第6章 窄带随机信号
窄带随机信号
sin 0t cos 0t
E E
X (t)
Xˆ (t)
0 0
自相关函数 RAC ( ) E AC (t)AC (t )
③
RAS ( ) E AS (t)AS (t )
AC (t), AS (t)的统计特性
RAC (t1,t2 ) E AC (t1)AC (t2 )
各态
各态
历经
历经
X (t)平稳 Xˆ (t)平稳，X (t)和Xˆ (t)联合平稳 X%(t)平稳
频域法计算RXˆ ( )
P148 4-37
RXˆ ( ) E Xˆ (t)Xˆ (t ) RX ( ) h ( ) h ( ) RX ( )
GXˆ () GX () H () 2 GX () j sgn() 2 GX ()
随机信号X (t)的希尔伯特变换 Xˆ (t) H X (t) X (t) * 1
t
解析形式 X%(t) X (t) jXˆ (t)
Xˆ (t)的自相关函数 RXˆ ( ) Xˆ X (t), Xˆ (t) 的互相关函数RXXˆ ( ), RXˆX ( )
X%(t) 的自相关函数 RX%( ) X%
希尔伯特变换前后自相关函数相等。
X (t), Xˆ (t)的自相关函数 RXXˆ ( ), RXˆX ( )
RXXˆ ( ) E X (t)Xˆ (t ) RX ( ) h ( ) H RX ( ) RˆX ( )
GXXˆ () j sgn() GX ()
X(t)自相关函数的希尔伯特变换
RX ( ) RAC ( ) cos0 RAC AS ( ) sin 0
AC (t)，AS (t)均实平稳
总 期望 E AC (t) E AS (t) 0
讨论主题-窄带随机信号
ˆ(t ) sin 2π f t xc (t ) = ξ (t ) cos 2π f 0 t + ξ 0 ˆ xs (t ) = ξ (t ) sin 2π f 0 t − ξ (t ) cos 2π f 0 t
由此可得：
ξ (t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t + xs (t ) sin 2π f 0 t ˆ ξ (t ) = xc (t ) sin 2π f 0 t − xs (t ) cos 2π f 0 t
c
τ = t1 − t 2
) = E{x s (t1 ) x s (t 2 )} =
s
= Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ = Rx (τ )
s
τ = t1 − t 2
因为 S ξ ( f ) 没有直流分量， 因此 E{ξ (t )} = 0
同理可以求得：
Rx x (t1 , t 2 ) = − Rξ (τ ) sin 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
c s c s
Rx x (t1 , t 2 ) = Rξ (τ ) sin 2π f 0τ + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
+∞
2009－2010 年度秋季学期讨论课 孙应飞
=
1 ⋅ j[ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 ) − 2 − sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − sgn( f + f 0 ) Sξ ( f + f 0 )]
j[ Sξ ( f − f 0 ) − S ξ ( f + f 0 )], = 0,
6窄带随机过程的产生
——————————————————窄带随机过程的产生学院：计算机与信息工程学院专业：通信工程姓名：学号：1108224070计算机与信息工程学院验证性实验报告一、实验目的1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。
二、实验仪器装MATLAB 软件微机一台 三、实验原理窄带随机过程的产生原理：00)()sin(2)f t b t f t p p -四、实验内容1、基于随机过程的莱斯表达式X （t)=a(t)coswt-b(t)sinwt,用matlab 产生一满足条件的窄带随机过程。
2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。
3、编写matlab 程序计算该随机过程的均值函数，自相关函数，功率谱，包络，包络平方及相位的一维概率密度画出相应的图形并给出解释。
五、实验步骤根据实验内容，利用matlab 编写程序。
1、 n=1500;a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9;at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b);sf=1500;t=1/sf;f0=1000;y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t];plot(tt,a); %绘制产生的白躁声2、n=1500;a=randn(1,n); %产生随机数b=randn(1,n);wsize = 9;at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b);sf=1500;t=1/sf;f0=1000;y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t];plot(tt,b); %绘制产生的白躁声3、n=1500;a=randn(1,n); %产生随机数b=randn(1,n);wsize = 9;at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b);sf=1500;t=1/sf;f0=1000;y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t];plot(tt,at); %绘制经过滤波器后的白躁声4、n=1500;a=randn(1,n); %产生随机数b=randn(1,n);wsize = 9;at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b);sf=1500;t=1/sf;f0=1000;y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t];plot(tt,bt); %绘制经过滤波器后的白躁声plot(tt,y) %绘制窄带随机过程波形hist(y) %绘制直方图m=mean(y) %求均值ryy=xcorr(y)/n; %求自相关函数m=[-n+1:n-1];plot(m,ryy) %绘制自相关函数periodogram(y,[],n,sf) %绘制窄带随机过程的功率谱六、实验结果与分析1、绘制产生的白噪声plot(tt,a)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-4-3-2-1012342、绘制产生的白噪声plot(tt,b)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-4-3-2-1012343、绘制经过滤波器后的白噪声 plot(tt,at)-1.5-1-0.50.514、绘制经过滤波器后的白噪声 plot(tt,bt)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1.5-1-0.50.511.55、绘制窄带随机过程波形00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1.5-1-0.50.56、绘制直方图-1.5-1-0.500.510501001502002503003504007、求均值及自相关函数，并绘制自相关函数m =0.0226-0.0200.020.040.060.080.10.128、绘制窄带随机过程的功率谱00.10.20.30.40.50.60.7-100-90-80-70-60-50-40-30-20Frequency (kHz)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )Power Spectral Density Estimate via Periodogram七、实验心得通过MATLAB编程软件能够基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程，这不是一个简单的过程，通过不断地尝试修改才能得到想要的结果，并通过做图，掌握了窄带随机过程的特性，包括数学期望、方差、相关函数及功率谱密度等，通过观察和分析所得图形，验证了书本上学到的有关窄带随机过程的包络、包络平方和相位的一维概率密度的知识。
第6章 窄带随机过程
xˆ
2
(
t
)dt
x
2
(t
)dt
lim 1 T xˆ 2 (t)dt lim 1 T x 2 (t)dt
T 2T T
T 2T T
上 海 大 学 通 信 学 院
上 海 大 学 通 信 学 院
3
2016/10/28
上
海 三、窄带随机过程的性质
大
学
通 问题：若已知Z(t)的功率谱密度 GZ ( ) 或统计特性RZ ( ) 信 （讨论平稳窄带过程），则其B(t)和 (t ) 或X(t) 和Y (t)
性质4．
RX
(
)
1
0 GZ ()cos[( 0 ) ]d
性质5． RX ( ) RY ( )
性质6．
RXY
(
)
1
0 GZ ()sin[( 0 ) ]d
性质7． RY X ( ) RXY ( ), RXY ( ) RXY ( )
上
海
大 学
性质8． RXY (0) E[X(t)Y(t)] 0, RY X (0) 0
(
f
)，奇函数
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。
1
2016/10/28
上
海 大
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余
学 的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S ( f )，即可。
通
信 学
若只取正频域频谱
S ( f )，则
S
(
f
)
S (
f
)，即S ( f ) 不满
院 足共轭对称性，且 S ( f ) 时域复信号。
s( t )
h( t )
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。
解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。
希尔伯特变换与解析信号
性质1 希尔伯特逆变换
H1 H
H( j)H( j) j2 sgn2() 1
H Hx(t) H2x(t) x(t)
Xˆ (t) h(t) 1 X (t)
t
随机信号与系统 2007年春 饶渐升
10
希尔伯特变换的性质
性质2 900相移的全通滤波器，
H[e j0t ] je j0t e j(0t / 2) H [e j0t ] je j0t e j(0t / 2)
RˆX ( )
随机信号与系统 2007年春 饶渐升
18
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
希尔伯特变换的性质
性质4 若X(t)是WSS R.S.，则有：
RXˆ (0)
证明：
RR X(()0),R
XX
XR(RX )XX(Xˆ ()t,
t-)RX (0 )
R ( ) R ( ) RX ( ) R ( )
XX
XX
XX
令 0，则R (0) R (0)
0
0
H [cos 0t ]
H[e
j0t
] H[e 2
j0t
]
sin 0t
H[sin 0t]
H[e
j0t
] H[e 2j
j0t
]
cos0t
随机信号与系统 2007年春 饶渐升
11
希尔伯特变换的性质
设具有有限带宽 的信号 a(t) 的傅立
叶变换为 A() ，假定 0 2 ，
则有 ： H a(t) cos0t a(t) sin 0t
或者记为 Xˆ (t,) HX (t,)
随机信号与系统 2007年春 饶渐升
5
6.1.1 希尔伯特变换
从信号处理的角度，信号的希尔伯特变换 可以认为是该信号通过一个冲击响应为
窄带随机信号的自相关特性例题
(sin sin 2 cos
2
sin
2
(22)
)
4 cos 0 sin 2 cos 0 4 sinc( ) 2
因此，输出信号的自相关函数为：
B0 ( ) BX ( )* h ( ) N0 cos 0 4 ( )* sinc( ) 2 2 2 N0 cos 0 sinc( ) 2
0
H ( j ) e j d
2 2
2
H ( j ) cos d (因为 H ( j ) 是偶函数) cos d
0 0
1
0
0
1
sin
2
sin(0 ) sin(0 )
cos 0 sin
1 0 0 H ( j ) others 0
2
(21)
由于冲击响应的自相关积分 h ( ) 和功率传输函数 H ( j ) 是一傅里叶变换对， 因此， 可 以立刻求出 h ( ) ：
1 2 1 1
h ( )
BE ( ) BX ( )* hE ( )
h ( )
E
S0 ( ) S X ( ) H ( j )
2
S E ( ) S X ( ) H E ( j )
2
B0 ( ) BE ( )
cos 0 2
(12)
(13)
第二小题要求输出信号包络 R(t ) 的自相关函数 BE ( ) 。 解题思想:
BE ( ) BX ( ) * hE ( )
(14)
6.窄带随机过程的产生 - 随机信号分析实验报告
计算机与信息工程学院综合性实验报告一、实验目的1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。
3、掌握窄带随机过程的分析方法。
二、实验仪器或设备1、一台计算机2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理基于随机过程的莱斯表达式00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1)实验过程框图如下：理想低通滤波器如图所示：图1 理想低通滤波器()20AH ∆ω⎧ω≤⎪ω=⎨⎪⎩其它(3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（）,则系统输出的物理谱为 220=()=20Y X N AG H G ∆ω⎧0≤ω≤⎪ωωω⎨⎪⎩（）（）其它(3.3) 输出的自相关函数为:01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞=⎰ /221cos 2N A d ωωτωπ∆=⎰ (3.4) 20sin 242N A ωτωωτπ∆∆=⋅∆ 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。
计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密度图形。
四、MATLAB 实验程序function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程%--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p;w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C;[b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器y_at=at.*cos(w.*n); %产生随机过程a（t）y_bt=at.*sin(w.*n); %产生随机过程b（t）yt=y_at-y_bt; %产生一个p个点的高斯窄带随机过程subplot(211)plot(yt)title('高斯窄带随机过程y(t)')subplot(212)pdf_ft=ksdensity(yt) ;plot(pdf_ft)title('y(t)的概率密度图')disp('均值如下')E_Xt=mean(y_at)E_at=mean(y_at)E_bt=mean(y_bt)E_ft=mean(yt)%-----------------------自相关函数代码如下--------------------------% figure(2)R_Xt=xcorr(Xt); %高斯白噪声X(t)的自相关函数R_at=xcorr(at); %限带白噪声的自相关函数R_y_at=xcorr(y_at); %随机过程a(t).coswt的自相关函数R_y_bt=xcorr(y_bt); %随机过程b(t).coswt的自相关函数R_ft=xcorr(yt);subplot(2,2,1);plot(R_Xt);title('高斯白噪声的自相关函数R_Xt'); %并绘制图形subplot(2,2,2)plot(R_at);title('限带白噪声的自相关函数R_a_bx'); %并绘制图形subplot(2,2,3)plot(R_y_bt);title('随机过程b(t)的自相关函数R_y_bt');subplot(2,2,4)plot(R_ft);title('高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R_yt');%------------------------功率谱密度代码如下---------------------------% figure(3)subplot(1,2,1)periodogram(Xt);title('高斯白噪声功率谱密度S_Xt');subplot(1,2,2)periodogram(at);title('限带白噪声功率谱密度S_a_bt');figure(4)subplot(3,1,1)periodogram(y_at);title('随机过程a(t).coswt概率密度概率密度S_y_at');subplot(3,1,2)periodogram(y_bt);title('随机过程b(t).sinwt功率谱密度S_y_bt');subplot(3,1,3);periodogram(yt);title('高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S_yt');五、实验结果将上述random 函数放在Path 中后，在Commaod Window 中输入：random(1000,10,0.001)时，输出结果如下：01002003004005006007008009001000-0.50.5高斯窄带随机过程y(t)0102030405060708090100246y(t)的概率密度图0500100015002000-50005001000高斯白噪声的自相关函数R X t 0500100015002000-101020限带白噪声的自相关函数R ab x 0500100015002000-50510随机过程b(t)的自相关函数R yb t 0500100015002000-101020高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R y t00.51-40-30-20-10010Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯白噪声功率谱密度S X t 00.51-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )限带白噪声功率谱密度S ab t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程a(t).coswt 概率密度概率密度S ya t00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程b(t).sinwt 功率谱密度S yb t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-40-30-20-10Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S y t在Commaod Window 中输出的结果如下：E_Xt = 0.0020 E_at= 0.0020 E_bt= -0.0020 E_ft = 0.0040六、实验结果分析：1、由于高斯白噪声Xt是标准正态的，所以均值趋近于零，而at，bt是由Xt通过一个线性系统（低通滤波器）得到的，所以输出均值不变，仍为零，从程序运行结果可以看出，Xt，at，bt均值都趋近于零。
北理随机信号分析第六章作业及答案
1、某雷达接收机系统如下图所示：
X(t) 线性窄带系统 Y(t) 线性包络检波器 Z(t)
X(t) 为白噪声，现测得 Z(t) 的均值为 m ，求：① Z(t) 的一维概率密度；② Z(t) 的平均功率。 2、对于零均值、方差为 σ2 的窄带平稳高斯过程：
2 K X (τ) = σX exp{−βτ2 } ， β ≥ 0 ，将其通过下图所示系统，则
(1) (2)
试求输出 Y(t) 的均值、方差和自相关函数 试求输出 Y(t) 的一维概率密度函数 f Y (y ; t)
X(t)
d(i) / dt
X(t)( i) 2 NhomakorabeaY(t) = X2 (t)
Z(t) = B(t) cos[ω0 t + Φ (t)] = X(t) cos ω0 t − Y(t)sin ω0 t
证明：包络任意时刻状态 B+ 满足：
E{B+ } =
π π⎞ ⎛ σ ， D{B+ } = ⎜ 2 − ⎟ σ2 2 2⎠ ⎝
3、现已知某均方可微高斯平稳随机过程 X(t) ，其均值为 α ，并且 α ≠ 0 ；其协方差函数为
06实验六：窄带随机信号仿真与分析
实验五：窄带随机信号仿真与分析【实验目的】产生窄带随机信号，提取窄带随机信号的各个分量随机信号，测量窄带随机信号及其各个分量随机信号的参数，验证窄带随机信号及其各个低频分量随机信号的性质。
本实验安排在窄带信号课程之后来学习，使学生对窄带随机信号及其特性有个更直观和深入的了解。
【实验器材】1．设备：一台计算机2．软件：MATLAB6.5.1【实验原理】将理想白噪声 ()0n t 通过高频窄带系统可形成高频窄带噪声：()()()()()cos cos sin n t V t wt t x t wt y t wt θ=+=+⎡⎤⎣⎦(其中 w 是窄带噪声的中心频率)高频窄带噪声()n t 与其两个低频正交分量()()x t y t 、具有相同的均值和方差，两个低频正交分量()()x t y t 、具有相同的相关函数和功率谱密度；高斯窄带噪声的包络随机信号()V t 的一维分布服从瑞利分布，而其相位随机信号()t θ服从均匀分布。
【实验内容】1. 通过示波器观察高斯白噪声()0n t 的样本波形，并测量其“相关函数和功率谱、分布律”；2. 通过示波器观察高斯窄带噪声()n t 的样本波形，并测量其“相关函数和功率谱、分布律”；3. 通过示波器观察高斯窄带噪声()n t 的两个低频正交分量()()x t y t 、 的样本波形，并测量其“相关函数和功率谱、分布律”；4. 通过示波器观察高斯窄带噪声()n t 的包络随机信号()V t 和相位随机信号()t θ的样本波形，并测量其“分布律”。
注意： 本实验中窄带随机信号的形成滤波器和BPF 和()()x t y t 、的形成滤波器LPF1、LPF2的类型（Butterworth 、Chebyshev 、Elliptic 、Bessel）和参数都可设置【实验方法】先利用matlab仿真白噪声序列，然后构造一个窄带系统，使白噪声通过窄带系统形成高频窄带噪声，再提取高频窄带噪声的各个随机分量，研究高频窄带噪声和其各个低频随机分量的性质。
随机信号分析（第3版）第六章习题及答案
随机信号分析（第3版）第六章习题及答案6.1 复随机过程0()()j t Z t eω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。
求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。
解：(1)0000[()][]201[()()]212j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπωτωττππ+∞++Φ-+Φ*-∞+=Φ=Φ=?0000[()][]2[(2)2]2(2)201[()()]212120j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d ee d ωτωπωτπωττπππ+∞++Φ+Φ-∞++Φ+Φ+=Φ=Φ=Φ=?[]2()Z Z j S F R F E Z t Z t F eωτωττπδωω*==+==-6.2 6.36.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>?时，()0A ω=，且满⾜0ωω?，试⽐较：（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅⽴叶变换。
（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅⽴叶变换。
（3）0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅⽴叶变换。
解：由傅⽴叶变换的定义可以得到：（1）00000()cos [()()]1()()2FTj t FT a t t A A a t e A ωωπωωωωπωω←?→-++←?→-01()2j t a t e ω的傅⽴叶变换是0()cos a t t ω的傅⽴叶变换的正频率部分。
（2）00000()s i n [()()]()()2FTj t FTa t t A A jj a t e A jωπωωωωωπωω←?→--+-←?→-0()2j t ja t e ω-的傅⽴叶变换是0()sin a t t ω的傅⽴叶变换的正频率部分。
随机信号实验 窄带信号
窄带信号及包络和相位检波分析01095056 史森 01095058 白寒冰 01095060 陈伟强 I ：摘要当窄带系统(接收机)的输入噪声(如热噪声)的功率谱分布在足够宽的频带(相对于接收机带宽)上时，系统的输出即为窄带过程。
对于一个窄带信号))(cos()()(0t t t A t X ϕω+=，通过包络检波器之后，在检波器的输出端可以得到包络A （t ）。
当窄带信号通过一个相位检波器之后，可以得到有关相位的信息。
论文通过用matlab 软件对窄带信号的包络和相位，以及窄带信号的数字特征、概率密度、功率谱密度等进行了画图分析，进一步研究了窄带信号的包络和相位的特性。
II ：实验背景与目的通过实验掌握窄带随机信号的特点，关键在于包络和相位检波分析。
分析并了解了解窄带信号的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。
熟悉运用常用的信号处理仿真软件平台：matlab 软件。
III ：实验原理在一般无线电接收机中，通常都有高频或中频放大器，它们的通频带往往远小于中心频率0f ，既有 10<<∆f f 这种线性系统通称为窄带线性系统。
在通信、雷达等许多电子系统中，都常常用一个宽带平稳随机过程来激励一个窄带滤波器，这是在滤波器输出端得到的便是一个窄带随机过程。
若用示波器观测此波形，则可看到，它接近一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢的随机变化。
我们可以证明，任何一个实窄带随机过程X(t)都可以表示为：))(cos()()(0t t t A t X ϕω+=式中，0ω 是固定值，对于窄带随机过程来说，0ω一般取窄带滤波器的中心频率或载波频率。
在实际应用中，常常需要检测出包络)(t A 和)(t ϕ的信息。
若将窄带随机过程X(t)送入包络检波器，则在检波器的输出端可得到包络)(t A ；若将窄带随机过程X(t)送入一个相位检波器，便可检测出相位信息)(t ϕ。
第6章 窄带随机信号
,
r2
=
a2 2σ 2
1
fAt (a t ) ≈
1 2πσ
exp
而所有样本函数的总体---窄带随机信号 X (t) ，则可写成：
6-1
《随机信号分析基础》第六章：窄带随机信号分析
第2页 共9页
X (t ) = A(t ) cos ⎡⎣ω0t + Φ (t )⎤⎦ 上式就是窄带随机信号常用的数学模型。由于 ak (t ) ，ϕk ( t ) 相对 cosω0t 来说是慢变化的时
上式中， cosω0t ， sinω0t 都是确定函数。其中
Ac(t) = A(t) cos Φ(t) 同相分量(In-phase Component)
As(t) = A(t) sin Φ(t) 正交分量(Quadrature Component,书上称为几何“垂直”分量)
A(t ) = Ac2 (t ) + As2 (t )
G
X
(ω) Δω
x k (t)
a k (t)
−ω 0 0
0 ω0 ω
t cos[ω 0t + ϕk (t)]
(a)窄带随机信号的功率谱密度
(b)窄带随机信号的样本函数波形
图 6.1 窄带随机信号
6.1.2 窄带随机信号的数学模型与表示
1.窄带随机信号的数学模型
随机信号 X(t) 的样本函数可写成：
xk (t ) = ak (t ) cos ⎡⎣ω0t + ϕk ( t )⎤⎦ ξk ∈ Ω (k = 1, 2, )
说明 X (t)与同相分量 Ac(t) 、正交分量 As (t) 具有相同的方差，即平均功率相等。
⑸ Ac (t) 、 As (t) 的概率分布
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
窄带随机信号的产生及分析
信息与通信工程学院实验报告（软件仿真性实验）课程名称：随机信号分析实验题目：窄带随机信号的产生及分析班级：学号：实验目的和任务1•掌握窄带随机信号的产生方法以及窄带滤波器的设计2•掌握窄带随机信号包络相位的提取实验内容及原理（一）实验原理在一般无线电接收机中，通常都有高频或中频放大器，它们的通频带往往远小于中心频率，既有这种线性系统通称为窄带线性系统在通信、雷达等许多电子系统中，都常常用一个宽带平稳随机过程来激励一个窄带滤波器，这是在滤波器输出端得到的便是一个窄带随机过程。
若用示波器观测此波形，则可看到, 它接近一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢的随机变化。
我们可以证明，任何一个是窄带随机过程X(t)都可以表示为：成绩指导教师：陈友兴学生姓名：X(t) = A(t)cos( .0t ⑴)式中，「。
是固定值，对于窄带随机过程来说，0 一般取窄带滤波器的中心频率或载波频率。
在实际应用中，常常需要检测出包络A(t)和「t的信息。
若将窄带随机过程X(t)送入包络检波器，则在检波器的输出端可得到包络A(t)，若将窄带随机过程X(t)，送入一个相位检波器，便可检测出相位信息」t，如图3.1所示。
(二)实验内容1.产生一输入信号X(t)二A(t)cos[ st (t)]N(t)，其中A(t戶1 cqst，•■i=2n二1000( n 为学号)，，'。
「'i，：(t)与A(t) 一样，N(t)为高斯白噪声；2•按图3.1的系统，设计一个低通滤波器，使得X(t)通过系统后的输出W(t)为窄带信号。
三、实验步骤或程序流程1. 输入信号，求输入信号的均值、方差、自相关函数、傅里叶变换、功率谱密度，分析各参数的特性；2.设计一个低通滤波器；3.分析滤波后信号时域、频域的各参数的特性。
四、实验数据及程序代码clear all ;clc;close all ;i=19; %学号为19n=1024;Fs=20000*i;t=0:1/Fs:(n-1)/Fs;wo=2*pi*1000*i;At=cos(wo*t); %输入信号的包络Nt=normrnd(0,1,1,n); %高斯白噪声Xt=At.*cos(4*wo*t+At)+Nt;M1=mean(Xt); %求输入信号的均值V1=var(Xt); %求输入信号的方差X1=xcorr(Xt, 'unbiased' ); %求X(t )的自相关函数window=boxcar(length(t)); %产生一个矩形窗[P1,f1]=periodogram(Xt,window,n,Fs); %求X( t )的功率谱密度%P11=10*log10(P1);F1=abs(fft(Xt)); %求傅里叶变换后幅度freq=(0:n/2)*Fs/n;figure(1)输入信号功率谱密度 ' ); %绘出输入信号功率谱密度图 1(1:n/2+1)), 'k' );title( ' 输入信号傅里叶变换特性 ' ); %绘出输入信% %带通滤波器设计 % Fs2=Fs/2; % fs1=800*i;fp1=900*i; % fs2=1100*i;fp2=1200*i;% ws1=fs1*pi/Fs2; wp1=fp1*pi/Fs2; % % ws2=fs2*pi/Fs2; wp2=fp2*pi/Fs2;% tr_width=min((wp1-ws1),(wp2-ws2));% 过渡带宽% N=ceil(6.6*pi/tr_width); % 计算 N % N=N+mod(N,2);%保证滤波器系数长 N+1为奇数 % wind=(hamming(N+1))'; % wc1=(wp1+ws1)/2;wc2=(ws2+wp2)/2; % fc1=wc1/pi;fc2=wc2/pi; % b=fir1(N,[fc1 fc2],wind); % 用汉明窗函数设计低通滤波器% omega=linspace(0,pi,512); % 频率抽样 512 个点 % mag=freqz(b,1,omega);%计算频率响应% magdb=20*log10(abs(mag)); % 计算对数幅度频率响应 % figure(2)% subplot(121),stem(b,'.');grid on;%axis([0 N-1]); % xlabel('n');ylabel('h(n)');title(' 单位抽样响应 '); % subplot(122),plot(omega*Fs/(2*pi),magdb);grid on; % xlabel(' 频率 ');ylabel('dB');title(' 幅度频率响应 ');%低通滤波器设计subplot(223);plot(f1,P1);title( subplot(224);plot(freq,abs(F 号傅里叶变换特性图归一化通带和阻带截止角频率deltaw=ws-wp; N=ceil(6.6*pi/deltaw);%计算 NN=N+mod(N,2); %呆证滤波器系数长 N+1为奇数 wind=(hamming(N+1))'; wn=(fp+fs)/Fs;b=fir1(N,wn,wind); % 用汉明窗函数设计低通滤波器 omega=linspace(0,pi,512); % 频率抽样 512个点 mag=freqz(b,1,omega); % 计算频率响应magdb=20*log10(abs(mag)); % 计算对数幅度频率响应figure(2)subplot(121),stem(b, '.' );grid on; %axis([0 N-1]);xlabel( 'n' );ylabel( 'h(n)' );title( ' 单位抽样响应 ' ); subplot(122),plot(omega*Fs/(2*pi),magdb);gridon; %axis([0 f1*4 -100 10]);xlabel( '频率' );ylabel( 'dB' );title( ' 幅度频率响应 ' );At=conv(Xt,b); %滤波Wt=At([33:1056]);M2=mea n( Wt);嫁带随机信号均值 V2=var(Wt); %窄带随机信号方差X2=xcorr(Wt, 'unbiased' ); %窄带随机信号自相关函数Fs2=Fs/2; fp=3000*i; fs=4000*i; wp=fp*pi/Fs2; %归一化通带截止角频率 ws=fs*pi/Fs2;%归一化阻带截止角频率%6dB截止频率%过渡带宽% P22=10*log10(P2); figure(3)subplot(221);plot(Wt);title( '窄带随机信号时域特性’);%绘出窄带随机信号时域特性曲线 subplot(222);plot(X2);title( '窄带随机信号自相关函数’);淤出窄带随机信号自相关函数图subplot(223);plot(f2,P2);title( '窄带随机信号功率谱密度');%会出窄带随机信号功率谱密度图五、实验数据分析及处理图3.1输入信号特性曲线4 2D-2 -4 笹入伯号自柞关圉数2 --------------- -------------- ■ -------输入僮号时域培任曲线500 1000 150010 10C0 2000 3000输入信号帖里叶燹取特性分析：由自相关函数图形可看出，中心点上相关程度最高，在其他地方，自相关函数接近 于零。
随机信号处理教程 第5章 窄带系统和窄带随机信号
——献给进入信息领域学习的你！
随机信号处理教程
第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
第5章 窄带系统和窄带随机信号
1 2
窄带系统及其特点 窄带随机信号的基本概念 窄带高斯随机信号分析 窄带随机信号包络的自相关特性 正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布
k E k 0 k 0 0
R(t )
(t )
X (t )
x
图5.12 随机衰减矢量叠加示意 图
5.2 窄带随机信号的基本概念
1) X (t ) 和 Y (t ) 分别是宽平稳随机过程，且 X (t ) 和 Y (t )是联合 宽平稳的 2) X (t ) 和 Y (t )的均值都为0，即 X (t ) Y (t ) 0 n0 (t) 3) X (t ) 和 Y (t )的自相关函数相等，即 BX ( ) BY ( ) 4) X (t ) 和 Y (t )的功率谱密度相等，即 S X ( ) SY ( ) 5) X (t ) 和 Y (t )的平均功率相等，它们也等于窄带随机信号 n0 (t ) 的平均功率，即 6) BXY ( ) BYX ( ) 7) BXY (0) BYX (0) 0 8) S XY ( ) SYX ( )
E
0
E
E
X
hE
E
0
hE
E
hE
E
E
5.4 窄带随机信号包络的自相关特性
结论：白色过程通过窄带线性系统后，输出准正弦过程包 络的自相关函数等于该过程的自相关函数的包络。即 cos 0 B0 ( ) BE ( ) 2 (5.4.9)
窄带随机信号性能分析
窄带随机信号性能分析一．摘要窄带信号在通信系统中有着重要的意义，信号处理技术及通信网络系统与计算机分析技术的相互融合，都要求我们对研究分析随机信号经过系统的响应有一个深入的了解。
本实验包括四部分：窄带信号及包络和相位检波分析，窄带随机信号的仿真与分析，希尔伯特变换在单边带系统中的应用，随机信号的DSB 分析。
主要涉及窄带滤波器的设计，高斯窄带信号包络的均值，均方值和方差的测定，相位概率密度函数的测定等。
通过实验了解窄带信号在信号处理领域的应用。
复杂的实际通信系统可以通过抽象与仿真来研究它的特性。
本实验通过MATLAB 中的仿真出理想信号，并对其进行分析与测量。
二．实验特点与原理1.窄带信号及包络和相位检波分析一般无线电接收机中，通常都有高频或中频放大器，它们的通频带往往远小于中心频率0f ，既有 10<<∆f f 这种线性系统通称为窄带线性系统。
在通信、雷达等许多电子系统中，都常常用一个宽带平稳随机过程来激励一个窄带滤波器，这是在滤波器输出端得到的便是一个窄带随机过程。
若用示波器观测此波形，则可看到，它接近一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢的随机变化。
我们可以证明，任何一个实窄带随机过程X(t)都可以表示为：))(cos()()(0t t t A t X ϕω+=式中，0ω 是固定值，对于窄带随机过程来说，0ω一般取窄带滤波器的中心频率或载波频率。
在实际应用中，常常需要检测出包络)(t A 和)(t ϕ的信息。
若将窄带随机过程X(t)送入包络检波器，则在检波器的输出端可得到包络)(t A ；若将窄带随机过程X(t)送入一个相位检波器，便可检测出相位信息)(t ϕ。
如图10所示：窄带滤波包络检波器限幅器低通滤波器×x(t) w(t) A(t) φ(t)2cos ωt图10 窄带信号及包络和相位检波器 图10中，在相位检波器之前加入一个理想限幅器，其作用是消除包络起伏对相位检波器的影响。
随机信号分析_窄带随机信号6.4
2
，则
2，n个自由度的 变量的均值E[V]=n,方差D[v]=2n
2
非中心
No Image
分布
当窄带过程为余弦函数与窄带高斯噪声之和时，则加法器输出的就是非中 心 函数
No Image
1，信号包络为常数的情况
( t ) n ( t ) cos t n ( t ) sin t 得 带入 N c 0 s 0
（指数分布）ຫໍສະໝຸດ No Image可得
No Image
的概率密度为
No Image
6.4.2 余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的分布
No Image
其包络的平方为
No Image
因为包络服从广义瑞利分布
No Image
可推出包络的平方服从
No Image
6.4.3
No Image
No Image
分布和非中心
No Image
分布
在许多应用中，如信号检测中，为了改进检测性能(增加信噪比)， 通常采用“视频积累技术”，即——对包络的平方进行独立采样后 再积累，如下图所示。
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
包络A(t)和它的垂直分量有这样的关系
经傅里叶逆变换可得v’的概率密度为
1 1 ' v ' ' ' v f ( v ' ) exp I ( ), v ' 0 v ' 2 2 2 n 2 1 2 ' 2 2
n 2 4
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s( ) t d H [s(t )]
随机信号分析
第六章 窄带随机信号
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6.1.2 希尔伯特变换
（1）定义
希尔伯特变换 希尔伯特反变换
ˆ x(t ) H [ x(t )] x( ) d t 1 x(t ) d 1
1
x(t )
d
1
x(t )
ˆ d x(t )
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第六章 窄带随机信号
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6.1.3 高频窄带信号的复指数形式
（1） 高频窄带信号
s(t ) a(t ) cos[0t (t )]
振幅调制，称“包络函数” 相位调制，称“相位函数”
11 /69
5、设具有有限带宽 的信号 a (t ) 的傅氏变换为 A( ), 假定 0 / 2 ，则有
H [a(t ) cos 0 t ] a(t ) sin 0 t H [a(t ) sin 0 t ] a(t ) cos 0 t
证明见书 P198-199
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第六章 窄带随机信号
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6.1
6.1.1
预备知识
信号的解析形式
1 F ( ) 2 1 f (t ) 2
傅里叶变换
f (t )e jt d
F ()e jt d
实信号
f (t ) f * (t )
双边带频谱，呈对称关系 F () F ()
| S ( ) |
0 0
s (t )
a(t )
0
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第六章 窄带随机信号
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由于 0 ，所以 a(t ), (t ) 相对载波 cos0t 来讲是“慢变化”的时间函数。
s(t ) a(t ) cos[0t (t )] a(t ) cos (t ) cos 0t a(t ) sin (t ) sin 0t mC (t ) cos 0t mS (t ) sin 0t
s(t)的解析形式可以用复指数表示为
s (t ) a(t ) cos[0t (t )] ja(t ) sin[0t (t )] a(t )e
j [0t ( t )]
a(t ) e
j ( t )
e
j0t
m(t ) e
j0t
随机信号分析
T
T
ˆ x 2 (t )dt
希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的 能量和功率
利用能量守恒定律证明
1 x (t )dt 2
2
1 X ( ) d 2
2
ˆ ( ) d x 2 (t )dt X ˆ
2
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mC (t ) a(t ) cos (t )
mS (t ) a(t ) sin (t )
mC (t ), mS (t ) 相对于 cos0t 来讲也是低频信号，
且两者在几何上彼此正交。
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第六章 窄带随机信号
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（2）复指数形式
ˆ s s(t)的解析信号 ~(t ) s(t ) js(t )
ˆ s(t ) H [mC (t ) cos 0t mS (t ) sin 0t ] H [mC (t ) cos 0t ] H [mS (t ) sin 0t ]
mC (t ) sin 0t mS (t ) cos 0t
a(t ) cos (t ) sin 0t a(t )sin (t ) cos 0t a(t ) sin[0t (t )]
设 (t )与 b(t ) 为低频信号，则
H [b(t ) cos(0t (t ))] b(t ) sin[0t (t )] H [b(t ) sin(0t (t ))] b(t ) cos[0t (t )]
利用该性质可以求信号的包络
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复信号
单边带频谱 0
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（1） 单边谱信号
1 1 0 jt s (t ) S ( )e d S ( )e jt d 2 0 2 1 1 jt S ( )e d S ( u )e jut du 2 0 2 0 1 2
即
H() 1
ˆ 频域： X() X() jsgn() jsgn()X()
/ 2 0 ( ) / 2 0
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第六章 窄带随机信号
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ˆ 2、x (t ) 的希尔伯特变换为 x (t ) ，即 H [ x(t )] x(t ) ˆ
低频限带 对于一个理想的高频窄带信号或低频限带复包络的窄 带信号而言，其解析信号的形式可以用一个复指数信 号的形式表示。
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第六章 窄带随机信号
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（3）误差分析
已知实信号 s(t ) a(t )cos 0t 包络 a(t ) m(t ) M () 1 实信号频谱 S ( ) M ( 0 ) M ( 0 ) 2 ˆ 解析信号 s (t ) s(t ) js(t ) 解析信号频谱 S () 2S ()u() [M ( 0 ) M ( 0 )]u()
1
x(t ) d
ˆ x(t ) H [ x(t )] ˆ 1 x( ) d t ˆ 1 x(t ) d
1
1
ˆ x(t )
d
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第六章 窄带随机信号
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（2）性质
1、希尔伯特变换相当于一个的90o理想移相器
ˆ x(t ) x(t ) * 1 t
j 0 系统的传输函数： H() j sgn() 0 j
于是， ( t ) 可以看成是 x ( t ) 通过一个具有冲激响应 ˆ x 2 为 h ( t ) 1 的线性滤波器的输出。 sgn(t ) t j
s复 (t ) m(t )e j0t 复指数形式
~ 复信号频谱 S复 ( ) M ( 0 )
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| M ( ) |
第六章 窄带随机信号
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S ( )
1 M ( 0 ) M ( 0 ) 2
| S ( ) | 1 | M ( 0 ) | 2
一个随机信号的功率谱密度，只要分布在
高频载波 0附近的一个窄带范围 内，在范 围以外为零，即满足 0
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第六章 窄带随机信号
6.1 6.2 6.3 6.4
预备知识（4） 窄带随机过程（31） 窄带高斯过程包络与相位的分布（41） 窄带高斯过程包络平方的概率分布（61）
0
1 jt S ( )e d 2
0
S (u )e jut du
1 Re 2
0
2 S ( )e jt d Re s (t )
~ (t ) 1 单边谱的解析信号 s 2
0
2 S ( )e jt d
2800
3000
3200
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第六章 窄带奇函数，奇函数的希 尔伯特变换是偶函数 偶函数：
ˆ x(t )
奇函数：
1
x(t )
d
1
x(t )
ˆ d x(t )
ˆ x(t )
( ) 2S ( )u( ) 2S ( ), 0 S 0 0,
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第六章 窄带随机信号
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（2）解析信号
ˆ s (t ) Re[s (t )] j Im[s (t )] s(t ) j s(t )
实部 虚部
S ( ) 2S ( )u( )，
第六章 窄带随机信号
j (t )
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s(t)的复包络 m(t ) a(t ) e s(t)的复载频
e
j 0t
s(t)的包络 a(t )
s(t)的预包络 ~(t ) s
m(t ) a(t ) cos (t ) ja(t ) sin (t ) mC (t ) jmS (t )
1 1 u( ) (t ) 2 j t
F
1 1 s (t ) 2s(t ) (t ) s(t ) (t ) 2 j t
Hilbert变换
1 j s(t ) t
1 1 ˆ s (t ) s(t ) t
0
0
1 | M ( 0 ) | 2
0
S ( ) 2S ( ) u( ) [ M ( 0 ) M ( 0 )]u( )
0
0
~ | S ( ) |
| 2S ()u() |
~ S 复 ( ) M ( 0 )
( ) S复 ( ) S ( )