数学物理方法 第二版 (武仁 著) 北京大学出版社 课后答案 习题01-04

kh
π
3
⇔ 1 + x > 0 且 y = 3 (1 + x ) ；
课
（2）
da
π
2
⇔ x + 1 = 0 且 y −1 > 0 。
后
答
w.
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co
⎛ z −i ⎞ π 0 < arg ⎜ ⎟< 。 ⎝ z +i ⎠ 4
m
（4） 0 < arg (1 − z ) = arg ⎡ ⎣(1 − x ) − iy ⎤ ⎦<
iz
− y + ix
， Am = e
−y
， Arg = x + 2kπ ，Re = e
w.
−y
4
（3） Am = 1 ， Arg = sinx + 2kπ ， Re = cos ( sin x ) ， Im = sin ( sin x ) ；
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，( n = 0，1，2，3)， Am = 1 ， Arg =
答
ww
w.
kh
da
课
后
w.
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1．写出下列复数的实部，虚部，模和幅角： （2） 1 − cos α + i sin α ， 0 ≤ α < 2π ； （3） e （1） 1 + i 3 ； （6） 4 −1 ； （7） 1 + i ； （8） （5） e ；
JJJ G
JJJG
m
JJJJ G
（1）设坐标系 x′O′y′ 的原点 O′ 在坐标系 xOy 中的坐标是 ( x0 , y0 ) 。 P 点在 xOy 系中的坐
9． （1）给出 z1 , z2 , z3 三点共线的充要条件； （2）给出 z1 , z2 , z3 , z4 四点共圆的充要条件。 （1）若三点共线，则矢量 z1 − z3 与矢量 z2 − z3 平行，反之也成立。所以三点共线的充要条 件是
π
3
， arg ( z + 1 − i ) =
π
2
1 ， 1 < Im z < 2 ； （ 3 ） arg (1 − z ) = 0 ， 2
； （ 4 ） 0 < arg (1 − z ) <
π
π
4
< arg ( z − 1 − 2i ) <
π
3
4
， 0 < arg (1 + z ) <
π
4
，
； （5）α < arg z < β 与 γ < Re z < δ 的公共区域，α ， β ，γ ，δ
1
⎛π ⎞ i π 4+2 nπ ) 2 π 2+ 2 nπ i ⎜ + nπ ⎟ ⎤ i 1 + i ⎡ 2e ( π ⎝4 ⎠ 2 =⎢ = = e e （8） ， ( n = 0， 1)， Am = 1 ， Arg = + nπ + 2kπ ， ⎥ −iπ 4 1 − i ⎣ 2e 4 ⎦
( −1) Re =
答
只是比 xOy 系中 z 的幅角小 θ ，即 z ′ = ze
− iθ
w.
（2）将坐标系 xOy 绕原点逆时针旋转 θ 角得到坐标系 x′O′y′ 。如上面右图， x′O′y′ 系中 z ′ ，由此得 x′ = x cos θ + y sin θ ，
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co
标是 ( x, y ) ，在 x′O′y′ 系中坐标 ( x′, y ′ ) 。如上面左图，令 OP = z ， O′P = z ′ ， OO′ = z0 。
（1）
（3） arg (1 − z ) = arg (1 − x − iy ) = 0 ⇔ 1 − x > 0 且 y = 0 ，即 x < 1 ， y = 0 ；
w.
ww
arg (1 + z ) = arg (1 + x + iy ) =
arg ( z + 1 − i ) = arg ⎡ ⎣ x + 1 + i ( y − 1) ⎤ ⎦=
cos
课
（6） 4 −1 = ⎡ e
⎣
i (π + 2 nπ )
⎤4 = e ⎦
1
i
2 n +1 π 4
da
4 ⎛π ⎞ i ⎜ + nπ ⎟ ⎝8 ⎠
后
（5） Am = e ， Arg = y + 2kπ ， Re = e cos y ， Im = e sin y ；
x
x x
答
e =e （4）z = x + iy ，
（1）先证
z − 1 ≤ arg z 。 z
z −1 = z − z + z −1 ≤ z − z + z −1 = z −1 + z
（2）
z − 1 ≤ z − 1 + z arg z 。 z
kh
如图， z1 ， z2 ， z3 在同一圆周上， α = arg
6．用复数 z 表示曲线上的变点。 （1）写出经过点 a 且与复数 b 所代表的矢量平行的直线方
由 ∠A = ∠C 可得 AB = BC ，代入
z2 − z1 = z3 − z2 = z1 − z3 。
kh
8．设复数 z1 ， z2 ， z3 满足
z2 − z1 z1 − z3 。证明： z2 − z1 = z3 − z2 = z1 − z3 。 = z3 − z1 z2 − z3
da
课
后
y′ = − x sin θ + y cosθ 。
2
答
把 z 写成 ρ e ，则 iz = ρ e
iϕ
i (ϕ + π 2 )
，即把 z 逆时针旋转 90 度。 − z =
ww
4．若 z = 1 ，试证明
2 ( az + b ) ( az + b ) a 2 + abz + abz + b 2 az + b az + b = = 2 = 1 ，所以 = 1。 2 bz + a bz + a ( bz + a ) ( bz + a ) b + abz + abz + a
z i sin x
， x 为实数； （4） e ；
iz
1+ i iϕ ( x ) 1+ i ； （9） e ； （10） e ，ϕ ( x ) 是实变数 x 1− i
的实函数。 （1）Re = 1 ，Im =
π ⎛ Im ⎞ 3 ，Am = Re 2 + Im 2 = 2 ，Arg = arctan ⎜ ⎟ + 2kπ = + 2kπ ； 3 ⎝ Re ⎠
均为常数； （6） z − i < 1 ， 1 < z − i <
2； （ 7 ） z − a = z − b ， a ， b 为常数； （8）
（ 9 ） z + Re z < 1 ； （ 10 ） z − a + z − b = c ，其中 a ， b ， c ，为常数，且 c > a − b ；
w.
圆心角的一半，所以 α =
z −z 1 1 z β ，即 arg 3 2 = arg 2 。 2 z3 − z1 2 z1
da
z3 − z2 z ， β = arg 2 。由于同弧所对圆周角是 z3 − z1 z1
课
后
答
w.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱco
m
记z =
ρ eiϕ ，
z ϕ − 1 = eiϕ − 1 = 2 − 2 cos ϕ = 2 sin ≤ ϕ = arg z 。 2 z
w.
az + b = 1 ， a ， b 为任意复数。 bz + a
kh
1 1 − iϕ = e ，即 z 关于单位圆的对称点。 z ρ
课
后
旋转 180 度。 z = ρ e
− iϕ
，即 z 关于实轴的对称点。
da
w.
3．已知一复数 z ，画出 iz ， − z ， z ，
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1 1 ， ，并指出它们之间的几何关系。 z z
z1 − z3 = 实数。 z 2 − z3
（2）
形式即为
10．求下列方程的根，并在复平面上画出它们的位置。
kh
（2） z = 2e
±i
正整数； （6） z + 2 z cos λ + 1 = 0 ， 0 < λ < π 。
2
课
（1） z + 1 = 0 ； （2） z + 8 = 0 ； （3） z − 1 = 0 ； （4） z + 1 = 0 ； （5） z
则 z ′ = z − z0 ，即 x′ + iy′ = x − x0 + i ( y − y0 ) ，由此得 x′ = x − x0 ， y′ = y − y0 。
ww
如图，
w.
AB i∠A z1 − z3 AC i∠C AB AC z2 − z1 ， ∠A = ∠ C 。 e ， e 。所以 = = = z3 − z1 AC z2 − z3 BC AC BC AB AC 可得 AB = BC = AC ，即 = AC BC
⎛ 2n + 1 ⎞ ⎛ 2n + 1 ⎞ Re = cos ⎜ π ⎟ ， Im = sin ⎜ π ⎟； ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
（7） 1 + i =
kh
2e
⎛π ⎞ i ⎜ + 2 nπ ⎟ 2 ⎝4 ⎠
w.
4
= 2e
，( n = 0，1)， Am =
ww
π π n n ⎛π ⎞ Re = 4 2 cos ⎜ + nπ ⎟ = ( −1) 4 2 cos ， Im = ( −1) 4 2 sin ； 8 8 ⎝8 ⎠
1 1 iϕ = e ，即 z 关于单位圆的对称点。 z ρ
co
ρ ei(ϕ +π ) ，即把 z 逆时针
m
5．证明下列各式： （1） z − 1 ≤ z − 1 + z arg z ； （2）若 z1 = z2 = z3 ，则 arg
z3 − z2 1 z = arg 2 。 z3 − z1 2 z1
2
（2）Re = 1 − cos α ，Im = sin α ，Am =
+ sin 2 α = 2 − 2 cos α = 2sin
sinα tan ( Arg ) = = 1 − cos α
2sin
2 = cot α ，所以 Arg = π − α + 2kπ ； α 2 2 2sin 2 2 2
ww
程； （2）写出以 d 和 − d 为焦点，长轴长 2a 的椭圆方程（ a > d ） 。 （1）矢量 z − a 与矢量 b 平行，所以 z − a = kb ， k 为实数；
（2）由椭圆定义得 z − d + z + d = 2a 。
7．用复数运算法则推出： （1）平面直角坐标平移公式； （2）平面直角坐标旋转公式。
2
n
( −1) ， Im =
2
n
；
（9） Am = e ， Arg = 1 + 2kπ ， Re = e cos1 ， Im = e sin1 ； （10） Am = 1 ， Arg = ϕ ( x ) + 2kπ ， Re = cos ⎡ ⎣ϕ ( x ) ⎤ ⎦ ， Im = sin ⎡ ⎣ϕ ( x ) ⎤ ⎦；
（5）
（6）
（7）
w. ww
（9） z + Re z =
kh
x 2 + y 2 + x < 1 ，化简得 x <
da
（8）
课
后
答
w.
1 (1 − y 2 ) 。 2
案 网
co
m
z − i x + i ( y − 1) x 2 + y 2 − 1 − 2ix ⎛ z −i ⎞ π = = （10） ，所以 0 < arg ⎜ ⎟< ⇔ 2 2 z + i x + i ( y + 1) ⎝ z +i ⎠ 4 x + ( y + 1) 0 < −2 x < x 2 + y 2 − 1 ，即 x < 0 且 ( x + 1) + y 2 > 2 。
2 3 4 4
da
π
3
后
答
z1 − z3 z 2 − z3
z1 − z4 = 实数。 z2 − z4
w.
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如图若四点共圆，则有 ∠ACB = ∠ADB （同弧所对圆周角相等） 。反之也成立。写成复数
co
2n
（1） z = ±i ；
, −2 ； （3） z = ±1, ±i ；
co
cos x ，Im = e − y sin x ； 2n + 1 π + 2kπ ， 4
2 ， Arg =
α
α
m
2
，
(1 − cosα )
α
π
8
+ nπ + 2kπ ，
2．把下列关系用几何图形表示出来： （1） z < 2 ， z = 2 ， z > 2 ； （ 2 ） Rez >
arg (1 + z ) =
π
4
⇔ 0 < − y < 1− x ；
0 < arg (1 + z ) = arg ⎡ ⎣(1 + x ) + iy ⎤ ⎦<
π
4
⇔ 0 < y < 1+ x ；
π
4
< arg ( z − 1 − 2i ) = arg ⎡ ⎣( x − 1) + i ( y − 2 ) ⎤ ⎦<
π
3
⇔ 0 < x − 1 < y − 2 < 3 ( x − 1) ；
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