在零件的参数优化设计中的数学建模(1)

01075 01125 01105 01105 0109 0109
rx
2
rx
3
rx
4
rx
5
rx
6
rx
7
MminΠ 元
讨论零件参数容差 x1 ～ x7 的选取方式 ,使总费 用 M 最小 。 现引进目标函数总费用 M 对 rx1 ～ rx7 的选取进 行优化 。目标总费用
M = ML + M Z
度为 15 mm 的阻燃橡胶 。 2 有限元建模 传动滚筒按承载能力分轻型 、 中型和重型 3 种 。 本例为重型传动滚筒 ,滚筒结构采用铸焊结构 ,即轮 辐与轮毂铸成一体组成铸造接盘 , 然后与筒体焊接 此模型设计时遵循了参数传递的思想 , 即零件 的参数传递给产品参数 。故此模型在更广的范围内 对系统设计有帮助 。 此模型有较强的应用价值 。工程中往往因为某 1 个零件的选取不当 ,而影响产品的参数 , 使可靠性 降低 ,造成极大浪费 。所以需考虑零件造价和可靠 性 ,努力使产品设计最优 。
0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105
0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105
0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105
011 011 011 011 011 011 011 011
011 011 011 011 011 011 011 011
0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105
0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105 0105
459 144 443 354 435 671 483 474 484 070 459 922 461 096 464 348
式中 ML — — — 零件成本 ; MZ — — — 质量损失 。 优化目标 M 取最小值 Mmin 。
3 13 模型的建立与求解
ry =
2
i =1
∑( 5 x x r
i
5y
i x
i
)2
又知 δ y =
ry
3
由于 x1 ～ x7 呈正态分布 , 且 x1 ～ x7 为独立变 量 ,由一般的概率论知识可知 y = f ( x1 , x2 , …, x7 ) 也为正态分布 ,且 y = 1150 ,故 y 的概率密度
P ( y) =
2 1 ( 1 y - 115) e 2δ2y π δ 2 y
产品参数平均值与均方差 ( y ,δ y ) 是决定 y 正 态分布的 2 个重要参量 ,也是决定总费用 M 的重要 参量 。故分 2 步进行 : 第 1 步先考虑 y 对 M 的影 响 ,第 2 步考虑 δ y 对 M 的影响 。选取几组合适的
定 。为了减少产品的次品率及废品率 , 首先应当使
y 尽可能接近或达到目标值 y0 , 利用 C 语言编制程
( 1) 模型结果分析
序以若干组步长对 x1 ～ x7 逐步搜索 ,结果如表 2 所 示。
搜索结果
Tab. 2 Result of searching
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y
1 引言
文献标识码 : A 力 603 150 N 。其中接盘材料为 ZG230 — 450 ,筒皮为
Q235 — A ,滚筒轴为 40Cr ,在滚筒外表覆盖有一层厚
本文以平煤集团机电设备有限公司的某型号带 式输送机的传动滚筒为例 , 介绍其有限元分析和优 化设计过程 。该机主要技术参数和几何尺寸为 : 带 宽 1 200 mm , 滚筒直径 1 120 mm , 筒壳宽度 1 400 mm ,筒壳厚度 30 mm ,倾角 10° ,带速 215 mΠ s ,输送带 型号 ST2000 ,传动滚筒扭矩 65 440 Nm , 传动滚筒合 可见选用第 3 组数据 , 为在目前讨论范围内所 能提供的零件参数最优设计 , 比原设计的总费用降 低了约 256 万元 。 ( 2) 模型的评价 本模型是一个以总费用为目标函数的非线性规 划模型 ,总费用由零件成本与质量损失两部分组成 , 质量损失是一个涉及概率分布的非线性函数 。由于 目标函数的形式复杂 , 而决策变量容差选取方式极 其有限 ,一方面利用计算机编制程序对容差选取方 式逐一检验 ,获得使总费用最少的选取方式 ; 另一方 面用产品参数平均值达到目标值为原则来选择零件 标定值 ,使得次品率与废品率降低 。由于在标定值 与容差的选取方面都作了优化 , 使得总费用大幅度 降低 ,效果令人满意 。 4 此模型在零件参数优化的推广 此模型可以扩展到更多零件组成的产品的优化 设计中 。
y = 174142 ( x1 x3 )( ) 0185 × x5 x2 - x 1 x4 ) x2 x6 x7
- 0165
工程设计中 , 设计者都力求寻求一组合理的设 计参数 ,以使得由这组设计参数确定的设计方案既 满足各种设计要求 ,又使其技术经济指标达到最佳 , 即实现最优化设计 。进行最优化设计时 , 首先必须 将实际问题加以数学描述 , 形成一组由数学表达式 组成的数学模型 , 然后选择一种最优化数值计算方 法和计算机程序 ,在计算机上运算求解数学模型 ,得 到一组最佳的设计参数 ,即设计的最优解 。 2 数学建模 数学建模是用数学的语言和方法 , 通过抽象 、 简化建立近似刻划并 “解决”实际问题的一种强有 力的数学工具 。数学建模最重要特点就是要接受实 践检验 、多次修改模型渐趋完善的过程 , 如图 1 所 示。
煤 矿 机 械 2004 年第 1 期 ・10 ・
文章编号 :100320794 (2004) 0120010203
在零件的参数优化设计中的数学建模
吴新烨 , 徐学林
( 中南林学院 , 湖南 株洲 412006)
摘 要 : 零件参数的选取是一个最优化问题 。假定产品与零件的参数为正态分布的随机变 量 ,在此基础上 ,以零件的标定值和容差为决策函数 ,以产品的总费用为目标函数构造一个非线性 规划的模型 。首先 ,用计算机程序选择适当的零件标定值使产品参数的平均值达到标定值 ,然后 , 再用计算机程序对容差的选取方式逐步尝试 ,选择最优的容差方式使得总费用最小 。 关键词 : 数学模型 ; 零件参数 ; 优化设计 中图号 : O14114
零件的成本Π 元
C等 B等 A等
—
20 20 50 50 10
25 50 50 100
— —
200 500
—
25 25
—
100 100
图1 数学建模过程 Fig. 1 Processing of creating maths model
x7
—
3 实例应用 3 11 问题的提出
现进行批量生产 ,每批 1 000 个 。原设计中 7 个 零件参数标定值为 : x1 = 011 , x2 = 013 , x3 = 011 , x4
摘 要 : 在三维 CAD 软件 Solid Works 中创建带式输送机传动滚筒三维模型 ,然后用有限元分 析软件 COSMOSΠ WORKS ,对其进行了静力分析 , 基本掌握了传动滚筒的受力和变形情况 。并根据 有限元计算结果 ,以滚筒壁厚优化设计为例 ,介绍了用有限元法进行传动滚筒优化设计的过程 。 关键词 : 带式输送机 ; 传动滚筒 ; 载荷分布 ; 有限元法 ; 优化设计 中图号 : TD52811
表3 最终结果
Tab. 3 Result of final
rx
1
01075 01075
0124 013
0109 01105
01075 0112 011
1156 11215 11375
13 12 16 13 16 12 15 15
01757 5 01907 5 01687 5 01757 5 01562 5 01812 5 01787 5 01817 5
( 1)
～ rx7 的选取方式不是很多 。利用计算机编制程序 , 对各种容差选取方式逐一尝试 , 求得 M min 。取得
Mmin 的 rx1 ～ rx7 可认为是最佳容差选取方式 。 3 14 模型结果分析与评价
由正态分布的基本性质知 y = f ( x1 , x2 , x3 , x4 ,
x5 , x6 , x7 ) ,即产品参数的平均值由零件的标定值决
= 011 , x5 = 115 , x6 = 16 , x7 = 0175 ; 容差均取最便宜
在工业生产中 , 标志产品性能的某个参数是取 决于零件的定值与容差 。进行零件参数的设计 , 就
等级 。
2004 年第 1 期 在零件的参数优化设计中的数学建模 — — — 吴新烨 ,等 ・1 1 ・
11500 001 11500 001 11499 994 11500 001 11500 001 11499 993 11500 001 11499 999
01075 01325 01125 0109 0109 011 01105 0112
01225 01075 01075 11875 01225 01075 013 0133 01345 0109 1186 114 1174 1177
3 12 问Leabharlann Baidu的分析与假设
对于符合式 ( 1 ) 的 x1 ～ x7 , 由误差传递公式得 知
7
该问题是一定约束条件下的最优化问题 , 经分 析题意 ,拟建立以总费用为目标函数的非线性规划 模型 。总费用由零件成本与质量损失两部分构成。 零件成本由简单的线性代数式确定 , 而质量损失则 是涉及概率分布的非线性函数。在此 , 针对实际情 况 ,做出如下的假设 : ( 1) 成批生产时 ,零件参数视为随机变量且以标 定值为中心呈正态分布 , 由误差原理 , 产品参数 y 也遵循正态分布 。 ( 2) 容差规定为均方差 ( 标准误差) 的 3 倍 。
x1 ～ x7 ,使 y = y0 = 1150 ,即
根据上述的概率密度函数 , 计算 M Z ( 包括次品 损失 M Za 与废品损失 M Zb ) 。 求 M min 的过程是个非线性规划过程 。考虑到
M 与产品容差 ( rx1 ～ rx7 ) 的函数关系很复杂 , 而 rx1
y = f ( x1 , x2 , …, x7 ) = y0 = 1150
原设计所确定的总费用 : 产品 参 数 平 均 值 y = 11725 59 ; 产 品 均 方 差 δ y = 01110 372 。 总费用 M = ML + M Z ≈300 ( 万元) 。 可以看出 ,由于零件的标定值选取不准确 ,使 y 偏离期望值 ,而且容差选取方式也不尽合理 ,最终使 总费用 M 很大 ,造成了不应有的损失 。 根据本模型优化设计的结果 , 用 C 编制的程序 对各种容差选取方式逐一检验 , 得到各零件容差选 取方式及其对应的总费用 。最终结果如表 3 所示 。
表1 零件的成本
Tab. 1 Cost of details
零件参数
x1 x2 x3 x4 x5 x6
标定值容许范围
[ 01075 ,01125 ] [ 01225 ,01375 ] [ 01075 ,01125 ] [ 01075 ,01125 ] [ 11125 ,11875 ] [ 12120 ] [ 01562 5 ,01935 ]
1 - 2162[ 1 - 0136 (
]
115
(
x4 116 ) x2
y 的目标值 ( 记作 y0 ) 为 1150 。当 y 偏离 ± 011
时 ,产品为次品 ; 质量损失为 1 000 元 。当 y 偏离 ± 013 时 ,产品为废品 ; 质量损失为 9 000 元 。 零件参数的标定值有 3 个容差 : A 、 B、 C 3 个等 级 ,用与标定值的相对值表示 , A 等为 ± 1 % , B 等为 ± 5 % , C 等为 ± 10 % 。7 个零件参数标定值的容许 范围及不同容差等级零件的成本如表 1 所示。
1 前言
文献标识码 : A 是要确定其标定值和容差 。此时得考虑 2 个因数 : 一是零件组装成产品时 , 若产品参数偏离预先设定 的目标值 ,就会造成质量损失 ,二是零件的容差大小 决定了其制造成本 。 某粒子分离器的一个参数 y 是由 7 个零件的参 数 ( 记作 x1 , x2 , …, x7 ) 决定的 。其经验公式
煤 矿 机 械 2004 年第 1 期 ・12 ・
文章编号 :100320794 (2004) 0120012204
带式输送机传动滚筒的有限元分析及其优化设计
陈清华 , 潘地林
( 安徽理工大学 , 安徽 淮南 232001)