过比较两种方法的优缺点，我们可以选择更适合自己的方法来解答类似的问题。
在几何代数的学习过程中，解答和解析参考答案是非常重要的。
通过解答参考答案，我们可以检验自己的答案是否正确，同时也可以发现自己的错误和不足之处。
通过解析参考答案，我们可以更深入地理解问题的本质和解题思路，从而提高自己的解题能力。
此外，解答和解析参考答案还可以帮助我们发现问题的一些特点和规律。
在几何代数中，有些问题可能存在多种解法，而解答和解析参考答案可以帮助我们发现这些不同的解法，并学习它们的思路和技巧。
(新版)代数与几何答案
第一章 行列式一、填空题 1.2)1(-n n ； 2. 42312314,!4a a a a - 3. 0 ；4. 1222+++c b a ； 5. 1，2，3； 6. 1，或 -2 .二、选择题 D C B B C.三、计算题1. 解： 122334,,r r r r r r D ---104106310321011112334r r r r --,4100310032101111=12. 解： D n （从最后一列开始）列加到第将第1-i i 2)1(1+=∑==n n i ni . 3. 解：1111111111114321-----+---+++a a a a a a a Dc c c c 40001001001001a a a a a==四、解答题解：14131211432A A A A +++1313120210114321---==1514131211432M M M M +++1313120210114321-----==3五、证明题证明：因为42056963061223613214101001000c c c c +++5024205369696321606121632361 因为第四列的元素可以被16整除，所以行列式可被16整除.第二章 矩阵及其运算一、填空题1. 327,- ；2.0；3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---32164232164； 4. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001 5. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---31310032310000520021 二、选择题 B AC D D ； BCCBB三、计算题1. 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−↔1101024431220130121121r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→00000216001101001211，所以秩为3.2. 解： *18)31(A A --=-=--1183A A A =---113A A 12-A ==-18A 64.3．解：(1) 由→)(E P )(1-P E 易得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1140120011P，⇒=PB AP 1-=PBP A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=116002001(2) 12112---==P PB PBP PBP A， 同理 155-=P PB A52523)(A A E A f +-=∴152)523(-+-=P B B E P又 =+-52523B B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-400030006，,)(A f ∴1400030006-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--47340360064. 解法一：记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=300031001200002A ，对)(E A 进行初等行变换得)(1-A E 可求. 解法二：（利用分块矩阵）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31122A ， 易求：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21137112A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴-31000021*********211A 5. 解：因为A B AB =-，B A AB =-∴B E B A =-⇒)( 两边同时右乘1-B 得：E BE B A =--1)(E B E A =-⇒-)(1，=-=∴--11B E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1000021000020020，由→-)(1E A )(A E 可得A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=10000210410002100210. 四、证明题1．(1)证明： ,32A A = ,32O A A =-∴,4))(4(E E A E A -=+-∴ 从而,)4)(4(E EA A E =+- A E -∴4 可逆，且 4)4(1E A A E +=--. (2) 证明：,32A A = ,)3(O A E A =-∴假设A E -3可逆,则等式两边同时右乘(),31--A E 得O A =，与条件O A ≠矛盾，所以A E -3不可逆.2．证明：A A =2,∴=-⇒=-∴,)(2O E A A O A A R (A )+ R (A -E )≤n （1）又R (A )+ R (A -E )= R (A )+ R (E - A )≥R [A + (E - A )]= R (E )=n （2） 由（1），（2）式知 R (A )+ R (E A -)= n.第三章 向量与向量空间第四章 欧氏空间一、填空题 1. 的实数2≠；2. -2 ； 3.T T )1,2,1(61,)1,0,1(21-；4. 40；5. 0453=+--z y x ；6. 0),(22=+±z y x f ； 7. 椭圆柱面．二、选择题 D ； C ； D ； C ； C ； B ． 三、解答题1．对矩阵),,,(4321αααα=A 施行初等行变换：→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6254533111113121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------6630221022103121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000022103121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000000022101301 从而得向量组4321,,,αααα的秩为2，一个最大无关组为 21,αα（不唯一）.其余向量在此最大无关组下的线性表示式分别为：214213223αααααα+-=+-=;.2． 解：记),,(321ααα=A ，),,(321βββ=B ，⑴ 设由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为P , 即AP B = ∴ B A P 1-=由()()B A E B A 1101010432100010001341432321111001111-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=行变换 得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101010432P ．⑵ 设(x ,y ,z )是γ在基321,,βββ的坐标，则有：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32141011125202167410111B z y x ． 3．解： 过点M 与L 垂直的平面P ：0)3()1(2)2(3=---+-z y x 即：0523=--+z y x P 与L 的交点：)73,713,72(-, 故所求直线方程为431122-=--=-z y x .四、证明题1．证明：存在m k k k ,,21使得02211=-+-+-)()()(m m αβk αβk αβk 代入m αααβ+++= 21，整理得：0132231132=+++++++-m m m m αk k k αk k k αk k k )(,)()(因为)(,,121>m αααm 线性无关，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++-0001323132m m m k k k k k k k k k 而系数行列式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=011111110111110 D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=011111110111111m m m 0111≠--=-)()(m m ，所以齐次方程组只有零解，m k k k ,,21都为零。
(仅供参考)几何与代数第1章习题答案
第一章 向量、平面与直线
1．1 向量的线性运算
1．证明下列向量不等式，并说明等号何时成立：
（1） a b a b ；（2） a b a b ；（3） a b c a b c 。
【证明】（1）（i）当 a 与 b 共线时，（a） a 与 b 同向， a b a b
连结 p1q1，p2q2 ，设两线交点为 o，连结 op3，oq3 。
根据已知，我们有
p3q2
1 2
p3 p1
，
p3q1
1 2
p3 p2
由引理，则有
p3o
1 2
1
1 2
1 1 1
p3 p2
1 2
1
1 2
1 1 1
p3 p1
1 3
p3 p2
1 3
p3 p1
22
22
同理，我们有
【引理】在三角形 OAB 中， OA a， OB b ，而 M、N 分别为三角形两边 OA，OB 上的点，且有
OM
a0
1，ON
b0
1
，设
AN
与
BM
相交于
P
，则 OP
1
a
1
b
。
1 1
【证明】因为 OP OM MP ， OP ON NP
而 OM a ， MP mMB m OB OM m b a ，
点的连线分别为 m2，m3 ，下面只需要证明 m1，m2，m3 三点重合就可以了。
op2
n
...
opn
，
任意取定一点 o ，则存在向量 op 满足上述式子，即点 p 存在。下面证明点 p 唯一。
假设还有一点
解析几何第一章习题及解答
第一章 向量代数习题1.11.试证向量加法的结合律，即对任意向量成立,,a b c ()().a b c a b c ++=++证明：作向量（如下图），,,AB a BC b CD c ===则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2.设两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件,,a b c 是0.a b c ++=证明：必要性，设的终点与始点相连而成一个三角形，,,a b c ABC∆则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+==充分性，作向量，由于,,AB a BC b CD c ===所以点与重合，即三向量0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=A D 的终点与始点相连构成一个三角形。
,,a b c3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形三边的中点分别是（如下图），并且记ABC ∆,,AB BC CA ,,D E F，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是,,a ABb BCc CA ===111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=-所以，故由上题结论得三角形111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=的三中线可以构成一个三角形。
,,CD AE BF 4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形两腰中点分别为，记向量ABCD ,BC AD ,E F ，,AB a FA b ==则而向量与共线且同向，所以存在实数使得现,DF b = DC AB 0,λ>. DC AB λ=在由于是的中点，所以, FB b a =+,FC b a λ=-+E BC 且1111()()(1)(1).2222 FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
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§1.4 线性方程组的求解
1.矩阵的初等行变换 1.矩阵的初等行变换 ri ↔rj , ri ×k, ri+krj 2. 阶梯阵与行简化阶梯阵 主元为1，主列为ej 主元为1 主列为e 3. 阶梯数与线性方程组的解 r2 = r1+1 ↔ 无解 r2 = r1=n ↔ 唯一解 r2 = r1< n ↔ 无穷多解对 为 取
解3：化成四块三角形 ：
x r1 − r2 1 1 x 1 1 0 1 0 1 1 1− x
1 1 0 0 1 1 1− y 1 1− x 1 =x 1 1 1+ y 1 1 1
1+ y 1 1 1− y
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
解3：化成四块三角形 ：
1 =x 1 1
=x 1
1 1 1
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
习题一( 习题一(B)：
2.若排列x1,x2,…,xn的逆序数是a, 求排列xn, xn−1,…,x1的 若排列x 的逆序数是a 排列x 逆序数a’. 什么时候这两个排列的奇偶性相同？ 逆序数a’.问：什么时候这两个排列的奇偶性相同？ 解： 任取两个元素xi, xj, 任取两个元素x xi, xj必在排列x1,x2,…,xn和xn, xn−1,…,x1中的一个 必在排列x ,…,x ,…,x 构成逆序， 构成逆序， 因此这两个排列的逆序数之和 因此这两个排列的逆序数之和为 逆序数之和为
=
am1 … amm
A,B为m,n阶 为 阶 矩阵 0 A = (−1)mn |A| |B| B C C A = B 0
思考题： 思考题：能否利用这些结果证明 |AB| = |A| |B|？ ？ (其中 其中A,B为n阶矩阵 (可先考虑 n=2的情况 阶矩阵) 的情况) 其中 为 阶矩阵 可先考虑 的情况
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
a11 … a1m … … … … 0… 0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
0…0 … … … … … … … … D1 = D2 =
a11 … a1m … …
,
am1 … amm 0 … 0 例7. 设D = c … c b … b , 11 1m 11 1n
A ...A ...A...A = − A ...A...A ...A 1 s t n 1 t s n cs + kct A ...A ...A...A = A ...A + kA...A...A 1 s t n 1 s t t n
二. 行列式的主要计算方法 2. 箭形行列式 1. 化为三角形行列式 化为三角形行列式 * ... * A O ... ... O = A B C B * O * n 行列式按行( 3. 行列式按行(列)展开 ∑ a A = |A|, i = j ik jk k=1 0, i ≠ j 4. 降阶递推法 5. 分解行列法
x x O 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x
1 x O x− 1 x
解2：化为三角形行列式 ： 当x≠ 0时 x 时
rn − r
当x=0时 D=0
1 x 1
0 n−1 = x ( x− 1) x
= x −x
n
n−2
？
∴D = x − x
n
n−2
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
1 2 … n 5(2)． 5(2)． 2 1 … 0 D n= … …… … n 0 … 1 解: n c1 − ∑ jcj 1−22−…−n2 j= j=2 0 … … 0
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
习题一( 习题一(B)： 4 . (1 ) 2 2 55 23 r −r 1 2 53 21 53 21
c1 − c2 0 2
32 21
= −64.
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
1+ x 1 1 1 4(6)． 4(6)． 1 1− x 1 1 D= 1 1 1+ y 1 1 1 1 1− y
解2：按行列展开 ： x x 0 0 1 1 r1 − r2 1 1 − x 1 1 1 1− x = xy r3 − r4 0 0 y y 0 0 1 1 1 1− y 1 1
0 1 1 0 1 1
1 1− y
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
解2：按行列展开 ：
1 xy 0 1
1 0 0 0
0 1 x 0 OO x 0
1+n−1 n−2
5(1)． 5(1)． D =
1
= xx +( −1)
n−1 n+1
解1：按第一列展开 ：
= x +( −1)
n
n+1
( −1)
x
= x +( −1)
n
2n−1 n−2
x
= x −x
n
n−2
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
5(1)． 5(1)． D =
n ( n − 1) ∴ a′ = −a 2
n n ( n − 1) 2 = 2
这两个排列的奇偶性相同. 这两个排列的奇偶性相同. 特别的， n=1时 两排列的奇偶性相同. 特别的，当n=1时， a′ = a = 0 两排列的奇偶性相同.
n ( n − 1) = 4k ( k ∈ Z + )
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
a11 … a1m … … … … … … … …
0…0 … … … … … … a11 … a1m … … b11 … b1n … … … … bn1 … bnn … …
D = am1 … amm 0 … 0
c11 … c1m b11 … b1n cn1 … cnm bn1 … bnn A 0 A C C B = |A| |B| = 0 B A D C B ≠ |A| |B| − |C| |D| … …
n( n +1)( 2n +1) = 2− 6
=1−22−…−n2 =1− n( n +1)( 2n +1) −1 =1−
2 … n 1 … 0 … … 0 … 1
6
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
求和公式 n n(n + 1) ∑ i = 1 + 2 +L + n = 2 i =1 n n(n + 1)(2n + 1) 2 2 2 2 ∑i = 1 + 2 +L+ n = 6 i =1
1 0 1
0 1
0 1
0 1 1
1 1− x 1
1 1− y
0 1 1
c2 − c1 xy 1
1
−x 1
0
−x 1 = xy 0 1 0
1 1 = x2 y 2
1 1− y
1 1− y
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
1+ x 1 1 1 4(6)． 4(6)． 1 1− x 1 1 D= 1 1 1+ y 1 1 1 1 1− y
1 1− y
r2 − r1
1 r4 − r1 xy 0 0 0
1 −x 0 0
1 0 0 1 1 r − r xy 0 4 3 0 1 1 0 1 1− y
1 −x 0 0
0 0 1 1 2 2 =x y 1 1 0 −y
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
1+ x 1 1 1 4(6)． 4(6)． 1 1− x 1 1 D= 1 1 1+ y 1 1 1 1 1− y
假期休闲思考题 1. 你能在15分钟内从下图找到多少个 你能在15分钟内从下图找到多少个 等边三角形？最多有21个哦 找找看！ 个哦， 等边三角形？最多有21个哦，找找看！
假期休闲思考题 2. 你又能从上图找到 几个正六边形 正六边形呢 几个正六边形呢？ 只有2 只有2个，你一定会 找到的！相信自己！ 找到的！相信自己！
r(A) = r(A,b)? N Y 初等
行 (A,b) 初等 阶 行变换 梯 阵
无解
行 最 行变换 简 形
非 主 列
应 变 量
自 由 变 量
齐次线性方程组有非零解的充分条件 ↔ • r(A)<n • m<n •|A|=0 (↔)
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
作业中的问题： 作业中的问题： • 行列式计算中每步都要注明所作的运算. 行列式计算中每步都要注明所作的运算. 计算中每步都要注明所作的运算 c 表示列(column)，r 表示行(row). 示列(column) 表示行(row). ri+krj指rj 行不变而ri 行发生变化. 行不变而 发生变化. 不能做 krj +ri，注意krj对行列式值的影响. 注意kr 对行列式值的影响. 不能做变换r 不能做变换rj /k，除非注明 k≠0，还要 考虑k=0的情况. 考虑k=0的情况. • 二、三、四阶行列式的计算最好把某行(列) 四阶行列式的计算最好把某行 计算最好把某行( 化成只有一个非零元素再展开. 只有一个非零元素再展开 化成只有一个非零元素再展开.
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.1-2 方阵的行列式 1.1一. 二元线性方程组与二阶行列式 τ ( j1 j2 j3 ) a1 j1a2 j2a3 j3 二.三阶行列式的特点 ∑(−1) 三. 排列的逆序数与奇偶性 四. n阶行列式的定义
j1 j2 j3
× |A|: Rn×n →R
A=
∑ (−1)
解1：化为上三角形行列式 ：