常微分方程课程设计指导书

第4章 线性多步法

4.1 线性多步法的一般公式

前面给出了求解初值问题(1.2.1)的单步法，其特点是计算 时只用到

的值，此时 的值均已算出.如果在计算 时除用 的值外，

还用到

的值，这就是多步法.若记

,h 为步长，

，则线性多步法可表示为

(4.1.1)

其中

为常数，若

(即不同时为零)，称(4.1.1)为线性k 步

法.计算时用到前面已算出的k 个值.当

时，(4.1.1)为显

式多步方法，当则称(4.1.1)为隐式多步法.隐式方法与梯形方法一样，计算时要用迭代法求

.多步法(4.1.1)的局部截断误差定义也与单步法类似.

举例来说，对于初值问题'1,y y x =-++(0)1y =，步数k=2时，线性多步法表示为

101111011(), 1,2,

n n n n n n y y y h f f f n ααβββ+--+-=++++=

当

时，格式为显示的：

10110111[(1)(1], 1,2,

n n n n n n n y y y h y x y x n ααββ+---=++-+++-++=，

而

时，格式为隐式的：

10111110111[(1)(1)(1], 1,2,n n n n n n n n n y y y h y x y x y x n ααβββ+--++--=++-+++-+++-++=。

定义4.1 设y(x)是初值问题(1.2.1)的精确解，线性多步法(4.1.1)在处的局部截断误差定义为

(4.1.2)

若，则称线性多步法(4.1.1)是p阶的.

如果我们希望得到的多步法是p阶的，则可利用Taylor公式展开，将在处展开到阶，它可表示为

(4

.1.3)注意，(4.1.2)式按Taylor展开可得

经整理比较系数可得

(4.1.4)

若线性多步法(4.1.1)为p阶，则可令

于是得局部截断误差

(4.1.5)

右端第一项称为局部截断误差主项.称为误差常数.要使多步法(4.1.1)逼近初值问题(1.2.1),方法的阶p≥1,当p=1时，则，由(4.1.4)得

(4.1.6)称为相容性条件.

公式(4.1.1)当k=1时即为单步法，若,由(4.1.6)则得

式(4.1.1)就是，即为Euler法.此时，方法为p=1

阶.若，由得,为确定及，必须令,由(4.1.4)得

及

即为梯形法.

此时(4.1.1)就是

,

由

故p=2,方法是二阶的，与3.1节中给出的结果相同.

实际上，当k给定后，则可利用(4.1.4)求出公式(4.1.1)中的系数及，并求得的表达式(4.1.5).

4.2 Adams显式与隐式方法

形如

(4.2.1)

的k步法称为 Adams 方法，当时为 Adams 显式方法，当时，称为Adams隐式方法.

对初值问题(1.2.1)的方程两端从到积分得

显然只要对右端的积分用插值求积公式，求积节点取为即可推出形如(4.2.1)的多步法，但这里我们仍采用Taylor展开的方法直接确定(4.2.1)的系数.对比(4.1.1)可知，此时

，只要确定即可.现在若k=4且，即为4步的Adams显式方法

其中为待定参数，若直接用(4.1.4)，可知此时

自然成立，再令可得

解此方程组得

.

由此得到

于是得到四阶Adams显式方法及其余项为

(4.2.2)

(4.2.3)

若，则可得到p=4的Adams隐式公式，则k=3并令

，由(4.1.4)可得

解得，而

，于是得到四阶Adams隐式方法及余项为

(4.2.4)

(4.2.5)

一般情形，k步Adams显式方法是k阶的，k=1即为Euler法，k=2为

k=3时，.

k步隐式方法是(k+1)阶公式，k=1为梯形法，k=2为三阶隐式Adams公式

k步的Adams方法计算时必须先用其他方法求出前面k个初值才能按给定公式算出后面各点的值，它每步只需计算一个新的f值，计算量少，但改变步长时前面的也要跟着重算，不如单步法简便.

例4.1 用四阶显式Adams方法及四阶隐式Adams方法解初值问题

,步长h=0.1

用到的初始值由精确解计算得到.

解本题直接由公式(4.2.2)及(4.2.4)计算得到.对于显式方法，将

直接代入式(4.2.2)得到

其中.

对于隐式方法，由式(4.2.4)可得到

直接求出，而不用迭代，得到

计算结果如表所示.

表4-1 Adams方法和Adams隐式方法的数值解与精确解比较

4.3 Adams预测-校正方法

上述给出的Adams显式方法计算简单，但精度比隐式方法差，而隐式方法由于每步要做迭代，计算不方便.为了避免迭代，通常可将同阶的显式Adams方法与隐式Adams方法结合，组成预测-校正方法.以四阶方法为例，可用显式方法

(4.2.2)计算初始近似，这个步骤称为预测(Predictor)，以P表示，接着计

算f值(Evaluation),，这个步骤用E表示，然后用隐式公式(4.2.4)计算，称为校正(Corrector)，以C表示，最后再计算

，为下一步计算做准备.整个算法如下：

(4.3.1)

公式(4.3.1)称为四阶Adams预测-校正方法(PECE).

其matlab程序如下

function y = DEYCJZ_adms(f, h,a,b,y0,varvec,type)

format long;

N = (b-a)/h;

y = zeros(N+1,1);

x = a:h:b;

y(1) = y0;

y(2) = y0+h*Funval(f,varvec,[x(1) y(1)]);

y(3) = y(2)+h*Funval(f,varvec,[x(2) y(2)]);

y(4) = y(3)+h*Funval(f,varvec,[x(3) y(3)]);

for i=5:N+1

v1 = Funval(f,varvec,[x(i-4) y(i-4)]);

v2 = Funval(f,varvec,[x(i-3) y(i-3)]);

v3 = Funval(f,varvec,[x(i-2) y(i-2)]);

v4 = Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);

t = y(i-1) + h*(55*v4 - 59*v3 + 37*v2 - 9*v1)/24;

ft = Funval(f,varvec,[x(i) t]);

y(i) = y(i-1)+h*(9*ft+19*v4-5*v3+v2)/24;

end

format short;