matlab结题报告(电偶极子的辐射场)

电偶极子的辐射场

背景与意义：

对于一个带电体来说，如果正负电荷呈电偶分布，正、负电荷的重心不重合，那么讨论这种带电体的电场时，可以把它模拟成两个相距很近的等量异号的点电荷+q 和−q ，这样的带电系统称为电偶极子。实际生活中电偶极子的例子随处可见，例如，在研究电解质极化时，采用重心模型描述后电解质分子可等效为电偶极子；在电磁波的发射和吸收中电子做周期性运动形成振荡电偶极子；生物体所有的功能和活动都以生物电的形式涉及到电偶极子的电场等，当天线长度l 远小于波长时，它的辐射就是电偶极辐射。因此，研究电偶极子在空间激发的电场问题具有重要意义。我们主要讨论宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。

基本内容介绍：

1. 计算辐射场的一般公式

A B ⨯∇= (1)

B k

ic E ⨯∇= （2） 其中

A ⃗ (x,⃗⃗ t)=μ04π∫J (x ,⃗⃗⃗ ,t−r c )r V dV , (3)

若电流J 是一定频率的交变电流，有

J (x ,⃗⃗ ,t )=J (x ,⃗⃗⃗ )e

−iωt (4) 代入（3）式得

A (x ,,⃗⃗⃗⃗ t )=μ04π∫J (x ,⃗⃗⃗ )e i(kr−ωt)r V dV ， （5）

式中k =ω/c 为波数。令

A (x ,t )=A (x )e −iωt

有 ')'(π4μ)(0dV r

e x J x A V ikr ⎰= （6） 2. 失势的展开

在失势公式（6）中，存在三个线度：电荷分布区域的线度l ，它决定积分区|x ,⃗⃗⃗ |的大小；波长λ=2π/k 以及电荷到场点的距离r 。我们研究分布于一个小区域的电流所产生的辐射。所谓小区域是指它的线度远小于波长λ以及观察距离r ，即

λ<

这种情况下，可以讲失势做展开得

A (x )=μ0e ikr 4μr ∫J V (x ,⃗⃗⃗ )(1−ike r ⃗⃗⃗ ∙x ,⃗⃗⃗ +⋯)dV , (7) 3. 电偶极辐射

我们研究展开式的第一项 ')'(πR 4μ)(0dV x J e x A V ikR

⎰= （8）

先看电流密度体积分的意义。电流是有运动的带电粒子组成的。设单位体积内有n i 个带电荷为q i ,速度为v i 的粒子，则它们各自对电流密度的贡献为n i q i v i ，因此 ∑=i i

i i v q n J

其中求和符号表示对各类带电粒子求和。上式也等于对单位体积内的所有带电粒子的qv 求和。因此

∑⎰=v q dV x J V '')(

式中求和符号表示对区域内所有带电粒子求和。但 p dt

p d x q dt d v q ===∑∑ 式中P

⃗ 是电荷系统的电偶极矩。因此 p dV x J V =⎰'')(

∆l

如右图所示，当两个相距为∆l 的导体球组成，两个

导体之间由导线连接。当导线上有交变电流I 时，两导体上的电荷±Q 就交替变化，形成一个振荡电偶极子。这系统的电偶极矩为 l Q p ∆=

当导线上有电流I 时，Q 的变化率为 I dt

dQ = 因而体系的电偶极矩变化率为 '')(dV x J l I l Q dt d dt p d p V ⎰=∆=∆== （9）

由此可得，（8）式代表振荡电偶极矩产生的辐射 p e x A ikR πR

4μ)(0= （10） 在计算电磁场时，需要对A

⃗ 作用算符∇。我们只保留1/R 低次项，因而算符∇不需作用到分母的R 上，而仅需作用到因子e ikr 上，作用结果相当于代换

R

e ik →∇

ωi t -→∂∂ 由此得辐射场

R ikR R ikR e p e R c p e e R k i A B ⨯=⨯=⨯∇=200414πεπμ (11) R R ikR R e e p R c e e B c B k ic E ⨯⨯=⨯=⨯∇=)(420πε （12） 写成分量形式得

3

)/()]sin()[cos(cos 2kr kr t kr kr t A E r ---=ωωθ （13） 322)/()]sin()cos()1[(sin kr kr t kr kr t r k A E ----=ωωθθ (14) 0

=φE

(15)

编程实现：

要实现电场的可视化操作，首先要得出电场线的方程

由电场个分量之间关系可得出

sin 2θ∗cos (ω∗t−k∗r )−k∗r∗sin (ω∗t−k∗r )k∗r

=K (16) 由式中K 为积分常数，K 取不同的值则得到不同的电力线。因此由(16)式可绘制出电偶极子的电力线族。在绘图时，需要将球坐标还原成直角坐标：

11cos (/tan (/)r z y x θφ--===

由于电场分布与φ角无关，故电场分布关于z 轴对称，因此可以只考虑某个过z 轴的平面(如xoz 平面)上电力线图，对于xoz 平面，y=0，因此(4)式中球坐标 r =√x 2+z 2 ; θ=acr cos(z/√x 2+z 2) (17)

且x 、z 的取值范围均为[,]r r -。

显然，(16)式可以写成 (,)u x z K =的形式，这其实是标量函数u(x,z)的等值线方程，因此电偶极子的电力线方程就是函数u(x,z)的等值线方程。MATLAB 提供了一个专门的函数用于绘制标量函数u 的等值线(或称等高线)图：

[c, h] = contour (X, Z, U, V)

其中，X,Z,U 为同维的矩阵，X ，Z 指定平面上点的x 、z 坐标，可由meshgrid 命