最新3.2两因素方差分析汇总
两因素方差分析
B2
10.81 10.7 10.75 32.26 10.75
表6 牛奶酸度测定结果
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
xi.
xi.
12.39 12.5 12.4 37.29 12.43
12.56 12.35 12.41 37.32 12.44
10.64 10.32 10.72 31.68 10.56
13.26 12.93 13.1 39.29 13.10
dfe 秩次距 K SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
2
2.89
3.89 0.100 0.135
3
3.04
4.06 0.105 0.140
30
4
3.12
4.16 0.108 0.144
5
3.20
4.22 0.111 0.146
.
表4 不同类型海产品无机砷含量差异重比较结果 (SSR法)
方差分析的基本步骤归纳如下
1 资料总离差平方和与自由度的分解； 2 列出方差分析表，计算各项均方和F值， 进行F检验，以判断各变异因素的影响大小； 3 若F检验显著，则进行多重比较。
.
2.1 各处理重复数相等的方差分析
【例1】对某地区5类海产食品中无机砷含量进行检测， 测定结果见表1，其中藻类以干重计，其他4类以鲜重 计。试分析不同类型海产品的砷含量差异是否显著。
类 型 间 3.987
4 0.9962 118.595
类 型 内 0.2521
30 0.0084
总 变 异 4.2368
34
显 著 性 **
.
根据df1=dft=4,df2=dfe=30查临界F值 得：F0.05(4,30) =2.69，F0.01(4,30) =4.02
(完整word版)两因素方差分析.
两因素方差分析一、两因素方差分析中的基本概念1. 例1-1(pp1)：四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数服用A药，则A＝2,否则A=1；服用B药，则B＝2,否则B=1两因素Stata数据输入格式命令anova x a b a*b其中a 表示A药疗效的主效应，b表示B药疗效的主效应，a*b表示A药与B药对疗效的交互作用结果如下结果表明：对于 =0.05而言H10:没有交互作用并且A药和B药疗效的主效应都没有差异H11：有交互作用或A药主效应有差异或B药主效应有差异F Model=98.75，P值<0.05，因此认为模型是有效的(或有交互作用或有主效应)。
H20:没有交互作用H21：有交互作用F A×B=36.75，P值=0.0003<0.05，因此A药与B药的疗效有交互作用，并且有统计意义。
H30：A药没有差异H31：A药主效应有差异F A=168.75，P值<0.05，A药的主效应有统计意义H40：B药没有差异H41：B药主效应有差异F B =90.75，P 值<0.05，B 药的主效应也有统计意义。
问题：模型是什么？ 模型：..()ab a b ab μμαβαβ=+++其中μab 是x 的总体均数，αa 称为A 因素的主效应，βb 称为B 因素的主效应，(αβ)ab 称为A 因素和B 因素对因变量x(观察指标变量)的交互作用。
2. 主效应的意义A 药B 药平均A 主效应表示未服用服用 未服用 μ11μ1211121.2μμμ+=1...1μμα=+服用 μ21 μ22 21222.2μμμ+= 2...2μμα=+ 平均1121.12μμμ+= 1222.22μμμ+= 11122122..4μμμμμ+++= B 主效应 .1..1μμβ=+ .2..2μμβ=+称α1和α2为A 因素的主效应，β1和β2为B 因素的主效应。
并且可以验证：α1＋α2＝0(即：α1＝－α2)以及β1＋β2＝0(β1＝－β2) 若α1＝α2(即α1=α2＝0)，则对应A 因素的主效应没有作用。
方差分析2（双因素方差分析、多元方差分析、可视化）
⽅差分析2（双因素⽅差分析、多元⽅差分析、可视化）1 双因素⽅差分析1.1 双因素⽅差分析的实战dat<-ToothGrowthdatattach(dat)table(dat$supp,dat$dose)aggregate(len,by=list(dat$supp,dat$dose),FUN=mean)解释：根据投⽅式（橙汁OJ，维C素VC）supp和剂量dose来对⽛齿的长度len进⾏求均值dose<-factor(dose)解释：为了避免把dose变量认为是数值变量，⽽是把dose认为成分组变量，所以设置成因⼦类型factorfit<-aov(dat$len~dat$supp*dat$dose)解释：aov()做⽅差分析，把 + 换成了 * ，这两项dat$supp和dat$dosee就变成了交互项summary(fit)结果分析：可以看出P值很⼩，三个P值都⼩于0.05，说明不同的投喂⽅式supp对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明不同的剂量dose对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明在两种投喂⽅式下，不同的投喂⽅式supp和剂量dose的交互效应对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的1.2 可视化⽅法1interaction.plot(dat$dose,dat$supp,dat$len,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18),main="XX")1.3 可视化⽅法2library(gplots)plotmeans(dat$len~interaction(dat$supp,dat$dose,sep=" "),connect=list(c(1,3,5),c(2,4,6)),col=c("red","blue"),main="XX",xlab="xlab")1.4 可视化⽅法3library(HH)interaction2wt(dat$len~dat$supp*dat$dose)2 重复测量⽅差分析dat<-CO2CO2$conc<-factor(CO2$conc)w1b1<-subset(CO2,Treatment=="chilled")uptake是植物光合作⽤对⼆氧化碳的吸收量，是因变量y，type是组间因⼦，是互斥的，表⽰的是两个不同地区的植物类型，要么是加拿⼤的植物，要么是美国的植物，不可能两个地⽅都是，conc是不同的⼆氧化碳的浓度，每⼀种植物都在所有的⼆氧化碳浓度下，所以conc是组内因⼦研究不同地区的植物作⽤，在某种⼆氧化碳的浓度作⽤下，对植物的光合作⽤效果有没有影响2.1 含有单个组内因⼦w和单个组间因⼦B的重复测量ANOVAfit<-aov(uptake~conc*Type+Error(Plant/(conc)),w1b1)summary(fit)结果分析：⼆氧化碳浓度和类型对植物光合作⽤都有显著影响2.2 可视化图形呈现（1）⽅式⼀par(las=2)par(mar=c(10,4,4,2))with(w1b1,interaction.plot(conc,Type,uptake,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18)))（2）⽅式⼆boxplot(uptake~Type*conc,data=w1b1,col=c("red","blue"))3 多元⽅差分析library(MASS)attach(UScereal)dat<-UScerealshelf<-factor(shelf)y<-cbind(calories,fat,sugars)fit<-manova(y~shelf)summary(fit)结果分析：不同的货架shelf上，⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的3.1 多元正态性center<-colMeans(y)n<-nrow(y) #⾏数p<-ncol(y) #列数cov<-cov(y) #计算⽅差d<-mahalanobis(y,center,cov)coord<-qqplot(qchisq(ppoints(n),df=p),d) #画图abline(a=0,b=1) #画参考线identify(coord$x,coord$y,labels = s(UScereal)) #给出交互式标出离群点3.2 稳健多元⽅差分析install.packages("rrcov")library(rrcov)wilks.test(y,shelf,method="mcd")结果分析：P值⼩于0.05，说明结果是显著性的，即不同货架上⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的4 ⽤回归来做ANOVAlibrary(multcomp)dat<-cholesterollevels(dat$trt)fit.aov<-aov(response~trt,data=dat)summary(fit.aov)结果分析：aov⽅差分析，trt对response的影响⾮常显著fit.lm<-lm(response~trt,data=dat)summary(fit.lm)结果分析：lm回归分析，trt对response的影响⾮常显著，并且trt的每⼀项都显⽰出来了。
两因素实验设计的方差分析例子
例题：笔画数和字频是影响汉字识别时间的重要变量，一项研究综合考察了这两个变量对汉字识别的影响。
研究者设计了3*2两因素设计的实验。
第一个因素笔画数有三个水平，分别为多笔画字（12画以上）、中等笔画数（6画-13画）和少笔画字（1到6画）；第二个因素字频有两个水平，分别为高频字和低频字。
两因素各个实验水平交叉后形成6个条件单元。
研究者使用的实验材料是60个汉字，每个条件单元中有10个汉字。
参加实验的被试来自某高校随机抽取的60名本科生，他们被随机分为6组，每组10人，每一组被试仅对一组实验材料进行命名。
问：笔画数和字频对汉字命名有什么影响？。
3-2双因素方差分析
s
因子B的偏差平方和 SB r(x j x)2 j 1
反映了因素B的水平间的差异引起的波动。
rs
误差平方和 Se
(xij xi x j x)2
i1 j1
反映了随机误差引起的波动。
在H01，H02为真时
1
2
St
~
2 (rs
均方 44.88 3.53 2.19
36.0
35.5
34.3
36.1
35.8
32.8
28.5
29.4
F 值 显著性
20.49
**
1.61
查表得临界值F0.05(4，12)=3.26，F0.01(3，12)=5.95。由于 FB＜F0.05(4，12)，故认为地块不同对收获量无显著影响。 由于FA＞F0.01(3，12)，故认为品种不同对收获量影响极显著。
F比
FA
Se
SA /(s
/(r 1) 1)(r 1)
FB
Se
SB /(s
/(s 1) 1)(r 1)
对给定的显著性水平，当
FA>F(r-1, (s-1)(r-1))时拒绝H01, FB>F(s-1, (s-1)(r-1))时拒绝H02 .
例3 将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又 分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分 种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位： 公斤），试以显著性水平α1=0.05,α2=0.01考察品种和地块对收获 量的影响是否显著。
地块
品种
B1
B2
B3
B4
B5
生物统计第8章两因素及多因素方差分析
目录
• 引言 • 两因素方差分析 • 多因素方差分析 • 案例研究 • 总结与展望
01 引言
主题简介
两因素及多因素方差分析
在生物统计中，两因素及多因素方差分析是用来比较不同组之间的 平均值是否存在显著差异的统计方法。
适用场景
适用于研究两个或多个因子对响应变量的影响，例如药物剂量和治 疗效果、不同品种和产量等。
详细描述
例如，比较不同饲料类型和不同饲养环境下 猪的增重效果。将猪随机分为不同的组，每 组给予一种饲料并处于一种饲养环境，然后 比较各组的平均增重。
多因素方差分析案例
总结词
多因素方差分析用于比较多个分类变量对数值型变量的影响。
详细描述
例如，比较不同饲料类型、不同饲养环境以及不同品种的猪的增重效果。将猪随机分为 不同的组，每组给予一种饲料、处于一种饲养环境并属于一个品种，然后比较各组的平
基本思想
通过比较各组间的方差与误差方差，判断不同组间是否存在显著差 异。
课程目标和意义
掌握两因素及多因素方差分析的基本原理和步骤
通过学习，学生应能够理解两因素及多因素方差分析的基本概念、原理和实施步骤，为进一步应用和拓展打下基础。
培养解决实际问题的能力
学习两因素及多因素方差分析的目的是为了解决实际问题，如探究不同处理对实验结果的影响、比较不同组间的差异 等。通过学习和实践，学生应能够运用该方法解决实际问题。
03
研究方差分析在不同领域的应用，如医学、生物学、经济学和社会科 学等。
04
开发更高效的算法和软件，以方便用户进行方差分析和相关统计计算。
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感谢您的观看
均增重。
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析公式——了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析是一种统计方法，用于分析多个因素对观察结果的影响。
它通过比较不同因素水平下的观察值差异来判断这些因素对实验结果的影响程度。
在多因素方差分析中，我们需要了解与计算一些重要的公式。
1. 多因素方差分析的总平方和（SS_total）公式：SS_total = SS_between + SS_within其中，SS_total是总平方和，表示所有观测值与总均值之间的偏离程度；SS_between是组间平方和，表示不同因素水平下的观测值与总均值之间的偏离程度；SS_within是组内平方和，表示同一因素水平下的观测值与该水平下的均值之间的偏离程度。
2. 多因素方差分析的组间平方和（SS_between）公式：SS_between = ∑(ni * (μi - μ)²)其中，ni是第i组的观测值个数，μi是第i组观测值的均值，μ为所有观测值的总均值。
3. 多因素方差分析的组内平方和（SS_within）公式：SS_within = ∑∑((Xij - μi)²)其中，Xij表示第i组的第j个观测值，μi为第i组观测值的均值。
4. 多因素方差分析的组间平均平方（MS_between）公式：MS_between = SS_between / (k - 1)其中，k为不同因素水平的个数。
5. 多因素方差分析的组内平均平方（MS_within）公式：MS_within = SS_within / (N - k)其中，N为总观测值的个数。
6. 多因素方差分析的F统计量公式：F = MS_between / MS_withinF统计量用于判断不同因素水平的均值之间的差异是否显著。
若F 值大于某个临界值，则认为不同因素水平的均值存在显著差异。
通过以上公式，我们可以计算出组间平方和、组内平方和、组间平均平方、组内平均平方和F统计量，从而进行多因素方差分析。
双因素方差分析【最新】
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
两因素方差分析.
1 b n
yi.. bn
yijk
j 1 k 1
b
SSB na ( y. j. y... )2 j 1
y. j.
1 an
a i 1
n k 1
yijk
ba
SSAB n
( yij. yi.. y. j. y... )2
j 1 i1
1 n
yij. n k 1 yijk
ban
SS残差
E(MS A )
2
bn a 1
a
2 i
i 1
E(MSB )
2
an b 1
a i 1
2 i
E(MS AB )
2
(a
n 1)(b
1)
b j 1
a
( )i2
i 1
E (MS残差 ) 2
21
两因素方差分析的统计量
由此可以发现： 如果H10 : 交互效应均为0为真,则MSAB的期望值在 2，
10
两因素方差分析的基本概念
两因素设计的方差分析模型可以用角模型参数形式或平衡参数
形式表述。以下是两因素两水平无交互作用情况下的平衡参数
形式的表达式.
效应参数满足
A药 用 用 不用 不用
B药 用 不用 用 不用
Y 总体均数表达式
11 .. 1 1 ( )11 12 .. 1 2 ( )12 21 .. 2 1 ( )21 22 .. 2 2 ( )22
两因素方差分析的基本概念
用B药的情况下，A药用与不用的疗效差异为
B药不用1的1 情况21下，2A1药用2(与不)用11 的疗效差异为 用A药的12情况下22 ， B2药1用与2(不用)的11 疗效差异为 B药不用1的1 情况12 下，2A1药用2(与不)用11 的疗效差异为
生物统计学之二因素方差分析
（1）平方和的分解为：
C T2 ab
STS
2
(x ij x )
x2 C
SA Sb
2
(xi.x)
Ti.2C b
SB Sa
2
(x.jx)
T.j2C a
2
S e S ( x i jx i. x .j x ) S T S S A S S BS
（2）与平方和相应的自由度的分解为
② 主效应 由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量 称为主效应。
如表，当A因素由A1水平变到A2水平时，A因素的主效应为A2 水平的平均数减去A1水平的平均数。即
A因素的主效应=492-475=17 同理 B因素的主效应=496-471=25 主效应也就是简单效应的平均，如(32+2)÷2=17 , (40+10)÷2=25
在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况 每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。
第三节 二因素方差分析
二因素方差分析
定义：是指对试验指标同时受到两个试验 因素作用的试验资料的方差分析。
固定模型 随机模型 混合模型
二因素都是固定因素
二因素均为随机因素
一个因素是固定因素， 一个因素是随机因素
③ 交互作用(互作，interaction) 在多因素试验中， 一个因素的作用要受到另一个因素的影
响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应 不同，或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水平的变 化而变化时，则称该两因素存在交互作用。
显而易见，A的效应随着B因素水平的不同而不同，反之
亦然。我们说A、B两因素间存在交互作用，记为A×B。
主效和互作
主效应（main effect）：
方差分析
三、方差分析１、单因素方差分析例１这是某些汽车品牌的耗油量相关数据。
检验汽车品牌是否对耗油量有影响。
从表3.1可以看出，计算出的levene统计量为0.157，显著性值为0.856，远大于0.05表3.2为方差分析表，从左到右分别为平方和、自由度、均方和、F值和显著性指标。
从表3.2中的数据可以看出，组间的显著性指标值为0.008，小于0.05，即认为各组之间是有差异的。
也就是说至少有一种品牌的车耗油量与其他品牌的车的耗油量有显著差异。
表3.3所示是各类汽车品牌之间的显著性差异两两比较的结果。
从表中的数据可以看出，由于品牌B与其他两个品牌A、B比较的显著性结果都是小于0.05的，所以认为其同其他品牌在耗油量上有显著差异。
而另外两个品牌的车可认为其品牌的不同对耗油量的影响不显著。
图3.1 各组均值比较图从图3.1上可以印证标表3.3的结论。
通过观察图发现，品牌B车的平均耗油量远高于其他品牌的车。
2、多因素方差分析例2 关于不同专业不同大学的学生的收入情况。
试分析专业、大学及交互作用对收入是否有显著影响。
表3.4 主体间因子表值标签N专业 1 A1 152 A2 153 A3 154 A4 15大学 1 B1 122 B2 123 B3 124 B4 125 B5 12表3.4给出了因素在各个水平下的样本个数。
从表中的数据可以得出，专业有4个水平，每个水平下有15个样本，大学有5个水平，每个水平下有12个样本。
表3.5是两因素方差分析表。
表格左上方给出了指标变量是“收入”。
表中各列依次代表了方差的来源、III 型平方和、自由度、均方和、F值和显著性指标。
表中第一行代表对方差分析模型的检验。
其显著性指标值取为0.331，大于0.05，说明该模型是不适用的。
第二行代表的是截距，可以忽略。
第三四行代表的是专业、大学对收入的影响。
其中专业的显著性指标为0.456，大于0.05，则说明其对指标收入的影响不显著，大学的显著性指标值为0.048，小于0.05，则说明大学对指标收入有影响。
双因素重复测量方差应用条件
双因素重复测量方差应用条件1.引言1.1 概述双因素重复测量方差是一种统计分析方法，常用于研究实验中的重复测量数据。
在某些情况下，我们需要考察两个或两个以上因素对实验结果的影响，并希望了解这些因素之间是否存在相互作用。
双因素重复测量方差方法的应用条件是实验数据需要满足一定的前提条件，才能准确地使用该方法进行数据分析。
在具体的应用中，我们需要关注以下几个方面。
首先，实验数据需要满足正态性的要求。
正态性是指数据呈现出类似于正态分布的特征，即数据点在均值附近分布，并且两侧分布的形状对称。
如果数据违背了正态性的假设，那么双因素重复测量方差的应用结果可能会失真。
其次，实验数据需要满足独立性的要求。
独立性是指实验数据的观测值之间相互独立，彼此之间的测量结果不会互相影响。
如果实验数据存在相关性或序列效应，那么我们需要采取相应的方法来处理这种相关性，以确保研究结果的准确性。
此外，实验数据还需要满足方差齐性的要求。
方差齐性是指在不同水平或条件下，方差具有相同的性质，即方差的大小不会因为因素或条件的变化而改变。
如果实验数据的方差缺乏齐性，那么我们需要进行方差分析的修正，以确保分析结果的可靠性。
综上所述，双因素重复测量方差的应用条件包括正态性、独立性和方差齐性。
只有在满足这些条件的情况下，我们才能准确地使用双因素重复测量方差方法进行数据分析，并得出相关的结论。
这种方法的应用对于揭示实验因素对结果的影响以及因素之间的相互作用具有重要意义，可以帮助研究人员更加准确地理解实验结果的含义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个部分来探讨双因素重复测量方差的应用条件。
首先，我们将在引言中概述本文的背景和目的，为读者提供一个整体的了解。
接下来，将详细介绍双因素重复测量方差的定义和计算方法，以便读者能够理解其数学原理和计算过程。
最后，在结论部分将阐述双因素重复测量方差的应用条件和其对实际问题的实际意义。
在每个部分中，我们将提供清晰的解释和示例，以帮助读者更好地理解和应用所述概念。
双因素方差分析
双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。
设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值.i X （i=1,2,…r ）是在因素A 的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值jX .(j=1,2,…,n)是在因素B 的各种水平上试验的平均数。
以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE （6.13） 上式中：∑∑-=2)(X X SST ij(6.14)∑-=∑∑-=2.2.)()(X X n X XSSA i i (6.15)∑-=∑∑-=2.2)()(X Xr X XSSB j j（6.16）∑+-∑-=2..)(X X X X SSE ji ij(6.17)SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE 仍是组内方差部分，由随机误差产生。
各个方差的自由度是：SST 的自由度为nr-1，SSA 的自由度为r-1，SSB 的自由度为n-1，SSE 的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。
各个方差对应的均方差是：对因素A 而言： 1-=r SSA MSA （6.18） 对因素B 而言： 1-=n SSB MSB （6.19）对随机误差项而言：1---=n r nr SSEMSE （6.20）我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：)]1)(1(,1[~---=n r r F MSE MSA F A （6.21）)]1)(1(,1[~---=n r n F MSE MSBF B （6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。
试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。
第九章-两因素及多因素方差分析
B2
2
AA2 B、A2BB间＝A存（1 B在A11交B21互＋A2作AB2用B1 2。） 交－38互（2作A414用B2的＋1大A82小B212为）4：
20
【例】假设学生分两类：在校和在职。把两类学生随 机分成两组，分别采用课堂讲授和交互式教学方法， 考试结果如下表。
课堂讲授 交互式教学
要说明两个因素的交互作用是否显著：
H0 : ( )11 12 ( )ab 0 HA : ( )11，( )12， ，( )ab不全为0
第三步：计算统计量
平方和的简易计算法：
SST
a i 1
bn
SST
j1 k 1
a
xi2jk i 1
ii11 jj11 kk 11
aa
bb
nn [[((xxii.... xx...... )) ((xx.. jj.. xx...... )) ((xxiijj.. xxii.... xx.. jj.. xx...... )) ((xxiijjkk xxiijj.. ))]]22
xb 2 n
ajb1 nk1
x2 ijk
x2
abn
a b
SiS1Aj1
kbn1n1 xiai2jS1k SxiA2axb2nabx1bn2n ia,1
x2 i
SaSxbB2n ,
1 an
b
SSxB2j
jj 11
ii
abn
x...)2
(xijk xij. )2
i1 j1 k 1
离差平方和的分解
a
SSA bn xi x 2 i 1
双因素方差分析方法
(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.
《试验设计与数据处理》第3章_试验的方差分析
（4）计算均方—— 离差平方和/自由度
因素A的均方
MS A
SS A r 1
误差的均方：
因素B的均方
A×B的均方
MSB
SSB s 1
MS AB
(r
SS AB 1)(s 1)
MSe
SSe rs(c 1)
22
(5) F检验
FA
MS A MSe
xij
i 表示因素A对应的水平
j 表示因素B对应的水12 平
双因素无重复试验的方差分析的基本步骤：
（l）计算平均值 • Ai水平时所有试验值的算术平均值:
1 s
xi
s
xij
j 1
• Bj水平时所有试验值的算术平均值:
x j
1 r
r j 1
xij
• 所有试验值的总平均值:
1 r s
1r
1s
11
3.2 双因素试验的方差分析 ——讨论两个因素对试验结果有无显著性影响的问题
3.2.1 双因素无重复试验的方差分析 • 设在某试验中，有两个因素A和B在变化：
A有r 种水平A1，A2，…，Ar B有s 种水平B1，B2，…，Bs • 在每一种组合水平（Ai，Bj）上做1次试验; • 试验结果为xij（i=1，2，…，r；j = 1，2，…，s）; • 所有xij相互独立，且服从正态分布。
(4) 计算平均平方 • 用离差平方和除以自由度得平均平方，简称均方 • 组间均方：MSA SSA / dfA • 组内均方(又称为误差均方)： MSe SSe / dfe
9
(5) F检验
• 组间均方和组内均方之比F是一个统计量:
第三章 方差分析
N 报纸 广播 宣传品 体验 Total 36 36 36 36 144
Mean 73.2222 70.8889 56.5556 66.6111 66.8194
Std. Error 1.62232 2.16127 1.93647 2.24961 1.12732
Minimum 54.00 33.00 33.00 37.00 33.00
df1 3
df2 140
Sig. .515
分析：统计量值为0.765， P=0.515>0.5, 不拒绝原假设， 即可以认为方差齐的。
(因为已证明了各水平既服从正态分布又是方差齐的，所以可以进 行方差分析）
方差分析表
A N OV A 销售额 Sum of Squares 5866.083 20303.222 26169.306 df 3 140 143 Mean Square 1955.361 145.023 F 13.483 Sig. .000
√
勾选“Descriptive”、 “Homogeneity-of-variance”、 “Means plot”三项。 点击“Continue”钮返回
点击“OK”钮输出结果
结果输出和讨论：
D e sc r i p ti v e s 销售额 Std. Deviation 9.73392 12.96760 11.61881 13.49768 13.52783 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound 69.9287 76.5157 66.5013 75.2765 52.6243 60.4868 62.0442 71.1781 64.5911 69.0478
将“销售额[sale]”加入“Depedent”框；“广告形式[ad 加入“Factor List”框。 选择“Normality ….”(正态性检验）
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13.58 3.02** 2.83 2.14 1.88 1.15 1.14 0.90 0.82 0.48
13.10 2.54 2.35 1.66 1.40 0.67 0.66 0.42 0.34
12.76 2.20 2.01 1.32 1.06 0.33 0.32 0.08
12.68 2.12 1.93 1.24 0.98 0.25 0.24
27.2509
S
SA
1 b
xi2.
C
1 10
(121.332
121.122
121.852
)
C
0.0283
SSB
1 a
x.2j
C
1 3
(35.102
32.262
38.272)
C
26.7591
SS e SS T SS A SS B 27 .2509 0.0283 26 .7591
表3 q值与LSR值
dfe 秩次距k q0.05
2
2.97
3
3.61
4
4.00
5
4.28
18
6
4.49
7
4.67
8
4.82
9
4.96
10
5.07
q0.01
4.07 4.7 5.09 5.38 5.6 5.79 5.94 6.08 6.2
LSR0.05
0.28 0.34 0.37 0.40 0.42 0.43 0.45 0.46 0.47
【例1】某厂现有化验员3人，担任该厂牛奶酸度 （°T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验， 连续10天的检验分析结果见表6。试分析3名化验员 的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有 无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20 °T ） 。
化验 员 A1 A2 A3 x.j x.j
B1
11.71 11.78 11.61 35.10 11.70
度均差异极显著或显著。酸度最高的是B7， 最低的是B5和B2。从牛奶质量要求看，连 续10d的牛奶酸度均在鲜奶范围内。
在进行两个因素或多个因素的试验时，除 了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往 往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标 的影响情况。
通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分 等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物 的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和 微生物活动，保持食品质量有着重要意义。
各项离差平方和与自由度的计算公式为:
矫正数 总平方和 A因素离差平方和 B因素离差平方和
C x.2. / ab
ab
ab
ST S
(xijx..)2
xi2jC
i1j1
i1j1
SA Sbi a1(xi.x..)2b 1i a1xi2 . C
b
SS Ba (x.j
j1
x..)2a 1jb1x.2j
C
误差平方和 总自由度 A因素自由度 B因素自由度 误差自由度
SSe=SST-SSA-SSB dfT=ab-1 dfA=a-1 dfB=b-1 dfe= dfT - dfA – dfB
=(a-1)(b-1)
相应均方为
MS A SS A / df A , MS B SS B / df B , MS e SS e / df e
两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：
xij i j ij (5-26)
(i1,2,,a;j1,2,,b)
式中， μ为总平均数；
αi，βj分别为Ai、Bj的效应； αi=μi-μ， βj=μj-μ，
μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数， 且Σαi=0，Σβj=0；
εij为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)
Ai合计xi.. x1..
表5中
n
x ij .
x ijl
l1
每个组合处理n 次重复之和
bn
x i .
x ijl
j1 l1
A因素第i水平 bn个数据之和
an
x . j .
x ijl
i1 l1
B因素第j水平 an个数据之和
abn
x ..
x abn个数据总和 ijl
i1 j1 l1
A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平 有a次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及 随机误差的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异 可以分解为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异 及试验误差三部分；自由度也相应分解。
离差平方和与自由度的分解如下：
SST SSASSBSSe dfT dfAdfBdfe
3.2两因素方差分析
3.1.1 两因素无重复试验资料的方差分析 对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合， 每个水平组合只有一个观测值（无重复）， 全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表 所示。
表 两因素无重复观测值的试验数据模式
注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水 平组合，每一组合观测一次，有ab个观测值（表5），xij 为A的第i水平与B的第j水平组合观测值。
(2)这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差 均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素 的显著性， 从而增大犯Ⅱ型错误的概率。
(3) 每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正 的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。
交互作用
交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素 所取的水平时，称两因素有交互作用。
表5 两因素等重复观测值试验数据模式
两因素等重复试验数据模式（部分）
A因素
A1
x1jl
x1j. x1j.
A2
B1 x111 x112 x113 … x11n x11. x11. … … …
B因素
B2
…
x121 …
x122 …
x123 …
……
x12n … x12. x12.
……
……
……
Bb x1b1 x1b2 x1b3 … x1bn x1b. x1b. … … …
3.1.2 交叉分组两因素等重复试验的方差分析 对两因素和多因素等重复试验结果进行
分析， 可以研究因素的简单效应、主效应 和因素间的交互作用（互作效应）。
三种效应
1．简单效应（simple effect） 是指在某一因素同一 个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。
三种效应
2．主效应（main effect） 是指某一因素各水平间的平均 差别。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平 间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有 组合的情况。
LSR0.01
0.38 0.44 0.47 0.50 0.52 0.54 0.55 0.57 0.58
B因素各水平均值多重比较结果见表4
测定 日期
B7 B6 B10 B8 B4 B3 B1 B9 B2 B5
表4不同测定日牛奶酸度多重比较结果（q法）
x.j
x.j10.56
x.j10.7
5
11.44 11.70 12.43 12.44 12.68 12.76 13.10
在两因素无重复观测值试验中，A因素每一
水平的重复数恰为B因素的水平数b，故A因素
的标准误为 标准误
Sxi. MSe /b；同理，B 因 素 的
Sx.j MSe / a
对例1分析，a=3，MSe=0.0258。故
Sx.j Me/a S0.02/3 50 8 .093
根据 dfe=18，秩次距 k=2，3 ，…，10，查 临界 q 值 ，计算最小显著极差LSR，见表3。
B2
10.81 10.7 10.75 32.26 10.75
表1 牛奶酸度测定结果
B3
B4
B5
xi.
xi.
12.39 12.5 12.4 37.29 12.43
12.56 12.35 12.41 37.32 12.44
10.64 10.32 10.72 31.68 10.56
13.26 12.93 13.1 39.29 13.10
三种效应
3. 互作效应（interaction effect） 如果某一因素的 各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度 超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。
两因素等重复试验的方差分析
设A、B两因素，A因素有a个水平，B因素 有b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组 合有n次重复试验，则全试验共有abn个观测值。 试验结果的数据模式如表5所示。
(i 1 ,2 , ,a ;j 1 ,2 , ,b ;l 1 ,,2 , ,n )
在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约、 互相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来起 作用，这种联合作用并不等于各因素单独作用所产生的影响之和，称这 种联合作用为交互作用。 例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷 肥和氮肥，其产量如下：
P1=0
12.44 1.88 1.69 1.00 0.74 0.01
12.43 1.87 1.68 0.99 0.73
11.70 1.14 0.95 0.26
11.44 0.88 0.69
10.75 0.19
10.56
处理
B7 B6 B10 B8 B4 B3 B1 B9 B2 B5
附表：多重比较结果字母表示
n
x ij . x ijl / n l1
bn
x i ..
x ijl / bn
j1 l1
an
x . j .
x ijl / an
i1 l1
abn
x ... x ijl / abn i1 j1 l1