线代题2

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湖南大学课程考试试卷

考试中心填写：

由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为 .

二、计算行列式（16分）

(1). 1

11

1021412112405-.

(2)..

)3(11113

2

1223222122322213

2

1≥=

----n x x x x x x x x x x x x x x x x D n n

n n n

n n n n n n

n

n

三、(12分)设n 阶矩阵B A ,满足条件AB B A =+.

(1) 证明E A -为可逆矩阵，其中E 为三阶单位矩阵；

(2) 已知⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A .

四、(10分) 设T αα-=E A ，其中α为n 维非零列向量，T α为α的转置，

E 为n 阶单位矩阵. 证明A A =2 的充要条件是.1T =αα

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五、(12分) 设三阶矩阵A 的特征值为3,2,1321===λλλ，它们对应的特征向

量分别为T 1)1,1,1(=ξ，T 2)4,2,1(=ξ，T 3)9,3,1(=ξ，又向量T )3,1,1(=β. (1) 将β用321,,ξξξ线性表出； (2) 求).(为正整数n A n β

六、(10分)设B 是秩为2 的45⨯矩阵，向量321ααα，，均为齐次线性方程组

0=BX 的解，且 T 1)32,1,1(，=α, T 2)14,1,1(--=，α,

T 3)9,8,15(--=，α. 求0=BX 的解空间的一组标准正交基.

(12分) 设二次型

3231212

3222132,166255),(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2.

求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. 指出方程1),,(321=x x x f 表示何种二次曲面.

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八、(13分) 讨论当λ为何值时，线性方程组

⎪⎩

⎪

⎨

⎧=++++=-++=+++,3)33()3(,)1(,)3(2321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ

有惟一解、有无穷多解或无解；并求出有无穷多解时的通解（表为其特解与其导出组通解之和的形式）.