一阶逻辑推理理论资料

(6)EG规则
出错的原因是存在量词消去规则xA(x) A(c) 时违背了条件：c是使A为真的特定的个体常项
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x
是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理
是否正确：
(1) xF(x)∧xG(x)
前提引入
(2) xF(x)
(1)化简规则
(3) xG(x)
3.在②式中，c为个体域中任意的个体常项。 只有在满足上述条件时，推理规则才成立！
在推理过程中① ，②两种形式可根据需要选 用。
例：设定义域为实数，取F(x,y)为x＞y， A(x)=yF(x,y)，
xA(x) xyF(x,y)
公式xA(x)是真命题。
考虑如下推理是否正确 :
①xyF(x,y) 前提引入
✓存在量词消去规则（简称EI规则） xA(x) A(c) ⑤
公式成立的条件是 1.c是使A为真的特定的个体常项； 2.c不曾在A(x)中出现过； 3.A(x)中除x外没有其他自由出现的个体变项。
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x
是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题.以下推论
换实例，在一阶逻辑中仍然成立
一阶逻辑中新增加4条推理规则 消去和引入规则: 全称量词消去规则 全称量词引入规则 存在量词引入规则 存在量词消去规则
✓全称量词消去规则（简称UI规则）
这条规则含以下两种形式：
xA(x) A(y)
①
xA(x) A(c)
②
两式成立的条件是 1.x是A(x)中自由出现的个体变项； 2.在①式中，y为任意的不在A(x)中约束出现 的个体变项；
是否正确：
(1) xF(x)∧xG(x)
前提引入
(2) xF(x)
(1)化简规则
(wk.baidu.com) xG(x)
(1)化简规则
(4) F(a)
(2)ES规则
(5) G(a)
(3)ES规则
(6) F(a)∧G(a)
(4)(5)合取规则
(7) x(F(x)∧G(x))
(6)EG规则
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x
✓存在量词引入规则（简称EG规则） A(c) xA(x) ④
公式成立的条件是 1.c是特定的个体常项 ； 2.取代c的x不能已在A(c)中出现过 。
例1:设定义域为实数，取F(x,y)为x＜y， A(2)=xF(x,2)= x(x<2)，（真命题）
如下推理是否正确 : ①xF(x,2) 前提引入 ②xxF(x,x) ①EG 假命题，推理出错。出错的原因是违背了
条件2,x已在A(2)中出现过。
✓存在量词引入规则（简称EG规则） A(c) xA(x) ④
公式成立的条件是 1.c是特定的个体常项 ； 2.取代c的x不能已在A(c)中出现过 。
例1:设定义域为实数，取F(x,y)为x＜y， A(2)=xF(x,2)= x(x<2)，（真命题）
如下推理是否正确 : ①xF(x,2) P ②yxF(x,y) EG, ① √
离散数学
第10课
一阶逻辑推理理论
内容回顾
一阶逻辑合式公式及解释 一阶逻辑等值式及前束范式
上节课练习：求下列公式的前束范式
﹁(xF(x,y)yG(x,y))
xF(x,y) ∧ y G(x,y) x F(x,y) ∧ y G(x,y) x F(x,t) ∧ y G(s,y) x( F(x,t) ∧ y G(s,y)) xy( F(x,t) ∧ G(s,y))
结论：G(a)
证明：
（1）x（F(x)→G(x)） 前提引入
是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题.以下推论
是否正确：
(1) xF(x)∧xG(x)
前提引入
(2) xF(x)
(1)化简规则
(3) xG(x)
(1)化简规则
(4) F(a)
(2)EI规则
(5) G(a)
(3)EI规则 ×
(6) F(a)∧G(a)
(4)(5)合取规则
(7) x(F(x)∧G(x))
(1)化简规则
(4) F(a)
(2)EI
(5) G(b)
(3)EI
(6) F(a)∧G(b)
(4)(5)合取规则
(7) x(F(x)∧G(x))
(6)EG
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x
是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理
是否正确：
(1) xF(x)∧xG(x)
②yF(y,y)
①UI规则
yF(y,y)是假命题，推理不正确
出错的原因是违背了条件：
xA(x) A(y)中， y应为任意的不在A(x)中约束 出现的个体变项。
✓全称量词引入规则（简称UG规则） A(y) xA(x) ③
公式成立的条件是 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真 2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
前提引入
(2) xF(x)
(1)化简规则
(3) xG(x)
(1)化简规则
(4) F(a)
(2)EI
(5) G(b)
(3)EI
(6) F(a)∧G(b)
(4)(5)合取规则
(7) x(F(x)∧G(x))
(6)EG ×
(7)x(F(x)∧G(b))
(6)EG
(8)xy(F(x)∧G(y))
(7)EG
❖在应用以上4条量词规则时，要特别注意！！
今日内容
一阶逻辑推理理论
推理形式的定义 量词引入和消去规则 一阶逻辑下的推理证明
一阶逻辑推理理论
在一阶逻辑中，推理的形式结构仍为 A1∧A2∧…∧Ak→B
若A2该，式…是，永Ak真的式逻，辑则结称论推理正确，称B是A1， 此时将该式记为
A1∧A2∧…∧Ak B 命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中的代
一阶逻辑推理实例
命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中 的代换实例，在一阶逻辑推理中仍然使 用
量词消去和引入规则
例1: 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。
苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。”
命题符号化：F（x）：x是人（特性谓词）；
G（x）：x是要死的；
a：苏格拉底
前提：x（F(x)→G(x)），F(a)
例:设定义域为实数， 取F(x,y)为x>y，A(y)=xF(x,y)=x(x>y)， A对任意给定的y都是真的。
如下推理是否正确 :
①xF(x,y) 前提引入
②xxF(x,x) ①UG xx(x>x)是假命题，推理出错。 出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y) 中约束出现
②zxF(x,z) ①UG √