九年级数学：切线长定理
华师大版九年级下册数学27.切线长定理课件
(13﹣x)+(9﹣x)=14
x+y=9
Ax
x
F 9﹣y x
E
y+z=14 x+z=13
13﹣zx
O
B
9﹣y x
D
1z3﹣x
C
A
设△ABC的BC=a，AC=b，AB=c，内切 x
x
圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、 F
必须掌握并能灵活应用。
2.你还有什 么收获吗?
A F
OE
B
C
D
B
A
c
b
O
a
C
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切
线的夹角。
B
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
如图，已知⊙O的半径为3cm.点P和圆心O的距 离为6cm，经过点P有⊙O的两条切线PA 、 PB, 则切线长为_____cm，这两条切线的夹角为 __6_0__°_， ∠ AOB=_1_2_0_°__。
B
。
P
O
A
例1: 如图，已知AB、AC是⊙O的切线，B、C为
切点，连结BC交AO于D. ⑴若AD=6，AO=8，求切线AB的长； ⑵若BC=4，∠BAO=30°，求⊙O的直径。
九年级数学切线长定理
A
1
O
M
2
B
证明：
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
关键是作辅助 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 线~ 根据你的直观判断，猜想图中 PA是否等于PB？∠1与∠2又 又OA=OB，OP=OP， 有什么关系？
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
⌒
P
A
O
P
B
• 切线长定理：
•
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
； https:///1/ ； https:///2/ ； https:///3/ ； https:///4/
； https:///5/；
道："屠将你呀の人撤回去吧,等白重炙出关了,俺让他交出神剑与你呀,如何?" "桀桀！你呀の承诺没有任何效用,那个不咋大的畜生不出来,俺就让整个炽火大陆替他殉葬！"屠继续笑一声,而后冷冷传音过来,言语中の寒意将下方数百条大船数万人同时感觉如坠冰窟. "你呀…"九大 人气の浑身一阵颤抖,怒道："你呀这样做炽火大陆迟早会被你呀毁灭,到时候炽火大陆都没人了,你呀这个领主还有用吗?" "桀桀,俺花费数百万神石购买了炽火位面,俺想怎么玩就怎么玩,想让它毁灭就毁灭.再说了全部灭绝又如何,不出数万年,这个位面又会繁衍出数亿人,所以这多 俺来说,没有什么损失！" 神主屠轻飘飘の一句传音,将九大人和在场の无数人以及时刻关注着这里の大陆神级强者,全部一震. 所以人第一时候感觉到只有两种心情,悲哀,愤怒！ 做为位面の领主,可以随意掌控位面の所有人生死.就算毁灭了一些文明,他也可以等待数万年,等待下 一些文明の诞生.他才是炽火位面の神,而炽火位面の所有人包括神级强者都
人教版九年级数学上册《切线长定理,三角形的内切圆》课件
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
九年级下册数学精品课件24.4 第3课时 切线长定理
12
例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B， 点 C 在⊙O上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度 20 度． 数是________ 解析：如图所示，连接OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝ 140°. ∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， ∴O，A，B，P四点共圆，OP平分∠APB，∴∠APB＝ 180°－∠AOB＝180°－140° ＝40°＝2∠OPA. ∴∠OPA＝20°. 故答案为 20.
8
2019/5/17
2. 若PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么 新的结论? 请给出证明.
CA=CB 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线，点 A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. A ∴ △PCA ≌ △PCB， C O. ∴CA=CB.
B
2019/5/17
2019/5/17
13
练一练 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点， 在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、 PB 于点D、E. 已知△PDE的周长为14，∠P=40°. 则 (1) PA= 7 ； A (2) ∠DOE= 70° . D
P C E B
2019/5/17
问题2 沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？ 试着 自己证明.
PA = PB， ∠APO =∠BPO. 证明：连接OA，OB， ∵ PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP， ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
4
A
O.
B
2019/5/17
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
九年级数学切线长定理
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
B
。
O
1 2
P
A
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，
A、B为切点，直线OP交⊙O E 于点D、E，交AB于C。
N
∴AL=AP， LB=MB, D
NC=MC， DN=DP O
P ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
AL
C M B
例2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4， 求OB的长.
O CD
P
B （1）写出图中所有的垂直关系
（2）写出图中与∠OAC相等的角
（3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中所有的相似三角形 （5）写出图中所有的等腰三角形
例1 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O
分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD
由切线长定理得：
（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）
小 结：
1.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的
切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角。 B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
E
。
OC
D
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
九年级切线长定理知识点
九年级切线长定理知识点九年级切线长定理是数学中的一个重要定理，它在解决几何问题中起到了至关重要的作用。
切线长定理的应用范围非常广泛，涉及到各种与圆相关的数学问题。
本文将从几何概念、切线的定义、切线长定理的推导和应用等方面进行讲解。
首先，我们来回顾一下一些基本的几何概念。
在平面几何中，圆是指平面上与一个确定点的距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径决定，其中圆心是指到圆上任意一点的线段的中点，半径是指圆心到圆上任意一点的线段。
而切线是指与圆只有一个公共点的直线。
那么，如何准确地描述切线的定义呢？我们可以从圆的性质出发来定义切线。
对于任意一点P在圆上，过P点与圆心O的直线，称为弦。
如果弦只有一个公共点与圆相交，那么这条弦就是切线。
换言之，切线是与圆只有一个交点的直线。
接下来，我们来探索一下切线长定理的推导过程。
假设已知圆的半径为r，切线与半径的交点为A，切线与圆的切点为B，那么我们要证明切线长与半径和半径所对的圆心角存在相等关系。
首先，我们可以得到△OBA为直角三角形。
通过勾股定理，我们可以得到OB的平方等于OA的平方加上AB的平方，即OB²=OA²+AB²。
运用一些几何性质，我们得到△OBA与△OAB相似。
由于两个三角形的对应边的比例相等，于是可以得到OA的比例等于AB的比例，即OA/AB=AB/OB。
同时，AB/OB等于弦两端的线段的比例，即AB/2r，因为弦被半径平分。
将这个比例代入前面的等式中，我们可以得到OA²=2r×AB。
这就是切线长定理的推导过程。
经过推导，我们可以得出切线长与半径之间的关系。
具体来说，切线长等于半径的平方乘以2，即l=2r。
这意味着在圆上，如果我们知道了圆的半径，就可以直接计算出切线的长度，而不需要知道切线与半径的具体交点位置。
切线长定理在解决几何问题中发挥了重要的作用。
它在很多应用中都展现出了其独特的价值。
例如，当我们需要计算切线的长度时，只需要知道圆的半径即可，无需知道切线与圆的具体交点位置。
24.2.2 第3课时切线长定理
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长相等，圆心 A
和这一点的连线平分两条切线
的夹角.
O
P
书写格式: PA、PB分别切⊙O于A、B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理可以用来证明线段相等、角相等。
PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
A
O
P
B
（1）若AP=4,则OP= 5 ; （2）若∠BPA=60 °,则OP=
6.
问题
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
A
已知：△ABC.
求作：和△A
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN， 交点为O.
N M
O
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ⊙O就是所求的圆.
C
B
D
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. 4.这个三角形叫做圆的外切三角形. A D F
I
B ┐ E
C
填一填：
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边 垂直平分线 线的交点
图形
A
性质
OA=OB=OC
B
O
三角形三个内 内心：三 角角平分线的 角形内切 交点 圆的圆心
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
24.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
学习目标
1.掌握切线长定理，会用切线长定理计算与证明.
2.理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
九年级数学上册教学课件《切线长定理》
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、F，你能得到哪些信息？
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
拓展延伸
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，则OB平分∠EBF，DC平分∠FCG.∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF =90°.
1. 如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°，点 O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
.
例2
解：设AF=x,则AE=x, CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.因此，AF=4，BD=5，CE=9.
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( )A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
2. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的 面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.)
初中数学：切线长定理
切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角. ∵ PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO
人教版《数学》九年级（上）
应用延伸
例 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B. 连接AB，若∠ APO =30°，PA=2，求AB的长.
人教版《数学》九年级（上）
应用延伸
人教版《数学》九年级（上）
小结提升
这节课你学到了什么知识？ 在解题的过程中你有什么解题的心得？ 在和同学交流的过程中，你有什么体会？
人教版《数学》九年级（上）
分层作业
必做题
1.教材101页第6题. 2.第102页第11题. 选做题 1.在教材101页第6题的图中，连接OB、OP，图中有哪些角与 ∠OAB、∠AOP相等？ 2.如图，PA、PB、QC分别与⊙O相切于点A、 B、C，CQ、BP的延长线交于点M ，当点A
例 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B. （1）连接AB，若∠ APO =30°，PA=2，求AB的长. （2） 延长BO，交⊙O于点C，过点C作⊙O的 切线交PA的延长线于点Q ，
②QO与AB的位置关系，并证明.
人教版《数学》九年级（上）
应用延伸
在弧BC上运动时，△MQP的周长会发生变
化吗？请说明理由.
人教版《数学》九年级（上）
情境引入
人教版《数学》九年级（上）
情境引入
人教版《数学》九年级（上）
情境引入
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫切线长.
人教版九年级上册24.2.2
人教版《数学》九年级（上）
自主探索
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫切线长. 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的
人教版九年级数学上册切线长定理ppt课件
例1.PA、PB是⊙O的两条 切线，A、B为切点，直线
A
OP交于⊙O于点D、E，交 A（B1于）写C出。图中所有的垂直关系
E
O CD
P
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
∴△PEF周长为24cm
P
A E
O Q
FB
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
三、三角形的内切圆
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
A
2.三角形的内心：
定义:内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。
O
作图:三角形的内心在三角形的角平分线上。 B
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
H
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
A
圆的外切四边形的两组对边的和相等．
D O· E
G C
F B
课堂小结
定义
圆外一点和切点之间的线段的长
切线长 定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等； 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
2.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点 作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长。
人教版九年级数学课件-切线长定理
即 1AC•BC1AC•r1BC•r1AB•r ，所以 r 1 AC BC AB ，代入數據
2
222
2
得r=1cm.
方法小結：直角三角形的外接圓半徑等於斜邊長的一半，
內接圓半徑
r abc 2
.
（2）若移動點O的位置，使⊙O保持與
A
△ABC的邊AC、BC都相切，求⊙O的半徑r
的取值範圍.
D
24.2 直線和圓的位置關係
第3課時 切線長定理
學習目標
1.掌握切線長定理，初步學會運用切線長定理進行計算 與證明.（重點）
2.瞭解有關三角形的內切圓和三角形的內心的概念. 3.學會利用方程思想解決幾何問題，體驗數形結合思想. （難點）
問題1 上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線（如
左圖所示），如果點C是圓外一點，又怎麼作該圓的切線
⑵ ∠DOE= 70°. P
DA
C
O
E B
例2 △ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切於點D、
E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE
的長. A
想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？
理由是什麼？
F
解:設AF=xcm，則AE=xcm.
E O
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
2
總結歸納
設Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC
的內切圓的半徑 r＝ a＋b－c 2
ab
或r＝ a＋b＋c
當堂練習
1.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A、B，如
果AP=4, ∠APB= 40 ° ,則∠APO=20 ° ,PB=4 .
切线长定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
第二十四章 圆 24.2.2直线和圆的位置关系
切线长定理
学习目标：
1. 了解切线长 2. 探究切线长定理
1.切线长
已知⊙O 和⊙O 外一点 P，能够过点 P 画出⊙O 的两条切线。
A
切线长
P
B
切线长
折叠发现：（1）图中的线段 PA = PB
（2）∠APO=∠BPO
A
O
P
B
2.切线长定理
• 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们 的切① 线长相等，这一点②和圆心的连线平分
两条切线的夹角.
Байду номын сангаас
A
几何语言：
∵PA，PB切⊙O于点A，B.
O
∴PA=PB
P 且∠APO=∠BPO
B
3.巩固应用
如图，P是⊙○外一点，PA，PB分别和⊙○切于A，B
两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙○的切线分别交
已知： 线段PA,PB切⊙O于点A，B，连接OP
求证：（1）PA=PB（2）∠APO=∠BPO
证明：连接OA，OB
∵PA，PB为⊙O的切线
A
∴PA⊥OA，PB⊥OB
∠PAO=∠PBO=90°
在Rt△ PAO和 Rt△ PBO中
O
P
OA=OB
OP=OP
B
∴△PAO ≌ △PBO（HL）
∴PA=PB
∴∠APO=∠BPO
PA，PB于点D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长
为（ B ）
A. 12
B. 6
C. 8
D. 4
A D
O
C
P
E B
小结
切线长定理： 条件：从圆外一点可以引圆的两条切线 结论：①切线长相等
九年级数学第三章切线长定理
切线长定理【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点进阶：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理例1．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．例2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A作AD BF⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.OFDCBA3421OFDCBA例3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A.12B.24C.8D.6类型二、圆外切四边形例4.已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【巩固练习】 一、选择题1. 下列说法中，不正确的是 ( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） A.21（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.31（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r3.如图，点P 在⊙O 外，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∠P=50°，则∠AOB 等于（ ）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°4. 如图所示，⊙O 的外切梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°第4题图 第5题图5．如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°，∠P 的度数为（ ）A.35°B.45°C.65°D.70°6．已知如图所示，等边△ABC 的边长为2cm ，下列以A 为圆心的各圆中， 半径是3cm 的圆是( )二、填空题7．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o，则∠A 的度为________．第7题图 第8题图 第9题图8．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________．9．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度．10．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P ____度．第10题图 第11题图11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 .12.已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= ．三、解答题13．已知，如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是BC上任意一点，过点P 作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N，设AO=d，BO=r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值．14. 已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若PA=10cm，求△PCD的周长．15.如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．（1）求证：四边形OECF为正方形；（2）求⊙O的半径；（3）求AB的长．。
切线长定理课件浙教版数学九年级下册
∵ OA=OB, ∴OP平分∠ APB, ∠ OPA=30°,
OA AP tan 30 24
3 3
8
（3 cm ).
而∠AOB=360°-2×90°-60°=120°
AB
120 OA
180
2 8
3
3
29(cm )
答：两切点间的距离为24cm， AB 的长约为29cm
新知讲解
（1）由切线长定理 既可得到线段相等， 又可以得到角相等，运用时要根据题意 选用. （2）切线长定理的基本图形要记牢， 由基本图形可得到很多有用结论：
符号表示: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠1＝∠2
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
新知讲解
定理拓展：
若PA、PB是的两条切线，A、B为切 点，直线OP交于点D、E，交AB于C.
(1)写出图中所有相等的线段 AO=BO=DO=EO,AP=BP,AC=BC （2）写出图中所有相等的弧 AD BD, AE BE, DAE DBE
（3）写出图中所有垂直关系 OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP （4）写出图中所有等腰三角形 △ABP, △AOB （5）写出图中所有全等三角形
△AOP≌△BOP, △AOC≌△BOC, △ACP≌△BCP
新知讲解
例1 如图，点O是 AB 所在圆的圆心，AC，BC分别 与⊙O相切于点A,B,已知∠ACB=80°.OC=102m求 点C到⊙O的切线长（结果精确到1m）.
分析：对于求切线长，一 般连过切点的半径，构造 直角三角形，然后再解直 角三角形.
新知讲解
解：如图,连结OA，OB ∵ AC，BC分别与⊙O相切于点A,B， ∴AC=BC（过圆外一点所作的圆的两条切线长相等）
九年级数学辅导： 圆 切线长定理
切线长定理【知识要点】 一、切线长定理： 1．切线长概念：在经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，是圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 4．两个结论：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．【典型例题】例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，40APB ∠=︒， 求：①⊙O 的半径；②EOD ∠的度数．例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；P（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．例3 如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，AGB:AMB=1:2，AP=6，试求AB 、OA 、OP 、OC 、PG 的长度。
例4 如图，已知经过半径为6cm 的⊙O 的直径AB 的两端作该圆的切线AC 和BD ，再过⊙O 上一点P 作切线与AC 、BD 分别交于C 、D 两点，四边形ABDC 的面积为902cm ，求四边形ABDC 各边的长。
例5．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、E,DO 交AE 于F ，OC 交BE 于G ．求证：（1）CO DO ⊥（2）四边形EFOG 是矩形BAPGCOBM·ABC PDO·AODBCEFG【课堂训练】1．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，OP 与⊙O 相交于点M ,以下结论，错误的是（ ） A 、OP AB ⊥ B、AM=DM C 、APO BPO ∠=∠ D 、M 是PAB ∆的外心2．若⊙O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为：（ ） A 、30︒ B 、45︒ C 、60︒ D 、90︒ 3．圆的外切平行四形一定是 形．4．圆外切梯形的周长为24cm ，则它的中位线的长是 ㎝．5．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝，则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝， 内切圆半径为 ㎝．6．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ，且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ，⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝．7．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==， 则⊙O 的半径是 ㎝．8．如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD 、BC 的长．C课后作业姓名日期完成时间家长签名1．如图，Rt ABC∆中，90BAC∠=︒，以AB为直径的⊙O交BC于点D，切线DE交AC于E．求证：12DE AC=．2．如图，AF是⊙O直径，CB切⊙O于B，CE⊥AF于E，交AB于D，求证：CB=CD．3．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F．（1）求证：2AB AE BC=⋅；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长．·AODBE·AODB CEF。
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习【知识点精讲】（一）知识要点----切线长定理1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（二）知识要点----三角形内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
练习1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等。
2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ；（2）连结OC ，如果PD=∠ABC=，求OC 的长．603.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为__________，OB的长为__________；（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为__________．（用含n的式子表示）【总结】三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。
九年级数学下册第三章圆3.7切线长定理初中九年级下册数学
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内容(nèiróng)总结
3.7 切线(qiēxiàn)长定理。(1)这个图形是轴对称图形吗。(1)由切线(qiēxiàn)长定理既可以得到线段相 等，又可以得到角相。②AO⊥AP，BO⊥BP。∴ CE=CF=r.。(2)如图②，过点B作BH⊥AM于点H，。∵直
∴PO＝ ，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ 2 3
＝3，∠DOE＝
PO2 AO2
∠A1 OB＝60°. 2
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总结
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线长定 理的基本(jīběn)图形，作过切点的半径、连接圆外一点与圆心 是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及的线段、 角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的关键， 而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也起到了 很好的辅助作用．
B．∠APO＝20° C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70°
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3 (2015·南充)如图，PA和PB是⊙O的切线(qiēxiàn)，点A和B
是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则 ∠ACB的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
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A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是(jiùshì)圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆
的半径
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切 线 长 定 理 胜利中学刘秀峰
学习目标：理解切线长、切线长定理，并会用切线长定理解决实际问题。
培养学生的观察、
分析能力，转化思想。
重点：切线长定理及实际应用。
难点：切线长定理的实际应用。
学习过程：
一、如图：在同一平面内，你能过已知点，作出已知圆的切线吗？
二填空：
1、经过 一点作圆的切线, 和 之间的 叫做这点到圆的
2、如图：(1)直线PA ，PB 叫 。
（2）线段PA 、PB 的长叫 。
3、切线和切线长是两个不同的概念：
（1）、切线是一条与圆相切的 ，不能 ；
（2）、切线长是 ，这条线段的两个端点分别是 和切点，可以 。
4、切线长定理：从 可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角．
5、切线长定理的数学语言是：
∵
∵
6、如图：PA 、PB 是∵O 的两条切线，A 、B 为切点；由切线长定理可以得出哪些结论？
(1) 图中所有的直角三角形是：
(2) 图中所有的等腰三角形是：
(3) 图中所有的全等三角形是：
三、尝试应用（一），我最棒！ 如图：已知∵O 的半径为3cm ，PO ＝5cm ，PA ，PB 分别切∵O 于A ，B ，
（1）PA ＝ ,PB ＝ .
（2）若PO 交∵O 于点Q ，直线CD 切∵O 于点Q ，交PA 、PB 于点C 、D ，则
∵PCD 的周长是______.
· O · O · O ·P ·P ·P O B A P O B A P C Q D Q D C 。
A O C P B
四、如图：有一张三角形铁皮,如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮?
五、尝试应用（二）
已知：在∵ABC 中，BC ＝14厘米，AC ＝9厘米，AB ＝13厘米，它的内切圆I 分别和BC ，AC ，AB 相切于点D ，E ，F ，求AF ，BD 和CE 的长
六、小结：
1、本节课你有什么收获？
2、你还有什么不明白的问题吗？
七、课堂检测，我是高手！要求认真读题、回扣知识点！
1、直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm 则其内切圆的半径为______。
2.已知：AB,BC,CD 分别与⊙O 相切于E,F,G 三点，且AB ∥CD ，BO=6cm ，CO=8cm.求BC 的长..
A B C ● I D E F B
A C a b c r A F E D C
B O G。