第十七章格与布尔代数

❖ 定理17.4(保序性):格[L;,],任a,b,cL, 当b≤c时有ab≤ac及ab≤ac。
❖ 定义17.5:[L;,]为格,T, TL,T关于 ,封闭(即a,bT则abT, abT)时, 则称T为L的子格。
❖ 必须注意的是：当T为L的子格时,T一定 是格; 但当TL,T关于L中的偏序关系≤为 格时,T不一定是L的子格。
❖ 例:设B={0,1},≤n为定义在Bn上的关系, 对 任(a1,,an),(b1,,bn)Bn, (a1,,an)≤n (b1,,bn)当且仅当ai≤nbi(1in),显然这是 一个偏序关系。并且(Bn,≤n)是格.
❖ 格的定义是:设(L;≤)为偏序集, 如果对任意的 a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。
界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。
❖ 定义17.2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为 a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b
覆盖a。
❖ 当a<b时,如有c1,,ckL(k1),使ci+1覆 盖ci(i=1,2,,k-1),且有a=c1<c2<<ck=b,
则称c1,,ck为连接a,b的链。如果L的任
❖ 例：A的幂集格[P(A);,]
❖ 群G的子群格[L(G);,]
❖ [Z+;,]
❖ (Z;)是格，但既无单位元，又无零元。
❖ 零元(单位元)存在则必唯一
❖ 定理：若格[L;,]存在零元0和单位元1， 则0和1分别是L的最小元和最大元。
❖ 由于具有零元和单位元的格一定有最小 元和最大元，称为有界格。
❖ 例:取S={a,b,c},(P(S);)是一个格,其最 大元是S={a,b,c},最小元是。任取一个 子集合有最大下界和最小上界, 如 {{a},{a,c},{c}}的最大下界是,最小上界 是{a,c};它是一个完全格。
❖ 要说明的是并不是所有的格都是完全格.
❖ 二、作为代数系统的格
❖ (L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最 小上界与最大下界时,称L为格。以 ab=lub(a,b) 表 示 a,b 的 最 小 上 界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。而 最小上界和最大下界都是L中的元素。
❖ 一、格的一般概念
❖ 偏序集(P;≤)是由一个非空的集合P 及在 P上定义的偏序关系≤构成
❖ 在偏序集(P;≤)中，若对任意a,bP有a≤b
或b≤a 时称P为全序。
❖ 定义17.1:设(L;≤)为偏序集, 如果对任意 的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为
格 。 以 ab=lub(a,b) 表 示 a,b 的 最 小 上
何两个元素a<b,总有连接它们的链, 则称
L是离散的。有限的离散全序集的哈斯图
由一条链组成。
❖ 例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子群 构成的集合,则L(G)关于集合包含关系 构成一个偏序集, 并且是格. 称为G的子群格
❖ 例:设G是一个群,P(G)表示G的所有正规 子群构成的集合,则P(G)关于集合包含关 系构成一个偏序集 并且是格. 称为G的不变子群格
❖ 非空集合L上和这两个二元运算所具 有性质，[L;,]为一个代数系统。
❖ 定理17.2:(L;≤)为格,任a,b,cL有:
❖ L1幂等律:aa=a,aa=a; ❖ L2交换律:ab=ba,ab=ba; ❖ L3结合律:a(bc)=(ab)c,
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❖
a(bc)=(ab)c;
❖ L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。
❖ 在格(L;≤)中，对任意两个元素a,bL,可 唯 一 确 定 ab 和 ab, 且 它 们 都 属 于 L， 和看作为集合L上的2个二元运算
❖ 定理17.1:(L;≤)为格,则对任意a,bL有: ❖ (1)a≤ab,b≤ab,ab≤a ab≤b; ❖ (2)a≤b当且仅当ab=b; ❖ (3)a≤b当且仅当ab=a。
❖ 例：S={1,2,3},S3={e,1, 2, 3, 4, 5} 为三次对称群，则(P(S3);)是格，并且 是完全格。取T={{e}, H1,H2,H3,H4,S3},其 中H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}都是S3的子群，则(T; )是 格,但它不是(P(S3);)的子格。
❖ 例：Z+表示正整数集，对任意a,bZ+,定 义:ab=(a,b) (最大公因子)
ab=[a,b] (最小公倍数)
,是Z+上的二元运算
它们满足L1～L4 取Z+的子集P={2n|n=1,2,}
有最大下界2,无最小上界，所以它不是 完全格。
❖ 定义：[L;,]为格，若L中存在元素0， 使得对任意的xL有x0=x,则称0为的 单位元，并称0是格的零元；若L中存在 元素1，使得对任意的xL有x1=x,则称 1为的单位元，并称1是格的单位元。
❖ L1～L4 ❖ 然后证明ab为a和b的最小上界 ❖ 即证明若存在uL,使得a≤u,b≤u, ❖ 必有ab≤u
❖ 定理17.3:如引理17.2所得之偏序集(L;≤) 为格。
❖ 定义17.4: [L;,]为一代数系统,,为定 义在L上的二元运算,当其满足L1～L4时， 称L为格。并称为积(或交),为和(或并)
❖ 定义17.3(L;≤)为偏序集, 当任AL有最大 下界,最小上界时,L显然是格,称为完全格。 L自身的最小上界是整个格L的最大元,记 为1;L自身的最大下界为整个格L的最小 元,记为0。于是任xL,x≤1,0≤x。
❖ 注意: 此处的子集A可以是有限的, 也可 以是无限的。
❖ 例如前面的子群格L(G)是完全格.
❖ 对于一个代数系统[L;,],其中,为L上的 二元运算,它们满足L1～L4,此时有何特点
❖ 引理17.1:在[L;,]中二元运算,满足 L1～L4, 则 对 任 a,bL,ab=a, 当 且 仅 当 ab=b。
❖ 引理17.2：在[L;,]中,,满足L1～L4,在 L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且 仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。
❖ 自反:
❖ 反对称:
❖ 传递:
❖ 在代数系统[L;,]中,,满足L1～L4,定义 在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当 且仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。
❖ (L;≤)是否为格？
❖ 关键证明存在最小上界和最大下界 ❖ 因此考虑是否能证明ab,ab为最小上界
和最大下界 ❖ 先证明ab是a和b的上界, ❖ 即是否成立a≤ab, b≤ab