第11讲 圆中的常用定理(教师版)

2 如图， 为 外一点， ， 分别切 于点 、 ， 切 于点 且分别交 、 于点
， ，若
，则
的周长为
．
答案 解析 ∵ 、 分别切 于点 、 ，
∴
，
∵ 切 于点 且分别交 、 于点 ， ，
∴
，
，
∴
的周长
．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 直线与圆 > 题型：切线长定理
3 矩形
中，
，
，以 为直径在矩形内作半圆． 切 于点 （如图），则
的值为
．
答案
解析 如图，设
， 的中点为 ，连接 、 ，
∵ 、 都是 的切线，
∴
，
又∵ 、 都是 的切线，
∴
，
∴在
中，由勾股定理得，
，
解得，
，则
．
标注 【题型】 三角形 > 锐角三角函数及解直角三角形 > 锐角三角函数 > 题型：探究一般角的三角 函数的值
例题2
1 如图，直线 、 、 分别与⊙ 相切于 、 、 ，且
，
，则 的长是（ ）．
， 交 于 ，且 的半径为 ．若
3 如图所示， 是⊙ 的直径， 、 是⊙ 的两条切线， 、 分别在 、 上， 切⊙
于点 ，连接 、 、 、 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，已知
，
，以下结论：①⊙ 的半径为 ； ②
；③
；④
；
其中正确结论有（ ）．
A. 个
B. 个
答案 C 解析 作
于 ，连接 ．
C. 个
D. 个
∵ 、 是切线，
2 如图，四边形 ）．
内接于⊙ ，
． 是⊙ 的切线，
，则 等于（
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图，连接 ，
由弦切角定理知
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选 ．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：圆内接四边形综合
三、圆幂定理
知识导航
定理
图示
相交弦定理
如图，弦 和 交于 内一点 ，
，故选 ．
标注 【题型】 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理基础 > 题型：直接用勾股求边长
3 已知一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则其内切圆的半径为（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 C 解析 方法一：过点 作
于，
设
，则
．
在
和
中，
由勾股定理得：
解得
，
∴在
中由勾股定理得
则
，
内切圆的半径
方法二：如图，
，
，
，
， ，
． ，内切圆的半径为 ，
切点为 、 、 ，作
于 ，设
，则
．
由勾股定理可知：
，
即
，解得 ，
∴
，
∵
即
，
∴
．
故选 ．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆与多边形 > 三角形五心
二、弦切角定理
知识导航
弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另 一边和圆相切的角叫做弦切角 如右图所示，线段PT所在的直线切圆O于点 C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠P CA、∠PCB都为弦切角
．
，
，
，以 为直径的半 切
为半 的切线， 交 于 ，交 于 ，
答案
解析 作
于 ，如图，
∵四边形
中， 平行 ，
，
∴
，
，
∵ 为直径，
∴ 和 为 切线，
∵ 和 为 切线，
．
，
，
，
，
∵四边形
为矩形，
∴
，
，
设
，则
，
，
在
中，∵
，
∴
，解得
，
∴
，
∴
的周长
．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 直线与圆 > 题型：切线长定理
又
°
们的切线长相等，圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角.
∴
≌
∴
经典例题 例题1
1 如图，⊙ 内切于
，切点分别为 ， ， ．已知
，
，连接 ， ，
， ，那么
．
ຫໍສະໝຸດ Baidu
答案
解析 在
中，
，
，
∴
．
连接 ， ，
∵⊙ 内切于
，
∴
．
在四边形
中，
，
，
∴
．
∵在同圆中，同弧所对圆周角是所对圆心角的一半，
∴
．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 直线与圆 > 题型：切线的性质
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∵ 是切线，
∴
，
，
在
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴⊙ 半径为 ．故①错误，
∵
，
，
∴ 垂直平分 ，同理 垂直平分 ，
∴
，
∵
，
∴
，故②正确．
在
中，
，故③正确，
∵
，
∴
，
∴
，故④正确，
∴②③④正确．
标注 【题型】 三角形 > 锐角三角函数及解直角三角形 > 锐角三角函数 > 题型：解直角三角形的综 合应用
例题3
1 如图， 是 ．
的内切圆，切点分别为 、 、 ，
，
，
，则
答案
解析 设
；
；
，
则有：
，
解得 ，
因此
．
故答案为： ．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 直线与圆 > 题型：切线长定理
2在
中，已知
，
，
，则它的内切圆⊙ 的半径是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵
，
，
，
∴
，
∴它的内切圆⊙ 的半径
第11讲 圆中的常用定理
一、切线长定理
知识导航
切线长定义：过圆外一点画圆的切线， 如图， 、 是圆O的两条切线， 、 是切点，则
这点和切点之间的线段长叫做这点到圆
.
的切线长.
切线长定理：过圆外一点所画圆的两条 切线长相等.
定理及推论证明如下：
欲证
，只需证 ABO≌ ACO.
如图， 、 为圆的两条半径， 推论：从圆外一点引圆的两条切线，它
，若
，
，
则
的长等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵
，
∴
，
∵ 、 、 分别与⊙ 相切于 、 、 ，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
（ ），
故选 ．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：圆与勾股
2 如图，四边形
中， 平行 ，
于点 ， 为弧 上一动点，过 点的直线
则
的周长为
2 如图：若弦 经过圆 的半径 的中点 ，且
，
，则圆 的直径为（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 延长 交 于点 ，
设 的半径是 ，
根据相交弦定理，得
，
，
因此 的直径是 ．
故选 ．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆幂定理 > 题型：相交弦定理
3 如图，点 为弦 上的一点，连接 ，过点 作
已知：如上图，直线 切圆 于点C， 、
为圆 的弦
求证：
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的 证明：连接
所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所 ∵
对的的圆周角度数
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
经典例题 例题4
1 如图，
内接于⊙ ， 切⊙ 于 ，
度．
，
，则
答案
解析 ∵ 切 于
∴
；
在
中，
，
，
∴
，
∴
．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 直线与圆 > 题型：切线的性质
则
．
切割线定理
如图， 是 的切线， 是切点，
则
．
是割线，
切割线定理 如图， 、 则
是 的割线， ．
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理
经典例题
例题5
1 如图， 的弦 、 相交于点 ，若
，
，
，则 长为（ ）．
A.
B.
C.
D. 不能确定
答案 A
解析 ∵
∴
∵
，
∴
，
∴
故选 ．
， ，
，
， ．
标注 【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆幂定理 > 题型：相交弦定理