论文终稿

数值计算法自再现模

作者：杨赵倩指导教师：于彦明

摘要本文利用Fox-Li数值迭代法计算了几种谐振腔的自再现模的振幅分布和相位分布，从而验证了自再现模的存在。

关键词自再现模Fox—Li数值迭代解法惠更斯-菲涅耳原理

一：引言

光学是一门古老的学科，激光光学是光学的一个重要分支。自再现的物理意义是腔内可能存在着稳定的共振光波场，它们由一个腔面传播到另一个腔面的过程中虽然经受了衍射效应，但这些光波场在两个腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不变，亦即共振光波场在腔内往返多次过程中始终保持自洽或自再现的条件。FOX-LI已经计算出平行平面腔的自再现，利用FOX-LI数值迭代法理论上可以求得任意光腔（稳定腔，非稳定腔和临界腔）的模参数。Fox-LI运用了标量近似法来分析各种腔的模特性。计算方便准确，为以后其它类似方面的研究提供了基础。

光束质量决定了激光的聚焦特性和传输特性，它与激光谐振腔内的光场模式密切相关，因而光腔模式的相关计算在机加工和光测量等激光应用领域有着非常重要的意义。模式的计算对于谐振腔腔型的设计、外光路设计和光束整形具有指导作用。

谐振腔模式的经典理论仅给出了部分简单腔型(如平平腔、圆形镜共焦腔)的模式解析解；在激光器的不断发展中出现了各种新的腔型和光学元件，对此，解析法通常难以实施，而必须采用各种数值计算方法，如Fox-Li数值迭代法、厄米一高斯展开法、快速傅立叶变换法(FFT)、有限差分法(FDM)和有限元法(FEM)。特别是Fox-Li数值迭代方法，它是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法，只要取样点足够多，它可以用来计算任何形状开腔的自再现模，而且还可以计算诸如平行平面

腔中腔镜的倾斜、镜面的不平整性等对模的扰动，其缺点是在菲涅耳数F很大时，计算工作量很大。

本文结合已有稳定平行平面腔的自再现模参数，利用FOX-LI数值迭代法，计算两个凹面镜或者是一个凹面镜一个平面镜之间的自再现模参数。

二：内容;

1:自再现模：腔内可能存在着的稳定的光波场，。它们由一个腔面传播到另一个腔面的过程中虽然经受了衍射效应，但这些光波场在两个腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不变，亦即共振光波场在腔内多次往返过程中始终保持自洽或自再现的条件。

2:数值计算的意义

有效使用数字计算机求数学问题近似解的方法与过程，以及由相关理论构成的学科。数值计算

主要研究如何利用计算机更好的解决各种数学问题，包括连续系统离散化和离散形方程的求解，并考虑误差、收敛性和稳定性等问题。从数学类型分，数值运算的研究领域包括数值逼近、数值微分和数值积分、数值代数、最优化方法、常微分方程数值解法、积分方程数值解法、偏微分方程数值解法、计算几何、计算概率统计等。随着计算机的广泛应用和发展，许多计算领域的问题，如计算物理、计算力学、计算化学、计算经济学等都可归结为数值计算问题。

数值和计算机技术的结合，已经为了在眼前展开了一幅伟大的画卷。

今天，我们正处在一个非常有利的历史时期：过去，以牛顿为代表的一大批先驱人物在当时的计算工具极为落后的条件下进行了大量的研究，取得了丰硕的成果，为我们留下了宝贵的精神财富；今天，电子计算机性能不断提升而价格又不断下跌为我们的科学计算提供了难得的物质基础；再者，当代科学技术的不断进步和生产力的迅速发展又为高水平的科学计算提供了用武之地。利用现有的计算机条件，再现以牛顿为代表的这些优秀人物的思想和方法，进一步发掘潜藏在计算方法领域中的科学真谛，完全可以期待着更加辉煌的成就。

我完全同意这一点，今天，我们具有比先前的和以后的人更好的发展机会。真的是时不我待。 数值计算的重要性一方面促进了计算方法的研究，另一方面也促进了计算工具的发展。随着20世纪40年代中期人类第一台电子数字计算机的问世，数值计算终于有了理想的支撑工具。坚实的数学理论，科学的计算方法以及先进的计算工具的有机结合，可以为我们打造了一个无比坚实的工作平台。正是因为有了这样一个平台，才有了20世纪60年代人类登上月球的壮举以及今天许多国家雄心勃勃的太空开发计划。完全可以这么讲，今天几乎所有的高科技成果都是在这个平台上产生的。正是因为有了这样一个平台，从而使得我们这个时代的科学技术能够飞速发展。

3：FOX_LI 数值迭代

①Fox-Li 数值迭代法原理

所谓迭代法，就是利用迭代公式

'1ds ku U q q ⎰⎰=+(1)

直接进行数值计算，首先，假设在某一镜面上存在一个初始的场分布，将它带入上式，计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上形成场材：，然后再利用所得到的值：带入上式，计算在腔内经第二次渡越而在第一个镜上生成的场。如此反复运算并注意经过足够多次以后，在腔面上能否形成一种稳态场分布。

②迭代法的的重要意义：首先，它用逐次近似计算直接求出了一系列自再现模，从而第一次证明了开腔模的存在性。其次，迭代法能加深对模的形成过程的理解，因为它的数学运算与波仔腔中往返传播而最终形成自再现模这一物理过程相对应，而且用迭代法求出的结果使我们具体的、形象

的认识了模的各种特征。第三，迭代法具有普遍的适用性，它原则上可以用来计算任何几何形状的开腔中的自再现模，而且还可以计算诸如平行平面腔中腔镜的倾斜、镜面的不平整性等对模的扰动。 现以平行平面腔为例，说明FOX-LI 数值迭代法的应用。设初始入射波的场分布函数可任意选取，最简单的是取U 1(x ’)为一列均匀的平面波作为第一个镜面上的初始激发波。由于我们考虑的只是场的振幅和相位分布，于是可取U 1(x ’)=1 将其代入公式''12)()(22),(dx x U e e x U a a ik ikL L i L x x ⎰----=λ（2） dx x U e e x U a a ik ikL L i L x x )()(2'322),(⎰----=λ （3）将此计算循环下去，直到得到一个稳定的状态为止，即把这种迭代一直进行到Uq +1和Uq 只差一个与坐标无关的常数因子为止。这时求出的Uq 便是方程式（2）的本征函数，也是方程的解。而Uq +1和Uq 的比值就是方程（2）的本征值。FOX-LI 借助计算机，对条形腔进行计算，得出经过一次和三百次传播后得到的振幅和相位分布相同。

本文就是在此基础上，分别计算了两个凹面镜之间或是一块凹面镜和一块平面镜之间的自再现模。

4：本文的工作内容

数值分析方法已经成为科研和工程实际中的重要方法。对谐振腔的模拟也不例外。前面介绍了一些应用较多的数值方法。都有比较明显的缺点。比如FFT 由于采用了傍轴近似不适用于宽角衍射。本文旨在寻找一种可以克服以上方法的缺点的方法，帮助更为准确的计算谐振腔的模式。

本课题主要包括3个方面的内容：

(a)在普通光学知识的基础上，介绍了激光谐振腔的基本概念以及各种光腔模

式计算方法，并比较了各种方法的优缺点。

(b)在Fox-Li 迭代法的基础上，提出了适合圆形谐振腔模式计算的方法。

(c)将Fox-Li 方法应用到两个凹面镜之间或是一块凹面镜和一块平面镜之间的自再现模。

模式理论和算法的建立

激光光束的横模结构确定功率密度的分布，激光谐振腔的模式分布的计算对激光的应用有着重要的意义。通过数值计算，可以对现有的激光束设备进行分析和改进并对激光谐振腔的参数设计具有指导意义。从模式理论出发，介绍了模式的基本概念，介绍了横模理论。在上述基础上从菲涅耳衍射积分方程出发，推导出求解积分方程的Fox-Li 数值迭代法，利用贝塞尔函数将二维的衍射积分方程简化为一维积分方程，建立一维光束传输矩阵，进行光场模式计算，实现了Fox —Li 数值迭代法快速计算。

（1）模式的基本概念和模式理论

无论是闭腔还是开腔，都将对腔内的电磁场施以一定的约束。一切被约束在空间有限范围内的电磁场都将只能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每一个本征态将具有一定的振荡频率和一定的