三角形中线问题的三种解法

三角形中线问题的三种解法
有关三角形中点、中线、中位线等问题，经常要添加适当的辅助线，本文列举数例加以剖析，共读者参考.
一、条件中有三角形的中线时，一般作中线的延长线，使延长部分等于中线长,得到以中线（中线的延长线）和三角形的半边长为边的两个全等三角形.
例1.在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取
值范围是 ( )
(A)1＜AB＜29; (B) 4＜AB＜24;
(C) 5<AB<19; (D) 9<AB<19;
解：如图1，延长AD到点E，使DE=AD，连结 CE，
则AB= CE，且 2×7－5＜CE＜2×7+5，
即 9 ＜CE＜ 19，
所以选D .
例2.已知：如图2，在△ABC中,AD为BC边上的中线，
BE交AC于E，交AD于F，若 AC = BF.
求证：AE = EF
证明：延长AD 到 M，使 DM = AD，连结 BM .
则△ADC≌△MDB，∴ AC = BM ，
又 AC = BF.
∴ BM = BF，∴∠M = ∠BFM ，
又∠CAD=∠M ，∠AFE =∠BFM ，
∴∠ CAD = ∠AFE，即∠ EAF=∠AFE.
∴ A E = EF .
二、条件中仅有三角形一边的中点或一条线段
的中点，但不构成三角形的中线时，可构造以中
点为对称中心的中心对称三角形
例3 已知：如图,△ABC中, AD平分∠BAC,
EF∥AB交BC于E、交AD于F,若 DE = DC.
求证：EF = AC.
证明延长FD到点M，使DM=DF，连结CM，
又由 DE = DC. 得△EDF≌△CDM，
∴CM = EF ，∴∠M=∠3
∵EF∥AB ，∴∠3=∠1，∴∠M =∠1，
又∠1=∠2 ，∴∠M=∠2， AC = CM，
又 CM = EF ∴ EF= AC.
例4. 如图，已知M为△ABC 的边BC的
中点，AF为过A的任意射线，作BF⊥AF于F，
作CE⊥AF于E，连接ME、MF，求证：∠MEF =
∠MFE.
证明：延长FM、CE交于以点G，由
BF∥CE得 :∠1=∠2，
又∠BMF =∠CMG， MB = M C ，
∴△BMF≌△CMG，∴ MF = MG，
即ME 是Rt△GEF斜边GF是的中线，
∴ ME = MF，∴∠MEF =∠MFE.
评析：本题中，M是△ABC的中点，而没有中线，所以联想到作以M为对称中心的三角形，问题迎刃而解.
三、构造三角形的中位线
例5 .已知 :如图5，四边形ABCD中，
AD = BC，E、F分别是 DC、AB的中点，直线EF
分别与 BC、AD交于 G、H. 求证：∠AHF=∠BGF
分析：因∠AHF 和∠BGF 不在同一个三角
形中，也不存在相应的全等三角形 . 联想到为
此，E、F分别是 DC、AB的中点，可连结AC，
再取AC的中点，即可得两条中位线ME、MF.
那么，易得∠1=∠H，∠2=∠BGF.(以下略)
例6. 如图，已知AD是△ABC的中
线， AE是△ABD的中线，BA=BD，找出
AE和AC 之间的关系，并证明你的结论 .
结论：AC= 2AE.
（1）取AC的中点M，则DM∥AB，且 DM = 1/2AB = 1/2BD， DE=1/2BD 简证：
∴ DM = DE，
（2）∵ DM∥AB，∴∠1= ∠BAD，∵ BA = BD，∴∠2 = ∠BAD，
∴∠1=∠2，那么△ADE≌△ADM，∴ AM =AE，即 1/2AC = AE，∴AC = 2AE.
附练习题
1.已知△ABC中, AB = 5, AC = 3,则中线AD的范围为____，
2.如图7, 在△ABC中，AB=5cm,AC=3cm,D是BC的中点，且AD⊥AC，
求AD的长（勾股定理）.
略解：延长AD至E，使 DE =AD，设 AD = DE = x，则(2x)2 +32 = 52 ,
解得 x = 2，即 AD = 2.
3.已知：如图8，在△ABC中, AD为BC边上的中线，BE交AC于E，交AD
于F，若A E = EF，求证：AC = BF.
4.如图9：△ABC中, AD平分∠BAC，F为BC的中点，EF∥AD交CA的延长
线于G，求证：GB = CE. [提示：延长GF到 M，使 FM = GF，连结CM ]
5.如图10，在△ABC中,∠ACB=90°，AD为BC边上的中线， E为AD的中点, CE的延长线交AB于F，FG∥AC交AD于G，求证: FB =2CG.
6.如图11，已知△ABC中，∠C = 90°， AC = 2cm , ∠B =15°, 作 BA
的中垂线 DE交 BC于E，求BE的长.。