高中物理竞赛精品讲义之—程稼夫篇

电磁学

静电学

1、 静电场的性质

静电场是一个保守场，也是一个有源场。

F dl o ⋅=⎰u r u u r Ñ 高斯定理

静电力环路积分等于零 i o

s q E ds E ⋅=∑⎰⎰u u r u u r Ò i v q dv ρ⎛⎫→ ⎪⎝⎭

∑⎰⎰⎰

电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系

b a b a

qE d r w w ⋅=-∑u r r

a b E dr U U ⋅=-∑u r r

①

过程 E dr dU ⋅=-u r r

一维情况下 x dU

E dx dx

=-

x dU

E dx

=-

② 2、 几个对称性的电场

（1） 球对称的电场

()Q 、R

3

14o Q

r r R E R

π≤

()22

3

1342o Q Q R r r R E r

R π-≤

3

3

342o 143o R r R E r E r πρρπ⎛⎫= ⎪⎝⎭

例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图

(1) 求空腔中心处的电场E u r

(2) 求空腔中心处的电势U

解:(1)在空腔中任选一点p ,

p E u u r

可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之

差,

即 ()

1212333p o o o

E r r r r E E E ρρρ=-=-u u r u r u r u

r u r 令12a o o =r u u u u r

3p o

E a E ρ=u u r r

这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o o

E a E ρ=u u u r r

(2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理

p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差

即()()()22222

2212123303666o o

o

o U R a R R R a E E E ρ

ρ

ρ⎡⎤=

--

-=

--⎣

⎦

假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s V V ,计算i s V ,受到除了i s V 上电荷

之处,球面上其它电荷对i s V 的静电力,这个静电力包含了j s V 上电荷对i s V 上电荷的作用力.

同样j s V 受到除了i s V 上电荷以外,球面上其它电荷对j s V 上电荷的作用力,

这个力同样包含了i s V 对j s V 的作用力. 如果把这里的i

j s s V V 所受力相加,则,i j s s V V 之间的相互作用力相抵消。

出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。

求法:2

2

222

2=f 224o o o R Q F R R E E R σππππ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭

g L

再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?

通常谈论的表面上电场强度是指什么?

例:求均匀带电球面(),Q R ,单位面积受到的静电力?o f = 解:令()R R R

R R →+≤V V

过程无限缓慢

得出此过程中静电力做功的表达式:

()

2222

2

4222424o o o o Q Q Q Q f R R C C R R R ππεπε⋅⋅=-=-⨯⨯+V V

221111818R o o R Q Q R E R E R R ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦

⎣⎦V V 228o Q R E R

π=V 2

2214422o o o

Q Q f R R E σππε=⋅⋅=

或者算出2o o

f E E E σ

σ

=⋅=

表面表面

而且可以推广到一般的面电荷()σ

在此面上电场强度()

12

1

2

E E E

=+

表面

例:一个半径为R,带电量为Q的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力?

解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难.

例:求半径为R,带电量为Q的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度.

解:静电场(真空)能量密度2

1

2o

E E

ω=

本题球面外侧:

2

1

4

o

Q

E

E R

π

=

22

2

11

242

o o

o o

Q

E f

E R E

σ

ω

π

⎛⎫

===

⎪

⎝⎭

推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为

r

E的多向同性均匀电合质,

2

2

1

22

r o o

r o

E E E f

E E

σ

ω===