河北中考数学复习第7讲一元二次方程

第7讲一元二次方程

1. (2019，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ^ 0)的求根公式时,

对于b 2— 4ac>0的情况，她是这样做的：

由于0,方程ax 2 + bx + c = 0变形为：

【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程•用配方法解一元二次方程的步骤： (1)

形如x 2+ px + q = 0型.第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可. (2)形

如ax 2 + bx + c = 0型•方程两边同时除以二次项系数，即化成

x 2 + px + q = 0型，然后配方.

”

—b ± b 2— 4ac

解: (1)四 x =

1- 2a

2

⑵移项，得x — 2x = 24.

配方，得 x 2— 2x + 1 = 24 + 1，即(x — 1)2= 25. 开方，得x — 1 = ±5. x 1 = 6, x 2=— 4.

2. (2019，河北)若关于x 的方程x 2+ 2x + a = 0不存在实数根，则a 的取值范围是(B) A. a v 1

B. a > 1

C. a < 1

D. a > 1

【解析】•••关于x 的方程x 2 + 2x + a = 0不存在实数根，••• b 2— 4ac = 22— 4X 1X a v 0.解 得 a > 1.

2

2

2

2

3. (2019，河北)a , b , c 为常数，且(a — c) >a + c ,则关于x 的方程ax + bx + c = 0根的 情况是(B)

A.

有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根

D.有一根为0

【解析】 由(a — c)2>a 2+ c 2得出一2ac > 0,^A = b 2 — 4ac > 0.「.方程有两个不相等的实数根.

2

丄 b

c x + a x =—

a ，…第步

x 2, b x +色* = c +d 彳…第一步 x + a x + 2a =—

a +

2a ，第二步

2 2

(b X b — 4ac x +

亦=47

，…第三步

x + 2- = b ：4ac (b 2— 4ac>0)，…第四步 2a

4a '

—b +「■. ：b — 4ac

•…第五步

4a 2a

(1)嘉淇的解法从第 =0(a ^ 0)的求根公式是

四 步开始岀现错误：事实上，当 —b ± b 2 — x= -------- ;

------- b 2 — 4ac>0 时，方程 ax 2 + bx + c

(2)用配方法解方程:

4ac

2a )； x 2— 2x — 24= 0.

I二D一丿一元二次方程的概念及解法

x

例1解下列方程：

2

(1) x — 2x — 1 = 0;

2

(2) x — 1 = 2(x + 1);

2 1

(3) x + 3x = — 4.

【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程. 解：(1) a = 1， b = — 2， c =— 1.

2

△ = b — 4ac = 4 + 4 = 8> 0. •••方程有两个不相等的实数根.

即 x 1 = 1+ 2, x 2= 1 — 2. ⑵移项，得 x 2— 1 — 2(x + 1) = 0, (x + 1)(x — 1) — 2(x + 1) = 0,

因式分解，得(x + 1)(x — 1 — 2) = 0, 于是，得x + 1 = 0或x — 3 = 0. • • x 1

1 , X

2 3.

⑶配方，得 X 2+3x +

2 =—

4+

2 ,

=2.

由此可得x +詁士 2. • x 1=—

2+.2

, x 2=—

3- .2.

针对训练1(2019，邯郸一模)用配方法解一元二次方程 2x 2 — 4x — 2= 1的过程中，变形正

确的是(C)

2 2

A. 2(x — 1) = 1

B. 2(x — 2) = 5

2 5

2 5

C. (x — 1) =

D. (x — 2) =

2

2

2

3 2 3 2 5

【解析】 2x — 4x — 2= 1, 2x — 4x = 3, x — 2x = q , x — 2x + 1 = - + 1, (x — 1) = ?.也可以

把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比

例2 （2019 ,扬州）如果关于x 的方程mx 2— 2x + 3 = 0有两个不相等的实数根， 那么m 的取

值范围是（m v 3且m ^ 0 ）.

1

【解析】•••方程有两个不相等的实数根， • 4 — 12m>0.解得m<§.但当m = 0时，原方程 不是一元二次方程，所以 m 工0.

针对训练2（2019，石家庄桥西区一模）常数a , b , c 在数轴上的位置如图所示，则关于

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—b ± b 2— 4ac

2a

2± 2.2

2

=1士一 2, 元二次方程根的判别式