专题5.4 三角函数的图象和性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题5.4 三角函数的图象和性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数1tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．4,2xx k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭∣ B ．2,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ C ．32,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】B【解析】令1,242x k k Z πππ+≠+∈，则2,2x k k Z ππ≠+∈，故选：B. 2．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2【解析】先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,3,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值.故选:B .3．已知函数()3sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值为3-，则ω的取值范围是（ ）A ．9][6,)2∞⋃+∞(-,-B ．93][,)22∞⋃+∞(-,-C ．2][6,)∞⋃+∞(-,-D ．32][,)2∞⋃+∞(-,-【答案】D【解析】因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()3sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值为3-，所以0>ω时，,34x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以32ωππ-≤-，32ω≥， 0ω<时，,43x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以42ωππ≤-，2ω≤-，所以ω的范围是32][,)2∞⋃+∞(-,-． 故选：D ．4．已知函数()|sin ||cos |f x x x =+，则以下结论错误的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】C原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3【解析】由题知，22()sin cos 2|sin cos |1|sin 2|f x x x x x x =++=+则A 选项()1|sin(2)|1|sin 2|()f x x x f x -=+-=+=，A 选项正确.B 选项，()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π，B 选项正确. C 选项，由①知max ()112f x =+=C 不正确.D 选项，当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由22242k x k πππππ-≤-≤+解得32244k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），令0k =可得344x ππ-≤≤，所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以D 选项正确. 综上所述，不正确的选项为C .故选：C5．已知函数π()sin()0,0||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且关于,08π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则下列结论正确的是（ ） A ．(1)(0)(2)f f f <<B ．(0)(2)(1)f f f <<C ．(2)(0)(1)f f f <<D ．(2)(1)(0)f f f <<【答案】C【解析】根据()f x 的最小正周期为π，故可得2T ππω==，解得2ω=.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4又其关于,08π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故可得sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故可得4πϕ=-.则()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 令222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得()3,,88x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦. 故()f x 在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增.又()3224f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且30,?2,14π-都在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中， 且32014π-<<，故可得()()()201f f f <<.故选：C . 6．函数()cos tan f x x x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5【解析】()sin ,tan 0cos tan sin ,tan 0x x f x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，其定义域为,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．当x 在第一象限时，()sin 0f x x =>，当x 在第三象限时，()sin 0f x x =<，当x 在第二象限时，()sin 0f x x =-<，当x 在第四象限时，()sin 0f x x =->，结合定义域可知选B.故选：B7．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],0a -上单调递增，则实数a 的可能值为（ ） A ．π8B ．π4 C ．3π8D ．π2【答案】AB【解析】因为[],0x a ∈-，所以22,666x a πππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，0a > 所以sin y x =在2,66a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以226a ππ-≤-+，解得3a π≤， 所以a 的取值范围是03π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 故选：AB.8．已知函数()sin sin f x x x =-，下列结论正确的有（ ） A ．函数()f x 是奇函数；B ．函数()f x 是周期函数，且周期为2π；C ．函数()f x 的最小值为-2；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6D ．函数()f x 的图象关于直线,2x k k Z ππ=+∈对称.【答案】BCD【解析】对于A ，因为()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=---=--≠-， 所以()f x 不是奇函数，故选项A 错误；对于B ，()()()2sin 2sin 2sin sin ()f x x x x x f x πππ+=+-+=-=，故()f x 是周期函数，2π为()f x 的一个周期，故选项B 正确；对于C ，()[)[)()0,02,2sin sin {,2sin ,2,22x k k f x x x k Z x x k k πππππππ∈++=-=∈∈++，故()min 2f x =-，故C 选项正确； 对于D ，因为()()()2sin 2sin 2f k x k x k x ππππππ+-=+--+- ()()sin sin x x ππ=---()sin sin ,x x k Z =-∈所以()2()fk x f x ππ+-=，所以函数()f x 的图象关于直线,2x k k Z ππ=+∈对称.故D 选项正确.故选：BCD.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．已知函数()222af x sin x cos x =+的图象关于直线12x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_____.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7【答案】33【解析】∵函数()222af x sin x cos x =+的周期为π，它的图象关于直线12x π=对称， ∴f （0）＝f （6π）＝13142a =+，∴a 233=， ∴f （4π）323a ==， 10．函数()3sin(2)3f x x πϕ=-+，()0,ϕπ∈为偶函数，则ϕ的值为______【答案】56π【解析】因为()3sin(2)3f x x πϕ=-+为偶函数，故y 轴为其图象的对称轴，所以20,32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，故5,6k k Z πϕπ=+∈， 因为()0,ϕπ∈，故56πϕ=11．函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是________【答案】3[3,]4--【解析】22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭， 当12t =时，函数有最大值为34-；当1t =-时，函数有最小值为3-.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8故函数值域为3[3,]4--.12．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是________.【答案】2 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>，所以()[]2sin 2,2ω=∈-f x x ，所以()f x 的最大值为2，因为()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以,,4322πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以4232πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．设函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x . （1）求函数f (x )的最小正周期，对称中心； （2）作出函数()f x 在一个周期内的简图．【解析】（1）()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，212T ππ==.令232ππ-=x k ，k Z ∈，解得23ππ=+x k ，k Z ∈，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9故对称中心为2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈.（2）令023x π-=，解得23x π=，令234x ππ-=，解得76x π=， 令234x ππ-=-，解得6x π=，令232x ππ-=，解得53x π=， 令232x ππ-=-，解得3x π=-， 所以函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=. 故函数在一个周期内的函数图象为：14．已知函数f (x )=sin (2x +5π6)．（1）求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值； （2）求f (x )的单调递减区间．【解析】（1）令2x +5π6=2k π+π2，即x =k π−π6(k ∈Z)时，f(x)取最大值1．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10（2）由2kπ+π2≤2x +5π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)得f(x)的减区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k ∈Z15．设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =的图像的一条对称轴是直线8x π=．（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域． 【解析】（1）因为8x π=是函数()y f x =的图像的对称轴，所以sin 218πϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭. 所以42k ππϕπ+=+，k Z ∈，得4k πϕπ=+，又0πϕ-<<，所以1k =-时，34πϕ=-. （2）由（1）可得3()sin(2)4f x x π=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令t =324x π-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则t ∈3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 则sin ,y t =t ∈3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的图象得2[]y ∈- 16．已知函数()224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 【解析】（1）()224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，该函数的最小正周期为22T ππ==. 解不等式()2224k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得()388k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 因此，函数()y f x =最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32244x πππ∴-≤-≤. 当204x π-=时，即当8x π=时，函数()y f x =取得最大值，即()max 2f x =； 当3244x ππ-=时，即当2x π=时，函数()y f x =取得最小值，即()min 3214f x π==-.。