第5讲 数的开方及二次根式

2 (2)[2011·日照] (－2) 的算术平方根是( A )
A．2
B．±2
C．－2
D. 2
第5讲 │归类示例
[解析] (1)4 的平方根是±2，(2)(－2) 的算术平方根是 2.
2
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． (2)平方根等于本身的数是 0，算术平方根等于本身的数是 1 和 0，立方根等于本身的数是 1、－1 和 0. (3)一个数的立方根与它同号．
有理化因式 把分母的根 通常是将分子、分母同时乘分母的____________ 号化去 化去分母的根号． 二次根式的 运算顺序 与实数的混合运算顺序相同． 混合运算 注意事项 正确把握运算法则.
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7.下列运算错误的是( A ) A. 2＋ 3＝ 5 B. 2. 3＝ 6 C. 6÷ 2＝ 3 D．(－ 2)2＝2 [解析] 不是同类二次根式不能合并．
第5讲 │ 数的开方及二次根式
第5讲 数的开方及二次根式
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考点1 平方根与立方根
± a
a
3
a
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1 1 －4 1. 16的平方根为_____，－64的立方根为_______． ± 2 2．估算 31－2 的值( C ) A．在 1 和 2 之间 B．在 2 和 3 之间 C．在 3 和 4 之间 D．在 4 和 5 之间
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考点3 二次根式的计算
最简二次根式 合并 二次根式的 先将二次根式化成______________，再_______ 加减法 其中的同类二次根式．
二次根式的 乘法 二次根式的 除法
ab a· b＝_________( a≥0，b≥0)．
a a b ＝___________( a≥0，b＞0)． b
1 9 解：(1)原式＝6 2－4 2＋4 2＝4 2； 3 3 3 (2)原式＝4 3× 4 ÷ 2＝3÷ 2＝ 5 5 ＝ 2. 5 2 10
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第5讲 │归类示例 归类示例
类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1．平方根、算术平方根与立方根的概念 2．求一个数的平方根、算术平方根与立方根 (1)[2011·成都] 4 的平方根是( C ) A．±16 B．16 C．±2 D．2
－1 ________.
[解析] 根据二次根式及平方的非负性得 x＋1＝0，y－2011＝0，解得x＝－1，y＝2011，则xy＝－1.
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(1)此类分式与二次根式综合的计算问题，一般先化简再代 入求值； (2)最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根 式．
[解析] 5< 31<6，所以 31－2 的值在 3 和 4 之间．
3．已知 12－n是正整数，则实数 n 的最大值为( B ) A．12 B．11 C．8 D．3
[解析] 由 12－n>0, 得 n<12， 12－n是正整数，n 的最 大值是 11，此时 12－n＝1.
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考点2 二次根式的相关概念及性质
第5讲 │归类示例
类型之三 二次根式的化简与计算
命题角度： 1．二次根式的性质：两个重要公式、积的算术平方根、商的算 术平方根 2．二次根式的加减乘除运算 [2011·宜宾] 计算： 20－ 15 2011 3( 3－π) － ＋(－1) . 5
0
第5讲 │归类示例
解：原式＝3× 1－(2－ 3)＋(－1)＝ 3.

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(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方 数大于或等于零； ②分式的分母不为零等列不等式组， 转化为求不 等式组的解集． (2)在实数范围内，判断 a， －a2等式子有无意义或已知这些 式子有意义或无意义时， 求被开方数中的字母的取值范围， 容易出 现考虑问题不周的错误， 特别是分式与二次根式在同一式中更容易 出错．
[解析] 根据最简二次根式的定义．
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1 6．若 ab<0，化简二次根式a －a2b3的结果是( D ) A．b b B．－b b C．b －b D．－b －b
1 1 2 3 [解析] 由二次根式知，b<0，a>0，所以 a －a b ＝ a 1 1 2 2 ab －b＝ ×(－ab) －b＝－b －b. －a b b＝a a
(1)利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后 进行运算． (2)在中考中常与零指数、负指数结合在一起考查．
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[2011· 安顺] 先化简，再求值：
a－1 a＋2 4 a2－4a＋4－a2－2a÷ a－1，其中
a＝2－ 3.
a－1 a＋2 4－a 解：原式＝ ÷ 2－ a－2 aa－2 a
8．若 x＝ a－ b，y＝ a＋ b，则 xy 的值为( D ) A．2 a B．2 b C．a＋b D．a－b
[解析] xy＝( a－ b)( a＋ b)＝( a)2－( b)2＝a－b.
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9．计算： (1)2 18－ 32＋ 1 8；
3 (2)2 12× 4 ÷ 2； 5
整式
能开得尽方的
相同
最简
≥0 a a b a× b
a
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4.[2011· 柳州]若 x－2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围 是( C ) A．x＞2 B．x＞3 C．x≥2 D．x＜2
5．下列各式中属于最简二次根式的是( A ) A. x2＋1 B. x3＋x5 C. 12 D. 0.52
类型之四 二次根式的大小比较
命题角度： 1．二次根式的大小比较方法 2．利用计算器进行二次根式的大小比较 比较大小：－3 7与－2 15.
[解析] 先比较 3 7与 2 15的大小．
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解：－3 7＝－ 32× 7＝－ 63， －2 15＝－ 22× 15＝－ 60， ∵63>60，∴ 63> 60，即 3 7>2 15， ∴－3 7<－2 15.
aa－1－a－2a＋2 a 1 ＝ · ＝ . aa－22 4－a a－22 1 当 a＝2－ 3时，原式＝ . 3
第5讲 │归类示例
(1)此类分式与二次根式综合的计算问题，一般先化简再代 入求值； (2)最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根 式．
第5讲 │归类示例
第5讲 │归类示例
类型之二 二次根式的有关概念
命题角度： 1．二次根式的概念 2．最简二次根式的概念 a＋2 [2011· 鄂州] 要使式子 a 有意义，则 a 的取值范围 a≥－2且a≠0 为__________________．
[解析] 依题意，得 a＋2≥0，a≠0， 所以 a≥－2 且 a≠0.
比较两个二次根式大小的方法很多， 最常用的是平方法和取倒数 法，还可Hale Waihona Puke Baidu将根号外的因子移到根号内比较，但这时要注意：(1)负 号不能移到根号内；(2)根号外的正因子要平方后才能从根号外移到 根号内．
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类型之五 二次根式的非负性
命题角度： 1．二次根式的非负性的意义 2．二次根式的非负性的化简 [2011· 兰 察 布 ] 乌 x＋1 ＋ (y － 2011)2 ＝ 0 ， 则 xy ＝