第1章 绪论_数学基础
第一章 绪论--数学的地位与作用
[14]秦寿康等,综合评价原理与应用,电子工业
出版社,2003 [15]郭亚军,综合评价理论与方法,科学出版 社,2002 [16]胡永辉,贺思辉,综合评价方法,科学出版 社,2000 [17]孙建军,成颖主编,定量分析方法,南京大 学出版社,2005 [18]马庆国,管理统计--数据获取、统计原理、 SPSS工具与应用研究，科学出版社，2003 [19]李怀祖，管理研究方法论（第二版），西 安交通大学出版社，2004
结束语:100％ 的意义…
从严格的数学意义来看，100％等 于什么？怎么达 Nhomakorabea100%呢？
请看看下面的这组公式，它们会
帮助我们找到答案！
如果：
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T
UVWXYZ 代表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26.
如果： H-A-R-D-W-O- R- K 认真工作 8+1+18+4+23 + 15+18+11 = 98% 同时： K-N-O-W-L-E- D-G-E 知识
11+14+15+23+ 12+5+4+7+ 5 = 96%
但是： A-T-T-I-T-U- D-E 态度
6、数学是人类文明的重要组成部分，数学是一 种文化 哈佛大学数学物理教授Arthur Jaffe:
人们可以把数学对我们社会的贡献比喻为空气和食物对 生命的作用。
领会数学的理性精神、掌握数学思想方法、养成 数学思维习惯，学会“数学地”思考和理解问题 英国苏格兰北部大草原的乌金般的黑羊群----文学 家的形象思维（联想和想象）、物理学家的直 觉思维（实验验证）、数学家的逻辑思维（逻 辑推理） 从唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》（白日依山尽， 黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼）到 1999年数学教师范春来的“欲穷千里目，须上 四千九百层楼”
形式语言
第一章 绪论 1. 数学基础知识与表示
集合 子集 真子集 集合S的幂集2S 集合S中元素的个数|S| |2S| = 2|S|
集合S1,S2,…,Sn的笛卡儿积 S1S2 … Sn ={(a1,a2,…,an): aiSi,i=1,..,n} 函数f: S1S2是S1到S2的一个对应规则, 每一个 xS1对应的像f(x)总是唯一的。 S1S2的任意一个子集都称为关系。因此在一个关 系中，可能存在两个元素(x,y1),(x,y2), y1y2,
2
2. 证明方法 1) 演绎证明
从已知命题或事实出发，根据正确的逻辑推理， 最终推出结果命题。
2) 归纳证明 3) 反证法
若A 则B 若非B 则非A 4) 反例证法（用于否定一个命题）
例 证明 2 不是有理数.
3
3. 几个基本概念 1）字母表— 有穷个符号的非空集合.
语言L— 某字母表上的一个字符串集合. 2）字符串运算: 连接, 逆 3）字符串的子串、前缀、后缀
空串 字符串w的长度|w| 4）记wn=w….w (n个w的连接)， w0= 5）记*为字母表上的所有字符串的集合，则 *，且上的任一语言L是*的子集。 语言L中的任一字符串都称为此语言的一个句子。
4
6）语言的运算 两语言的并、交、差（即集合间的并交差）
语言的逆 LR={wR: wL} 两语言的连接 L1L2={w1w2: w1L1, w2L2} 7) 语言L的闭包 记Ln=L….L (n个L的连接)， L0={}，定义
星闭包 L*= L0 L1 L2 …… 正闭包 L+= L1 L2 ……
5
初中数学基础知识及经典题型完整版(实用的中考专题复习指导书)
综合知识讲解目录第一章绪论11.1初中数学的特点11.2怎么学习初中数学21.3如何去听课51.4几点建议6第二章应知应会知识点72.1代数篇72.2几何篇11第三章例题讲解17第四章兴趣练习294.1代数部分294.2几何部分45第五章复习提纲50第一章绪论1.1初中数学的特点１．２．３．４．５．６．７．８．９．１０．１１．１２．１３．１４．１５．１６．1.2怎么学习初中数学1，培养良好的学习兴趣。
两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。
“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。
兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。
在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。
那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。
（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。
听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。
（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。
（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？（5）把概念回归自然。
所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。
只有回归现实才能对概念的理解切实可*，在应用概念判断、推理时会准确。
2，建立良好的学习数学习惯。
习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。
建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。
高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。
《控制工程基础》电子教案
《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍了解控制工程的概念、内容和研究方法理解控制工程在工程实践中的应用和重要性1.2 控制系统的基本概念定义系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统1.3 控制工程的目标掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性学习控制系统的设计方法和步骤第二章：数学基础2.1 线性代数基础掌握向量、矩阵和行列式的基本运算学习线性方程组和特征值、特征向量的求解方法2.2 微积分基础复习极限、连续性和微分、积分的基本概念和方法应用微积分解决实际问题2.3 复数基础了解复数的概念、代数表示法和几何表示法学习复数的运算规则和复数函数的性质第三章：控制系统分析3.1 传递函数定义传递函数的概念和性质学习传递函数的绘制和解析方法3.2 频率响应分析理解频率响应的概念和特点应用频率响应分析方法评估系统的性能3.3 根轨迹分析掌握根轨迹的概念和绘制方法分析根轨迹对系统稳定性的影响第四章：控制系统设计4.1 控制器设计方法学习PID控制器的设计原理和方法了解模糊控制器和神经网络控制器的设计方法4.2 控制器参数调整掌握控制器参数调整的目标和方法应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整4.3 系统校正和优化理解系统校正的概念和目的学习常用校正方法和优化技术第五章：现代控制理论5.1 状态空间描述了解状态空间的概念和表示方法学习状态空间方程的求解和状态反馈控制5.2 状态估计和最优控制掌握状态估计的概念和方法学习最优控制的目标和求解方法5.3 鲁棒控制和自适应控制理解鲁棒控制的概念和特点了解自适应控制的设计方法和应用场景第六章：线性系统的稳定性分析6.1 稳定性的定义和性质理解系统稳定性的概念和重要性学习稳定性分析的基本方法6.2 劳斯-赫尔维茨准则掌握劳斯-赫尔维茨准则的原理和应用应用劳斯-赫尔维茨准则判断系统的稳定性6.3 李雅普诺夫方法了解李雅普诺夫方法的原理和分类学习李雅普诺夫第一和第二方法判断系统的稳定性第七章：线性系统的控制器设计7.1 控制器设计概述理解控制器设计的目标和重要性学习控制器设计的基本方法7.2 PID控制器设计掌握PID控制器的设计原理和方法应用PID控制器进行系统控制7.3 状态反馈控制器设计了解状态反馈控制器的设计原理和方法学习状态反馈控制器的设计和应用第八章：非线性控制系统分析8.1 非线性系统概述理解非线性系统的概念和特点学习非线性系统分析的基本方法8.2 非线性系统的描述方法学习非线性系统的数学模型和描述方法应用非线性系统分析方法研究系统的性质8.3 非线性控制系统的应用了解非线性控制系统在工程实践中的应用学习非线性控制系统的设计和优化方法第九章：鲁棒控制理论9.1 鲁棒控制概述理解鲁棒控制的概念和重要性学习鲁棒控制的基本方法9.2 鲁棒控制设计方法掌握鲁棒控制设计的原则和方法应用鲁棒控制设计方法设计控制器9.3 鲁棒控制在控制系统中的应用了解鲁棒控制在实际控制系统中的应用学习鲁棒控制在控制系统中的设计和优化方法第十章：控制系统仿真与实验10.1 控制系统仿真概述理解控制系统仿真的概念和重要性学习控制系统仿真的基本方法10.2 MATLAB控制系统仿真掌握MATLAB控制系统仿真工具的使用应用MATLAB进行控制系统仿真和分析10.3 控制系统实验了解控制系统实验的目的和重要性学习控制系统实验的方法和技巧重点和难点解析重点环节1：控制系统的基本概念和特性控制系统的基本概念，包括系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性重点环节2：传递函数和频率响应分析传递函数的概念和性质，传递函数的绘制和解析方法频率响应的概念和特点，频率响应分析方法分析根轨迹对系统稳定性的影响重点环节3：控制器设计方法和参数调整控制器设计方法，包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器的设计原理和方法控制器参数调整的目标和方法，应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整重点环节4：状态空间描述和最优控制状态空间的概念和表示方法，状态空间方程的求解和状态反馈控制状态估计和最优控制的目标和求解方法重点环节5：非线性控制系统分析和鲁棒控制理论非线性系统的概念和特点，非线性系统分析的基本方法鲁棒控制的概念和重要性，鲁棒控制的基本方法重点环节6：控制系统仿真与实验控制系统仿真的概念和重要性，控制系统仿真的基本方法MATLAB控制系统仿真工具的使用，应用MATLAB进行控制系统仿真和分析控制系统实验的目的和重要性，控制系统实验的方法和技巧全文总结和概括：本教案涵盖了控制工程基础的十个章节，主要包括控制系统的基本概念和特性、传递函数和频率响应分析、控制器设计方法和参数调整、状态空间描述和最优控制、非线性控制系统分析和鲁棒控制理论以及控制系统仿真与实验。
数学方法论第一章绪论
中国著名数学教育家、数学方法论专家 -----徐利治
第一讲
绪论
一、研究数学方法论的意义
促进数学发展 发挥数学的功能 改革数学教育 培养数学人才
二、数学方法论的定义及分类
1.方法、方法论和科学方法论
二、数学方法论的定义及分类
2.数学方法的分类
•具体方法 •一般方法 •数学思想方法
三、数学方法论的性质及研究对象
则有
1 1 1 1 1 1 b0 x2 2 x2 2 x2 2 0 1 2 n
即
x 2 x2 x2 0 b0 1 2 1 2 1 2 1 2 n
数学方法论
张龙军 909242428
日本数学家、数学教育家米山国藏指出：
“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所
学到的数学知识，因而这种作为知识的数学， 通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然
而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头
脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在 他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”
x x x 1 2 1 2 1 2 2 0 4 n 比较这个方程与方程（**） x2项的系数，
2 2 2
得出
1 1 1 1 2 2 2 6 2 3
于是有
对于这个结果，欧拉写道：“这种方法是新 的并且还来没有这样用过。” 欧拉又用这种方法重新发现了著名的莱布尼 兹级数的和：
17 世纪以后，欧洲的数学摆脱了发展缓慢 的状态，这一“数学中的转折点是笛卡尔的变数 ，有了变数，运动进入数学，有了变数，辩证法 进入了数学。”（恩格斯语）在笛卡尔的解析几 何中“曲线是任何具体代数方程的轨迹”，这不 仅一下子扩充了数学的范围，而且为代数方法运 用到几何乃至整个数学铺平了道路。
新课标数学教学大纲(最新)
新课标数学教学大纲(最新)新课标数学教学大纲新课标数学教学大纲是指教育部对普通高中数学课程标准的解读，主要内容包括数学课程描述、课程目标、数学教学内容及要求、教学实施建议、教学评价和课程资源开发建议等。
该大纲的制定旨在全面贯彻教育方针，全面推进素质教育，培养具有创新精神和实践能力的人才。
数学模型教学大纲数学模型教学大纲第一章绪论1.1数学模型的概念1.2数学模型的历史和发展1.3数学模型的应用和意义第二章数学建模基础2.1数学建模的概念2.2数学建模的方法和步骤2.3数学建模的实践和应用第三章数学模型的应用3.1物理和工程中的应用3.2经济和社会中的应用3.3生命科学中的应用第四章数学建模的方法和步骤4.1问题定义和问题分析4.2假设和符号约定4.3模型建立和求解4.4模型检验和优化第五章数学模型的实践和应用5.1物理和工程中的实践和应用5.2经济和社会中的实践和应用5.3生命科学中的实践和应用第六章数学模型的评价和未来发展6.1数学模型的评价标准和方法6.2数学模型的未来发展和趋势6.3数学模型的学习和推广文科数学教学大纲文科数学教学大纲是指教育部对文科高等数学课程的教学内容、课程目标、学时分配等的教学指导文件。
以下是文科数学教学大纲的部分内容：1.课程性质：高等数学是高等学校文科类专业学生必修的一门公共基础课程。
本课程的任务是：使学生掌握微积分、线性代数、概率论与数理统计等基础知识，具备运算求解、数据处理和数据分析等基本技能，培养提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成数学思维和研究性学习的能力，为进一步学习专业课程和终身发展奠定基础。
2.课程目标：本课程的目标是：(1)理解微积分、线性代数、概率论与数理统计等基础知识，掌握相关的基本技能。
(2)形成运算求解、数据处理和数据分析等基本技能。
(3)培养提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成数学思维和研究性学习的能力。
(4)了解微积分、线性代数、概率论与数理统计等基础知识在解决实际问题中的应用，了解数学科学的发展历程及其在自然科学、经济和社会等方面的应用。
组合数学第一章绪论
绪论
问题 前文已提及。一个n阶幻方是由1、2、…、n2组成的方阵，其每行、每列以及两条对角线元素和都相等。 奇数阶幻方 因为n2个整数之和为n2(n2+1)/2，故每行之和（称为幻和）为n(n2+1)/2。
绪论
1.3 例：幻方
可见，不存在2阶幻方。因为其和为5，对1来说，同行（或列）只能为4，而对角线放2或3都不能使和为5。 当n为奇数时，有一种简单的构造方法。 1置1行中间； 顺序将各数置于右上方位置。若当前数位于1行n列或当前数的右上角已填入了其它数，则下一个数填在当前数下方；若当前数的右上方超出了矩阵，则下一个数循环填在另一侧。
绪论
涂色。将棋盘上b×b的块按下图所示方式涂色（颜色用数字表示）。
1
2
3
…
b-1
b
b
1
2
b-1
b-1
b
1
2
b-2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
绪论
现在，利用以上涂色规则将m×n棋盘涂色（图中假定b=4）。
1
2
3
4
4
1
2
3
3
4
1
2
2
3
4
1
1
2
3
4
4
1
2
3
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4
1
2
2
3
4
1
线性系统
• 推论 推论: 设矩阵 A ∈ R n×n 则对于一切 m ≥ n
Am 均可表示为
An −1 , An − 2 ,L A, I
的线性组合
1.4.3 矩阵的右既约分解
( sI − A) −1 B = N ( s ) D ( s ) −1
p 1 2 Vij = vij vij L vij ij
Fi = diag( Fi1 , Fi 2 ,L, Fiqi )
定理1.6.2
k vij N (si ) k 1 d k −1 N ( si ) 1 f +L + fij k = wij D( si ) ij (k − 1)! ds k −1 D(si )
0.2.4 线性系统理论的主要学派
主要学派 特点 代表人物
卡尔曼（ 卡尔曼（1960s） ）
状态空间 法 几何理论
最重要和影响最广的分支， 最重要和影响最广的分支，完整和成熟 的理论
把能控性和能观测性等结构特性表述为 不同的状态空间的几何性质 优点：简洁明了， 优点：简洁明了，避免大量矩阵运算 缺点：抽象， 缺点：抽象，需一定数学基础 把系统各组变量间的关系视为代数结构 之间的映射关系， 之间的映射关系，描述和分析转化为抽 象的的代数问题 频域设计方法： 化为SISO 频域设计方法：MIMO化为 化为
A ∈ R n× n , B ∈ R n× r
A − sI I n 0 B 0 Ir In 0 0 In 0n×r N ( s) * n×r Dr×r ( s ) * * * *
1.5.1 特征值的几何重数与代数重数
理论数学及其应用研究
理论数学及其应用研究第一章绪论理论数学是数学的一个重要分支，也是数学领域中最为基础的一部分。
它主要研究数学中的概念、规律和定理等，具有很强的抽象性和推理性质，是各个领域中所必不可少的基础理论。
同时，理论数学也是应用数学的基础，很多应用数学问题都需要通过理论数学的研究来获得解决。
本文主要介绍理论数学及其在实际应用中的重要作用。
第二章理论数学基础理论数学的基础包括数论、集合论、代数学和几何学等。
这些基础中最重要的应该是数论与集合论，其中数论讨论了整数和有理数的一些基本性质和规律，而集合论则研究了任何数学对象都可以抽象为一个集合，并且通过运用集合运算来研究数学中各种对象之间的关系。
在这些基础中，代数学和几何学则分别是代数和几何形式化的、抽象的和普遍的表达。
它们的目的是分别研究在代数和几何上的不同属性，并且确保这些属性之间的关系不会互相冲突。
第三章理论数学的应用理论数学在实际应用中非常重要，应用领域涉及自然科学、社会科学、经济和金融等各个领域。
下面将以几个具体的实例来介绍理论数学的应用：3.1 费马大定理费马大定理是数论中的一个重要定理，提出了当整数n大于2时，关于x，y和z的方程x^n + y^n = z^n没有正整数解的问题。
当时二十多年的时间由不同人共同参与，这一问题得到了汇总的通解。
其中，最为著名的就是英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了这个定理，采用了一种名为“未来的数学”的方法，其所得出的证明方式被许多人认为是最相近最接近费马所想的。
3.2 图论图论是数学的一个分支，它主要研究各种图形和它们的性质，在现代应用中非常重要。
例如，在计算机网络上，图与图算法可以被用来优化网络的设计和管理，从而提高网络性能和安全性。
3.3 线性代数线性代数是数学的一个分支，它主要研究线性方程组和线性变换。
在实际应用中，线性代数常常被用来解决各种矩阵的多变量和方程组问题。
例如，在工程学、金融和计算机科学领域，线性方程组解码和矩阵处理被广泛应用。
《中学数学教学论期末复习资料》
《中学数学教学论期末复习资料》1.绪论一、中学数学教学论的研究对象与任务该课程起源于近代师范教育的产生。
1919年秋，陶行知先生提出以“教学法”代替“教授法”，此举为政府所接受。
总的研究对象仍然是“数学教学”，主要任务仍然是解决“教什么”与“如何教”的问题，当然也涉及“为什么教”和“教给谁”的问题。
中学数学教学论主要从教师角度来研究数学教学过程。
其研究任务可划分为三个方面：1)数学教学的理论基础，主要解决数学教学为什么教，教给什么样的对象，教什么样的内容三个问题；2)具体数学活动的教学；3)数学教师的日常工作。
中学数学教学论的特点1)中学数学教学论是一门具有高度综合性的独立的学科；2)中学数学教学论与实践的关系十分直接；3)中学数学永远处于发展的过程之中。
中学数学教学论的学习方法1)必须广泛地学习并运用有关学科的知识和方法；2)理论联系实际；3)开展实验研究。
第一章中学数学教学论的课程基础研究中学数学课程目标的依据1)国家的教育方针和基础教育的任务；2)数学的特点和作用；3)学生的认知和心理特征。
我国社会主义建设时期的教育方针是，教育必须为社会主义现代化服务，必须同生产劳动相结合，培养德智体全面发展的建设者和接班人。
按照我国的规定，基础教育包括九年制义务教育和后续的高中教育。
数学活动实质上就是数学思维活动。
数学思维活动的三个特点1)思维对象的抽象性以及思维过程中抽象方法的特殊性；2)严谨性与非严谨性的结合；3)自然语言与符号语言相结合。
根据皮亚杰的研究，青少年思维的发展经历了感知运动，前运算，具体运算和形式运算四个阶段。
义务教育阶段数学课程目标分为三个层次：总体目标，学段目标，各大快数学内容的具体目标。
高中数学课程的总目标是，使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必需的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
影响中学数学课程内容的因素1)社会方面的因素；2)数学本身的因素；3)教育方面的因素。
高等数学第一章第二章总结
高等数学第一章第二章总结1 第一章：绪论第一章是高等数学的绪论，其中介绍了数学的定义、作用、历史及其发展等。
在第一章中，数学是定量和定性研究物质及其结构、关系及运动规律的科学。
它由实数、整数、有理数、分数和平面几何等基本概念组成，用各种计算、逻辑推理及分析等方法来描述客观的现象或思想的抽象模型，从而得出准确的结果。
另外，数学涉及到它在科学、技术、社会、文化等方面的应用，它是社会发展的基础。
数学发展史从古代有算术、代数、几何等学科，逐渐发展至近代以及现代，学科不断壮大，研究的领域越来越广泛，涉及到人类生活的方方面。
2 第二章：初等数学第二章主要介绍初等数学，包括数论、向量运算、数列和统计等。
数论是计算数值的研究，它涉及到质数分解、最大公约数、最小公倍数、随机数等概念，数论在正文、加密等方面有广泛的应用。
向量运算是向量和向量、向量和物体之间的运算关系，它包括线性组合、内积、外积等，向量运算在物理、声学、飞行、机器人等领域有着重要的用途。
数列是按数次递增或递减的数值序列，它包括等差数列和等比数列，比如阶乘及斐波那契数列，它们能够描述物理几何尺寸及次序关系，有着极为广泛的应用。
最后，统计是从测量、计数、比较等不同数据中抽象出的概念，它包括平均数、标准差、概率分布等，是综合应用概率论、数理逻辑及数学知识。
统计学主要用来分析和预测人们的意见、举措等，对于改进社会的规划、预防未来的决策都有着重要意义。
综上所述，第一章绪论介绍了数学的定义、作用、历史及其发展，第二章介绍了初等数学，包括数论、向量运算、数列和统计等，它们都是数学学科中非常重要的知识。
01_handout_绪论
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今天，代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。例如 整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结 构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什 么”这样的问题并不关心。实际上，数学上重要的并不是对象，而 是对象间的关系。例如几何可以看成是图形的代数，而代数也不外 是符号的几何。故此，代数被定义为对各种集合的元素施行代数运 算的科学（有点语义重复，初学者可能莫名其妙） 。而代数结构， 即定义有代数运算的集合（例如：群、环、域、线性空间、代数等 等） ，成为代数学研究的主体。 ——抽象代数（近世代数）
崔建伟 (华中科大物理学院) 数学物理基础
J
-W ian
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March 29, 2013 10 / 27
教材和参考书
线性代数工科教材多，适合理科的不多。教材：
《大学数学》上下册，陈仲等编著，南京大学出版社 1998。
《线性代数》第三版，华中科技大学数学系，刘先忠，杨明编著， 高教出版社。 参考书：
J
线性代数三大块：行列式、矩阵、线性空间。核心在线性空间（与 工科数学的区别） 。
-W ian
数学物理基础
ui iC e
March 29, 2013 7 / 27
崔建伟 (华中科大物理学院)
线性代数的历史
行列式出现于线性方程组的求解。一元多次方程求解发展出群论， 进而发展出抽象代数；多元一次方程（线性方程组）求解发展出行 列式、矩阵等。 矩阵这个概念在诞生之前就发展地很好了。矩阵的基本性质是在行 列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概 念，但在历史上次序正相反。这就是为什么在矩阵引进的时候它的 基本性质就已经清楚了的原因。 线性空间：起源于三维向量分析，物理学家的创造。数学上起源于 四元数，但与之分裂（后者发展出超复数——费米场量子化） 。
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案第一章：绪论1.1 课程简介介绍《现代控制理论》的课程背景、意义和目的。
解释控制理论在工程、科学和工业领域中的应用。
1.2 控制系统的基本概念定义控制系统的基本术语，如系统、输入、输出、反馈等。
解释开环系统和闭环系统的区别。
1.3 控制理论的发展历程概述控制理论的发展历程，包括经典控制理论和现代控制理论。
介绍一些重要的控制理论家和他们的贡献。
第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算。
介绍矩阵的特殊类型，如单位矩阵、对角矩阵和反对称矩阵。
2.2 微积分基础复习微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
介绍微分方程和微分方程的解法。
2.3 复数基础介绍复数的基本概念，如复数代数表示、几何表示和复数运算。
解释复数的极坐标表示和欧拉公式。
第三章：控制系统的基本性质3.1 系统的稳定性定义系统的稳定性，并介绍判断稳定性的方法。
解释李雅普诺夫理论在判断系统稳定性中的应用。
3.2 系统的可控性定义系统的可控性，并介绍判断可控性的方法。
解释可达集和可观集的概念。
3.3 系统的可观性定义系统的可观性，并介绍判断可观性的方法。
解释观测器和状态估计的概念。
第四章：线性系统的控制设计4.1 状态反馈控制介绍状态反馈控制的基本概念和设计方法。
解释状态观测器和状态估计在控制中的应用。
4.2 输出反馈控制介绍输出反馈控制的基本概念和设计方法。
解释输出反馈控制对系统稳定性和性能的影响。
4.3 比例积分微分控制介绍比例积分微分控制的基本概念和设计方法。
解释PID控制在工业控制系统中的应用。
第五章：非线性控制理论简介5.1 非线性系统的特点解释非线性系统的定义和特点。
介绍非线性系统的常见类型和特点。
5.2 非线性控制理论的方法介绍非线性控制理论的基本方法，如反馈线性化和滑模控制。
解释非线性控制理论在实际应用中的挑战和限制。
5.3 案例研究：倒立摆控制介绍倒立摆控制系统的特点和挑战。
解释如何应用非线性控制理论设计倒立摆控制策略。
计算方法_第一章_绪论
第一章绪论1.1 "数值分析"研究对象与特点"数值分析"是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法.因此，"数值分析"内容十分广泛.但本书作为"数值分析"基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等.这些都是计算数学中最基础的内容.近几十年来由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点.现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学.计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科--计算数学.当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相成、互相促进的.计算方法的发展启发了新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求.例如为在计算机上求解大规模的计算问题、提高计算效率，诞生并发展了并行计算机.自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程，与此同时，涌现了许多新概念、新课题和能充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法，这就构成了现代意义下的计算数学.这也是数值分析的研究对象与特点.概括地说，数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.具体说就是：第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法，即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.第二，要有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散化及离散型方程数值求解.有关基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性.第三，要有良好的复杂性及数值试验，计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少).对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"数值分析"中介绍的Gauss消去法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性.当然有很多数值方法不可能事先知道其计算量，故对所有数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性.本课程虽然只着重介绍数值方法及其理论，一般不涉及具体的算法设计及编程技巧，但作为基本要求仍希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，它对加深算法的理解是很有好处的.讲解：（1）计算数学是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现，"数值分析"是计算数学的主要部分。
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四、线性系统理论的主要学派
线性系统的状态空间法（时域法） ——状态方程和输出方程：输入变量、状态变量、 输出变量间关系的向量方程。 数学基础：线性代数 分析综合：矩阵运算和矩阵变换 线性系统的几何理论 ——对线性系统的研究化为状态空间中的几何问题 数学基础：几何形式的线性代数 能控性和能观性：不同状态子空间的几何性质 优点:简单明了,不用矩阵运算;结果容易化成相应 的矩阵运算
三、多项式矩阵 如果m×n阶矩阵A(s)的所有元素aij=aij(s)均为变 量s的实系数多项式，则称A(s)为一个关于s的m×n阶 实数域上的多项式矩阵，其全体记为 : R s
mn
基本概念 一个m×n阶的多项式矩阵A(s)具有下述一般表示
As Ai s i Ai1 s i1 Ai s A0
说，给出了一种法则，对于V中任意两个元素x和y，在 V中都有唯一的一个元素z与它们对应，称z为x与y的和, 记为z=x+y。在数域P与集合V的元素之间还定义了一 种运算，叫做乘法；这就是说对于数域P中任意一个数 k与V中的任意一个元素x，在V中都有唯一的元素h与 它们相对应，称h为k与x的数量乘积，记为h=kx。如 果加法与数量乘法均满足各自的运算规则，那么，V为 数域P上的线性空间。
情形Ⅰ 将多项式矩阵A(s)的i,j两行互换,得多项式矩阵 A1(s)。这一过程可通过矩阵 其中
1 1 0 1 P i , j 1 1 1 1
i i 2 i
T 2 n1
推论: 设矩阵 A R
nn
具有互异特征值，则有
Ac Pdiag1 , 2 ,, n P 1
其中，矩阵P为Vendermonde矩阵。 定理: 友矩阵可逆的充要条件是 a 0 ，且
0
A
c 1
a1 / a0 1 0 0
x y yx ( x y) z x ( y z ) 1x x k (lx) (kl) x
x 0 x x为零元素 x y 0 y为x的负元素
(k l ) x kx lx k ( x y) kx ky
例: 如果用Rn表示有序的实数组
1 2 m 1 2
m
为线性无关，此时必然有 a a a 0
1 2 m
定义: 设 v , v ,, v 是V中一组向量(可以重复),称向量 u 是 v , v ,, v 的线性组合，是指有实数 a , i 1,2,, m
1 2 m 1 2 m
i
存在，使
u a1v1 a2 v2 am vm
线性系统理论
第一讲 数学基础_绪论
“线性系统理论”工程硕士学位课
课程目的
学习、掌握线性多变量系统的分析、设计方法。 了解控制理论领域最新研究成果。
主要内容
数学描述 运动分析 能控性与能观性 系统的运动稳定性 线性反馈系统的时间域综合
“线性系统理论”工程硕士学位课
课本：
二、线性系统理论的主要内容
研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律 的可能性和方法。 系统分析：研究系统运动规律，认识系统。
定量分析：系统对于某个输入信号的响应和性能。
定性分析：稳定性,能控性,能观性等。(更重要！)
系统综合：研究改变运动规律的可能性和方法，改造 系统。
三、线性系统理论的发展过程
1
时,称T为由V1到V2的线性变换或线性算子。V1称为T 的定义域。若令 TV Tv v V V 则TV1也是一个线性 空间，它被称为T的值域空间，记为ImT=TV1。在 V1=V2时，称他为V1上的线性变换。
1 1 1 1 2
二、矩阵代数中的几个结果 定义： 矩阵 A a R 中列向量的最大无关组的个数 称为A的列秩; 其行向量的最大无关组的个数称为A的 行秩。
上面三种形式的矩阵 P i , j , P i c 和 Pi, j
称为初等行变换矩阵。显然,他们均是可逆的,且
P 1 i , j P i , j P 1 i c P i 1 / c P 1 i , j P i , j
mn
As
1
adjAs det As
初等变换 与数字矩阵类似,多项式矩阵的初等行(列)变换, 是指下列三种典型操作:
矩阵的两行(或两列)互换位置。 矩阵的某一行(或某一列)乘以非零的常数c。 矩阵的某一行(或某一列)加上另一行(或列)的Φ(s)
倍，此处Φ(s)为一个多项式。
特别当rank(A)＜m时，称A为行降秩的； 当rank(A)＜n时，称A为列降秩的；
当rank(A)=m=n时，称矩阵A是可逆的或非奇异的。
Vendermonde矩阵与友矩阵 Vendermonde矩阵与友矩阵是矩阵代数中的两 类重要的矩阵,在控制理论中经常用到。
(1)Vendermonde矩阵
与初等行变换矩阵相对应的初等列变换矩阵分别
记之为 Qi , j , Qi c 和 Qi, j
等价是多项式矩阵之间的一种关系，这种关系显 然具有下述三个性质：
反身性，即每一个多项式矩阵均与自身等价。 对称性，即A(s)与B(s)等价，可推出B(s)与A(s)等价。 传递性，即A(s)与B(s)等价，B(s)与C(s)等价，可推出
a2 / a0 0 1 0
an1 / a0 0 0 1
1 / a0 0 0 0
豫解矩阵 对于阶数较高的矩阵,直接依据定义去求取其 特征多项式比较困难。另外,在许多问题中也常常需要 求取矩阵(sI-A)-1,该矩阵称之为矩阵A的豫解矩阵。
x y Rn a x Rn 显然
极易验算这种“+”和“•”满足通常的代数法则， 故Rn是实数域R上的线性空间，也称为向量空间。
定义: 如果V是实数域R上的线性空间, V1是V的一个子 集, 在V1上的加法和数乘运算同于V上的运算, 若V1也是 实数域R上的线性空间, 则称V1是V的子空间。
1950年代中期，经典线性系统理论 数学基础：拉普拉斯变换 数学模型：传递函数 分析和综合方法：频率响应法 适用：单输入单输出线性定常系统 1960年代，现代线性系统理论 传递函数：外部输入输出描述 状态方程：内部输入输出描述（SISO,MIMO） 能控性和能观性：表征系统结构特性的概念 1970年代， 几何理论：从几何角度来研究系统的结构和特征。 代数理论：以抽象代数为工具 多变量频域理论：推广经典频率法
1 a1
1 an1
为矩阵A的友矩阵（Companion matrix）。
定理： 设矩阵 A R
nn
具有互异特征值 , i 1,2,, n
i
则其友矩阵Ac亦以 , i 1,2,, n 为特征值,且Ac与
i
i
相对应的特征向量为 P 1
情形Ⅲ 将多项式矩阵A(s)的第j行的Φ(s)倍加到A(s) 的第i行上，得得多项式矩阵A3(s)。这一过程可通过 矩阵乘积运算完成 其中
A3 s Pi , j As
1 1 s P i , j 1 1
其中， R A
i
mn
, i 0,1,2,, l
均为定常的实矩阵，在 0 A
i
的条件下，l 代表了A(s)的次数。显而易见，通常的
定常矩阵均为零次多项式矩阵。
定义: 对于 As R s ，如果至少有一个r级子式不恒 等于零，而所有r级以上子式均恒等于零，则称r为多 项式矩阵A(s)的秩，记为rankA(s)=r。
1 2 m
1 2 m
由上述定义可知,如果 u , u ,, u 线性无关,而 u, u , u ,, u 线性相关,则 u 为 u , u ,, u 的线性组合, 且表示法唯一。
1 2 m
线性变换 定义：设V1,V2均为实数域R上的线性空间,T是由V1到 V2的一个映象,当T满足 T a b Ta Tb, T a Ta, a, b V , R
A1 s P i , j As
运算完成
1 0
情形Ⅱ 将多项式矩阵A(s)的第i行乘以一个非零常数c, 得多项式矩阵A2(s)。这一过程可通过矩阵乘积运算完 成 其中
A2 s Pi c As
1 1 Pi c c 1 1
设 , i 1,2,, n 为一组复数，定义形如
i
1 1 2 1 P n1 1
1
2 2 2
n1 2
1 n 2 n n1 n
的矩阵P称为Vendermonde矩阵。 定理:
detP
A(s)与C(s)等价。
第一章
绪论
一、线性系统理论的研究对象
线性系统是实际系统的一类理想化了的模型， 通常可以用线性的微分方程或差分方程来描述。
1.系统:是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组 成的具有特定功能的一个“整体”
可以具有完全不同的属性
具有相对性 最基本的特征是整体性（性能、特征）
1i j n
j
i
推论： Vendermonde矩阵P可逆的充要条件是
, i 1,2,, n
i
互异。
(2)友矩阵
设 A R
nn
，其特征多项式为
D(s)=det(sI -A)=sn+an-1sn-1+…+a1s+a0
我们定义矩阵
0 c A 0 a0
2.动态系统 所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定 统计规律随时间演化的一类系统——动力学系统。 分为线性系统和非线性系统。 线性系统：L(c1u1+c2u2)=c1L(u1)+ c2L(u2) 其中，L为系统的数学描述，c1,c2为两个任意有限 常数（叠加原理） 。