材料力学第四章 弯曲内力
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材料力学课件04弯曲内力
影响线的绘制方法
静力法
通过平衡条件，将单位集中荷载作用 于简支梁上，绘制弯矩图或剪力图。
机动法
利用梁的微段运动特性，通过几何关 系绘制影响线。
影响线的应用实例
确定最不利荷载位置
通过比较不同位置的荷载值，确定最不利荷载位置，以便进行结 构设计。
校核承载能力
根据影响线确定最不利荷载位置的弯矩值，校核梁的承载能力是否 满足设计要求。
02
在桥梁、建筑、机械等领域中，需要根据剪力和弯矩的分布规律进行结构设计， 确保结构的承载能力和稳定性。同时，在设计过程中还需要考虑材料的力学性能 、施工方法等因素，以满足工程实际需求。
剪力和弯矩的分布规律实验验证
为了验证剪力和弯矩的分布规律，需 要进行相关的实验验证。通过实验可 以测量梁在不同弯曲程度下的剪力和 弯矩值，并与理论分析结果进行比较 。
集中载荷下的简化和计算
总结词
集中载荷作用下，弯曲内力可以直接通过载 荷和支撑反力计算。
详细描述
在集中载荷作用下，梁的弯曲内力可以通过 将载荷与支撑反力相乘得到。这种方法适用 于载荷作用点明确的情况，计算过程简单明 了。
特殊情况下的简化和计算
要点一
总结词
某些特殊情况下，可以利用梁的对称性和载荷特性简化弯 曲内力的计算。
03
弯曲内力的大小与梁的截面尺寸、形状、材料属性 以及外力矩的大小和方向有关。
弯曲内力的类型
正应力
垂直于截面的应力，主要引起梁的弯曲变形 。
剪应力
与截面相切的应力过程中，梁截面上同时存在正应力和 剪应力，其中对梁的强度和稳定性影响最大 的应力。
弯曲内力分析的重要性
弯矩
由于弯曲变形产生的内力矩，其分布规律与梁的截面形状和弯曲方式有关。在梁的中部，弯矩通常为 负值，表示梁的上侧受压、下侧受拉；在梁的支座处，弯矩通常为正值，表示梁的上侧受拉、下侧受 压。
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学(刘鸿文)第四章-弯曲内力
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P a q
a
P
a
a
a M＝qa2
q
a a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a M=qa2
a
§4-4
剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q x q x 例1、悬臂梁上作用均布载荷 写内力方程，并作内力图
M ( x) m Pa
x
(0 x a )
BC段:
Fs ( x) P
M ( x) m P( x a) 2 Pa Px
( a x 2a )
Fs ( x) 0
m=Pa
P
B C
M ( x) m Pa
(0 x a )
A
Fs ( x) P
弯矩图上凸；
总结3 3、梁上没有均布载荷时：
剪力的图 弯矩图
FS
Fb / l
F C
x
水平；
斜直线；
M
Fa / l
Fab / l
且剪力大于零时， 弯矩图上升； 剪力小于零时， 弯矩图下降；
x
总结4 4、集中力的作用点处
FS
Fb / l
F
C
Fa / l
剪力图 突变； 突变量 =集中力的大小； 突变的方向 弯矩图 顺集中力的方向
固定端截面处；
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点 1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；
材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
材料力学弯曲内力
Fs (x) q(l x) 截面剪力是截面坐标的函数，称 为剪力方程。
mx
0;
M (x) q (l x)2 2
0
M (x) q (l x)2 2
截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。
q
Fs ql
剪力图
x l
⊕
M 弯矩图
○ －
-ql2/2
剪力方程 Fs (x) q(l x)的函 数图象称为剪力图。正的剪力画在 基线上侧，负的画在下侧。
3
A
3 M3
FA
Fs3
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 5kN
m2 0; M 2 FA 2 0
M 2 10kN.m 3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
m3 0; M 3 FA 2 0
⑵ 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A 1
1
M1
FA Fs1
解：取整体，m 0;
FA 4 m1 m2 0 FA FB 3kN
弯矩为正，反之为负。
Fs ⊕ Fs Fs ○ － Fs M
⊕ M M ○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
ⅠFs M
Fy 0; FAy Fs 0,
Fs FAy
m1 0; M FAy x 0,
材料力学4弯曲内力
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
第四章 弯曲内力 材料力学教学课件
Q (x)x d1 2q(x)(x)d 2M (x)[M (x)dM (x)]0
dM(x) dx
Q(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x) Q(x)
q(x) Q(x)+d Q(x) A dx M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM2(x) dx2
q(x)
24
二、剪力、弯矩与外力间的关系
m XA A
YA
x
m
∴ 弯曲构件内力
剪力 弯矩
Q A
C
1. 弯矩：M
YA
Q
构件受弯时，横截面上其作
MC
用面垂直于截面的内力偶矩。
P B
RB
M P
RB
15
2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
Q(–)
MO
L
P 解：①求支反力
YO Q(x) –PL M(x)
M(x) Q(x) x
P x
x
YOP; M OPL
②写出内力方程
Q(x)YOP M( x) YOxMO
P(xL)
③根据方程画内力图
20
q 解：①写出内力方程
M(x) L Q(x) x Q(x)
x
– qL
qL 2 2
Q(x)qx
M(x)12qx2 ②根据方程画内力图
解：
q — 均布力
12
q L m g V L gA 1 L1 g L A 2 L2 gA11gA22g
D 1g t [R 21 2R 2( si)n ]2g
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学第四章弯曲内力优秀课件
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
材料力学——4梁的弯曲内力
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3.对称弯曲：作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内时， 弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一 条曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线（挠曲线）
纵向对称面
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：
应点处的载荷集度q。
F=qa
q
C
A
B
a
2a
dFS (x) q(x) dx
3
FS
qa
2
(+)
(-)
-qa
M
FS 图
(-)
由此式知：剪力图曲
x 线上一点处的斜率等于
E
1 qa2
(-)
1 qa 2
梁上相应点处的载荷集
8
度q。
(+)
x
qa2
M (x)
FS (x) dFS
FS (x)
M (x) dM
7KN
1m
P=2KN
F D
1m
B左 截面：
FSB左 Fy (左侧) FAy q 3 3KN
MB左
MB (左侧)
FAy
4
M0
q3
3 2
5KN.m
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
3KN FAy
B右截面：
2m
FBy
7KN
1m
1m
与 B左截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有：
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3.对称弯曲：作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内时， 弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一 条曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线（挠曲线）
纵向对称面
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：
应点处的载荷集度q。
F=qa
q
C
A
B
a
2a
dFS (x) q(x) dx
3
FS
qa
2
(+)
(-)
-qa
M
FS 图
(-)
由此式知：剪力图曲
x 线上一点处的斜率等于
E
1 qa2
(-)
1 qa 2
梁上相应点处的载荷集
8
度q。
(+)
x
qa2
M (x)
FS (x) dFS
FS (x)
M (x) dM
7KN
1m
P=2KN
F D
1m
B左 截面：
FSB左 Fy (左侧) FAy q 3 3KN
MB左
MB (左侧)
FAy
4
M0
q3
3 2
5KN.m
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
3KN FAy
B右截面：
2m
FBy
7KN
1m
1m
与 B左截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有：
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
第4章 材料力学—弯曲内力
第四章 弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩§4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例1．实例()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轧板机的轧辊镗刀刀杆火车轮轴桥式起重机大梁4321 2．弯曲变形作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。
3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4．对称弯曲：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧曲线向对称面内的一条平面弯曲变形后轴线成为纵对称面内所有外力都作用于纵向称轴的纵向对称面整个杆件有一个包含对横截面有一根对称轴4321§4.2 受弯杆件的简化根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。
计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧悬臂梁外伸梁简支梁梁的基本形式321:l 称为梁的跨度§4.3 剪力和弯矩（1）求反力：BA AB F F 00=∑M =∑M（2）求内力（截面法）一般来说截面上有剪力F S 和弯矩M （为平衡）001=--=∑s A y F F F F1F F F A S -=（a ）()0010=⋅--+=∑x F a x F M M A()a x F x F M--=（b ）（3）讨论一般说，在梁的截面上都有剪力F S 和弯矩M ，从式（a ）式（b ）可以看出，在数值上，剪力F S 等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y 轴）上投影的代数和；弯矩M 等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==左左ni i ni iS M M F F 11 同理，取截面右侧部分为研究对象：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==右右ni i ni iS M M F F 11 （4）剪力F S 和弯矩M 符号规定无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力F S 和弯矩M ，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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第四章 弯曲内力
目录
§4.1 平面弯曲的概念 §4.2 梁的内力——剪力和弯矩 §4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4.4 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系及其应用 §4.5 平面刚架和曲杆的内力
§4.1平面弯曲的概念 1.产生弯曲变形的外力
Me
Me
当杆件受到垂直于杆轴线的外力(通常称为横向力)或外力 偶(外力偶的向量垂直于杆轴)作用时，杆件将主要发生弯 曲变形。
2
M 0
M
x
由此可以绘出剪力图和弯矩图
例4-9 绘图示梁的剪力图和弯矩图。 q 0.2kN / m
解：（1）求支反力
A
（2）分段写剪力方程和弯矩方程
x1
x2
AC段： FS (x1) 0.6 0.2x1 (0 x1 8)
8m
M
(
x1
)
0.6
x1
0.2 2
x12
(0 x1 8)
FA 0.6kN
（2）求各截面的剪力和弯矩
F
1-1截面： Fy 0 F Fs1 0
Fs1 F
MC1 0 M1 Fa 0
M1 Fa
1 M1
1 Fs1
例4-1 求图示外伸梁在1-1、2-2、3-3、4-4横截面上的的剪力和弯矩
2-2截面： Fy 0 FA F Fs2 0
F
M e 3Fa
FA
FB
ql 2
（2）写出剪力方程和弯矩方程为
FS
(x)
ql 2
qx
(0 x l)
A x
FA FS ql
l
B FB
M (x) qlx qx2 (0 x l)
2
x
22
ql
（3）绘剪力图和弯矩图
2
x 0时
FS
ql 2
M 0
x
x l时
FS
ql 2
x l时 2
FS 0
M 0
M ql 2 8
M
ql 2 8
例4-7 试列出图示简支梁的剪力方程和弯矩方程，并作出
剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
a Fb
A
B
FA
Fb l
FB
Fa l
xC x
（2）分段写出剪力方程和弯矩方程
AC段： FS
(x)
Fb l
(0 x a)
FA FS
l Fb
FB
M (x) Fbx
CB段：
l
(0 x a)
l
x
1
FA a 2 a 2 a
a
FD
FA qa , FD 2 qa
(2)用直接法求剪力和弯矩
1－1截面 FS1 FA qa
M1
FA
a 2
q 2
a2
2－2截面 FS 2 FA qa
M2
FA
a 2
Me
0
3－3截面
FS 3
FD qa
1 2
qa
M3
FD
a
1 2
qa2
0
例4-4 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为
q1
2q
M e qa2 F1 2qa
A a
F2 qa 1
B
a
a
a
(a)
解： FS1 F1 F2 qa 2qa
qa2 M1 F13a Me F2a 2
9 qa2 2
Ba
2
F2 qa
a
a
(b)
A a
FS2 F1 F2 qa 2qa qa2
M2 F13a Me F2a 2 9 qa2 2
（2）分段写出剪力方程和弯矩方程 FA
AC段： FS
(x)
Me l
(0 x a)
FS
l
FB
M
l
M (x) Mex l
CB段：
(0 x a)
x M eb
FS
(x)
Me l
(a x l)
l
M (x) Me l x (a x l)
l
x
（3）绘剪力图和弯矩图
Mea
M
l
集中力偶
y
F x
q0，试求C截面上的剪力和弯矩。
q0l
解： （1） 求支反力
MA 0
FBl
q0l 2
2l 3
0
MB 0
q0l 2
l 3
FAl
0
解得：
FA
q0l 6
FB
q0l 3
2l
2l
3
3
q0a
q0
l
A aC
B
l
（2） 求C截面上的剪力和弯矩
FA
FB
FS,C
FA
1 2
a
q0a l
q0l q0a2 6 2l
q0
2
x
x
2F
M
Me
x
C
练习： 3. 作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。
解： 剪力方程和弯矩方程为：
q
FS (x) q(l x) (0 x l) A x
M (x) qlx 1 ql 2 1 qx2
l
B
22
(0 x l)
FS ql
x 0时 FS ql
M ql 2 2
ql 2
x
x l时 FS 0
FB
Fa l
a
F b
m
取左： Fy 0, FA FS 0
A
MC 0, M FAx 0
x ml
得
Fb FS FA l
M
FA x
Fb l
x
FA y
Fs称为剪力，它是横截面上切向
分布内力的合力。
FS M
C
x
M称为弯矩，它是横截面上法向
分布内力的合力偶矩。
FA
ax F
取右： Fy 0
F
1 M1
1 Fs1
F
FA
M 4 Fs4 4
4
F
3 M3
3Fs3
FB
2 M2
FA 2Fs2
F
M e 3Fa
1 A2 3 4
B
1 2 34
a
a
a
FA 3F
FB 2F
Fs1 F Fs2 FA F Fs3 FA F
M1 Fa M2 Fa
M3 FA a F 2a
Fs4 FB 2F
FS
(
x)
Fa l
M (x) Fa (l x) l
(a x l)
(a x l)
Fa l
x
（3）绘剪力图和弯矩图
M
Fab
l
集中力
y x x
q
F qx
FS
F
x
例4-8 试列出图示简支梁的剪力方程和弯矩方程，并作出
剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
FA
Me l
FB
Me l
A
a
Me b
B
xC x
解：（1）求支反力
F
M e 3Fa
MB 0 FA 2a F 3a Me 0
1 A2 3 4
B
FA 3F
1 2 34
M A 0 FB 2a F a Me 0
a
a
a
FB 2F
FA
FB
校核： Fy 0 FA F FB 3F F 2F 0 (支反力计算正确)
A
FA
q B
包括： 荷载： F、q、M e
支座反力： FA、FB FB
4.梁的类型
1、简支梁 一端为固定铰支座一端为活动铰支座。
2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
4、中间铰梁 5、超静定梁 支座反力的个数多于平衡方程的个数
§4.2 梁的内力——剪力和弯矩
Fb FA l
D
B
C
Fy 0 FB FA F 0
0.5l 0.5l
l
FA
FB
解得： FA 2F, FB 3F
（2）计算D、B右截面的剪力和弯矩
FS,D FA 2F
FS,B右 F
M D FA 0.5l Me 0
M B右 Fl
2. 求图示(a)、(b)两种结构中指定截面的剪力和弯矩。
F1 2qa M e qa2
q(x)
d 2M (x) dFS (x) q(x)
dx2
dx
(3)
dFS (x) q(x) dx
(1)
dM (x) dx
CB段： FS (x2 ) 0.6 0.2x2 (8 x2 10) FS / kN
M
( x2
)
0.6x2
0.2 2
x22
4
(8 x2 10)
0.6 3m
（3）作剪力图和弯矩图
x1 0
FS 0.6kN M 0
x1 8
FS 1.0kN M 1.6kN m
x2 8
FS 1.0kN M 2.4kN m
§4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
由前面的例题可以看出，在一般情况下，梁横截面上的剪 力和弯矩是随横截面的位置而变化的。
若沿梁轴方向选取x坐标表示横截面位置，则梁的各横 截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即
FS FS (x)
剪力方程
M M (x)
弯矩方程
为能一目了然地看出梁的各横截面上的剪力和弯矩随截面 位置而变化的情况，可仿照轴力图和扭矩图的作法，会出剪力 和弯矩图。
变形特点：（1）直杆的轴线变弯；（2）任意两横截面绕垂 直于杆轴的轴作相对转动。
目录
§4.1 平面弯曲的概念 §4.2 梁的内力——剪力和弯矩 §4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4.4 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系及其应用 §4.5 平面刚架和曲杆的内力
§4.1平面弯曲的概念 1.产生弯曲变形的外力
Me
Me
当杆件受到垂直于杆轴线的外力(通常称为横向力)或外力 偶(外力偶的向量垂直于杆轴)作用时，杆件将主要发生弯 曲变形。
2
M 0
M
x
由此可以绘出剪力图和弯矩图
例4-9 绘图示梁的剪力图和弯矩图。 q 0.2kN / m
解：（1）求支反力
A
（2）分段写剪力方程和弯矩方程
x1
x2
AC段： FS (x1) 0.6 0.2x1 (0 x1 8)
8m
M
(
x1
)
0.6
x1
0.2 2
x12
(0 x1 8)
FA 0.6kN
（2）求各截面的剪力和弯矩
F
1-1截面： Fy 0 F Fs1 0
Fs1 F
MC1 0 M1 Fa 0
M1 Fa
1 M1
1 Fs1
例4-1 求图示外伸梁在1-1、2-2、3-3、4-4横截面上的的剪力和弯矩
2-2截面： Fy 0 FA F Fs2 0
F
M e 3Fa
FA
FB
ql 2
（2）写出剪力方程和弯矩方程为
FS
(x)
ql 2
qx
(0 x l)
A x
FA FS ql
l
B FB
M (x) qlx qx2 (0 x l)
2
x
22
ql
（3）绘剪力图和弯矩图
2
x 0时
FS
ql 2
M 0
x
x l时
FS
ql 2
x l时 2
FS 0
M 0
M ql 2 8
M
ql 2 8
例4-7 试列出图示简支梁的剪力方程和弯矩方程，并作出
剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
a Fb
A
B
FA
Fb l
FB
Fa l
xC x
（2）分段写出剪力方程和弯矩方程
AC段： FS
(x)
Fb l
(0 x a)
FA FS
l Fb
FB
M (x) Fbx
CB段：
l
(0 x a)
l
x
1
FA a 2 a 2 a
a
FD
FA qa , FD 2 qa
(2)用直接法求剪力和弯矩
1－1截面 FS1 FA qa
M1
FA
a 2
q 2
a2
2－2截面 FS 2 FA qa
M2
FA
a 2
Me
0
3－3截面
FS 3
FD qa
1 2
qa
M3
FD
a
1 2
qa2
0
例4-4 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为
q1
2q
M e qa2 F1 2qa
A a
F2 qa 1
B
a
a
a
(a)
解： FS1 F1 F2 qa 2qa
qa2 M1 F13a Me F2a 2
9 qa2 2
Ba
2
F2 qa
a
a
(b)
A a
FS2 F1 F2 qa 2qa qa2
M2 F13a Me F2a 2 9 qa2 2
（2）分段写出剪力方程和弯矩方程 FA
AC段： FS
(x)
Me l
(0 x a)
FS
l
FB
M
l
M (x) Mex l
CB段：
(0 x a)
x M eb
FS
(x)
Me l
(a x l)
l
M (x) Me l x (a x l)
l
x
（3）绘剪力图和弯矩图
Mea
M
l
集中力偶
y
F x
q0，试求C截面上的剪力和弯矩。
q0l
解： （1） 求支反力
MA 0
FBl
q0l 2
2l 3
0
MB 0
q0l 2
l 3
FAl
0
解得：
FA
q0l 6
FB
q0l 3
2l
2l
3
3
q0a
q0
l
A aC
B
l
（2） 求C截面上的剪力和弯矩
FA
FB
FS,C
FA
1 2
a
q0a l
q0l q0a2 6 2l
q0
2
x
x
2F
M
Me
x
C
练习： 3. 作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。
解： 剪力方程和弯矩方程为：
q
FS (x) q(l x) (0 x l) A x
M (x) qlx 1 ql 2 1 qx2
l
B
22
(0 x l)
FS ql
x 0时 FS ql
M ql 2 2
ql 2
x
x l时 FS 0
FB
Fa l
a
F b
m
取左： Fy 0, FA FS 0
A
MC 0, M FAx 0
x ml
得
Fb FS FA l
M
FA x
Fb l
x
FA y
Fs称为剪力，它是横截面上切向
分布内力的合力。
FS M
C
x
M称为弯矩，它是横截面上法向
分布内力的合力偶矩。
FA
ax F
取右： Fy 0
F
1 M1
1 Fs1
F
FA
M 4 Fs4 4
4
F
3 M3
3Fs3
FB
2 M2
FA 2Fs2
F
M e 3Fa
1 A2 3 4
B
1 2 34
a
a
a
FA 3F
FB 2F
Fs1 F Fs2 FA F Fs3 FA F
M1 Fa M2 Fa
M3 FA a F 2a
Fs4 FB 2F
FS
(
x)
Fa l
M (x) Fa (l x) l
(a x l)
(a x l)
Fa l
x
（3）绘剪力图和弯矩图
M
Fab
l
集中力
y x x
q
F qx
FS
F
x
例4-8 试列出图示简支梁的剪力方程和弯矩方程，并作出
剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
FA
Me l
FB
Me l
A
a
Me b
B
xC x
解：（1）求支反力
F
M e 3Fa
MB 0 FA 2a F 3a Me 0
1 A2 3 4
B
FA 3F
1 2 34
M A 0 FB 2a F a Me 0
a
a
a
FB 2F
FA
FB
校核： Fy 0 FA F FB 3F F 2F 0 (支反力计算正确)
A
FA
q B
包括： 荷载： F、q、M e
支座反力： FA、FB FB
4.梁的类型
1、简支梁 一端为固定铰支座一端为活动铰支座。
2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
4、中间铰梁 5、超静定梁 支座反力的个数多于平衡方程的个数
§4.2 梁的内力——剪力和弯矩
Fb FA l
D
B
C
Fy 0 FB FA F 0
0.5l 0.5l
l
FA
FB
解得： FA 2F, FB 3F
（2）计算D、B右截面的剪力和弯矩
FS,D FA 2F
FS,B右 F
M D FA 0.5l Me 0
M B右 Fl
2. 求图示(a)、(b)两种结构中指定截面的剪力和弯矩。
F1 2qa M e qa2
q(x)
d 2M (x) dFS (x) q(x)
dx2
dx
(3)
dFS (x) q(x) dx
(1)
dM (x) dx
CB段： FS (x2 ) 0.6 0.2x2 (8 x2 10) FS / kN
M
( x2
)
0.6x2
0.2 2
x22
4
(8 x2 10)
0.6 3m
（3）作剪力图和弯矩图
x1 0
FS 0.6kN M 0
x1 8
FS 1.0kN M 1.6kN m
x2 8
FS 1.0kN M 2.4kN m
§4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
由前面的例题可以看出，在一般情况下，梁横截面上的剪 力和弯矩是随横截面的位置而变化的。
若沿梁轴方向选取x坐标表示横截面位置，则梁的各横 截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即
FS FS (x)
剪力方程
M M (x)
弯矩方程
为能一目了然地看出梁的各横截面上的剪力和弯矩随截面 位置而变化的情况，可仿照轴力图和扭矩图的作法，会出剪力 和弯矩图。
变形特点：（1）直杆的轴线变弯；（2）任意两横截面绕垂 直于杆轴的轴作相对转动。