级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。

关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如n u u u +++21 ①称为无穷级数(常简称级数),用∑∞=1n n u 表示。

无穷级数①的前n 项之和，记为∑==nn n n u s 1=n u u u +++ 21 ②称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。

若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。

研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。

由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。

从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法1 比较判别法设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有n n v u ≤，则（i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。

例 1 . 设∑∞=12n n a 收敛，证明：∑∞=2ln n nnn a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞=12n n a <)ln 1(2122n n a n + 易知：∑∞=22ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞=22n n a 收敛，所以)ln 1 21222n n a n n +∑∞=（收敛。

由比较判别法知∑∞=2ln n nnn a 收敛（n a >0）. 例 2 . 证明：级数)0(sin )1(1≠∀-∑∞=x n xn 都是条件收敛的。

证： 不妨设x>0,则∃x N >0，当n>x N 时，0<n x <2π,此时0sin >n x ,且{nxsin }为单调递减数列，且nxn sinlim ∞→=0。

由莱布尼茨判别法知)0(sin )1(1≠∀-∑∞=x n xn 收敛。

而当n>x N 时，n x n sin)1(- =nxsin >0，nxn x n sin lim∞→=1又∑∞=1n n x 发散，由比较判别法知∑∞=1sin n n x也发散。

所以0≠∀x ，级数)0(sin )1(1≠∀-∑∞=x n xn 都是条件收敛的。

例 3. 证明级数)]!1!21!111([1n e n ++++-∑∞= 收敛证： 0< n a = )!1!21!111(n e +++- < !1n n ⋅= n b .nn n b b 1lim +∞→= !1)!1()1(1lim n n n n n ⋅+⋅+∞→= 2)1(lim +∞→n n n =0由比值判别法知∑n b 收敛，再由比较判别法知∑n a 收敛，即有：级数)]!1!21!111([1n e n ++++-∑∞= 收敛。

根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。

2 柯西判别法（根式判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式n n u ≤l ＜1，则级数∑n u 收敛。

（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式1≥nn u 则级数∑n u 发散。

例 1 . 判别级数∑n n 22的敛散性。

解：因为 =∞→n n n u lim 2lim 2nn n ∞→=121<所以由根式判别法知级数∑n n 22收敛。

3 达朗贝尔判别法（比值判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q （0＜q ＜1）. （i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式≤+nn u u 1q ，则级数∑n u 收敛。

（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式11≥+nn u u 则级数∑n u 发散。

例 1 .判别级数∑⋅n n nn !3的敛散性。

解：因为 =+∞→n n n u u 1lim !3)1()!1(3lim 11n n n n n n n n n ⋅++++∞→= nn n)11(3lim +∞→= e 3>1 所以由比式判别法知级数∑⋅n n nn !3发散。

4积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

设f 为[1，+ ∞)上非负减函数，那么正项级数∑)(n f 与反常积分dxx f ⎰∞1)(同时收敛或同时发散。

例 1 .判别级数∑∞=3)ln (ln )(ln 1n qp n n n 的敛散性。

解：设f(x)=qp n n n )ln (ln )(ln 1,则f(x)在[3，+ )∞上非负递减。

若1=p ，这时有⎰+∞3)ln (ln )(ln qp x x x dx = ⎰+∞3ln ln q u du = ⎪⎩⎪⎨⎧≤∞+>--)1()1()3ln (ln 1111q q q q当小q ＞1时级数收敛；当小q ≤1时级数发散； 若1≠p ,这时有⎰+∞3)ln (ln )(ln q p x x x dx =⎰+∞-3ln ln )1(qu p u e du 对任意的q ，当01>-p 时，取t>1,有qup t u ue u )1(1lim -∞→⋅=0 即该积分收敛。

当01<-p 时，有 qup t u ueu )1(1lim -∞→⋅=∞+即该积分发散。

5拉贝判别法设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数r ，（i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式r u u n nn ≥-+)1(1＞1，则级数∑n u 收敛。

（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式1)1(1≤-+nn u u n 则级数∑n u 发散。

例 1 .判别级数∑+++)()2)(1(!n x x x n （x>0）的敛散性。

解：因为 )1(lim 1n n n u u n +∞→-= n n ∞→lim [1- )1()2)(1()!1(+++++n x x x n •!)()2)(1(n n x x x +++ ]= x n x nxn =++∞→1lim所以由拉贝判别法知，当小x ＞1时级数收敛；当小x ≤1时级数发散；6对数判别法对于正项级数∑n u ，如果存在q nu nn =∞→ln )1ln(lim，则当q>1时，级数∑n u 收敛；当q<1时，级数∑n u 发散。

例 1判别级数∑∞=2n n a =∑∞=-+--2])1(ln [15n n n 的敛散性。

证明：∞→n limna n ln )1ln(= ∞→n lim n n n ln 5ln ])1([ln 1---=ln 5>1 因此有对数判别法可知级数∑∞=2n n a =∑∞=-+--2])1(ln [15n n n 收敛。

7双比值判别法对于正项级数∑n u ，如果存在n n n u u 2lim∞→= 112lim ++∞→n n n u u = ρ，则当ρ< 21时，级数∑n u 收敛；当ρ>21时，级数∑n u 发散。

例 1判别级数∑∞=12ln n nn的敛散性。

证明：因为nnn u u 2lim ∞→=41ln )2()2ln(lim 22=⋅∞→n n n n n 21<由此知级数∑∞=12ln n nn收敛。

例 2 判别级数∑∞=1!n nne n n 的敛散性。

证明：这里1+>n n a a ，即n nen n !> 11)!1()1(++++n n e n n 有∞→n lim n n a a 2= n n n n n n e n e n n !)!2()2(lim 22⋅∞→= n n nn n n n n n en n e n n e n e n 2222)2()2(22)2(lim --∞→⋅ππ= 22> 21所以级数∑∞=1!n nnen n 发散。

8高斯判别法设∑n a 是严格正项级数，并设1+n n a a =λ+n μ+nn v ln +)ln 1(n n ο，则关于级数∑na的敛散性，有以下结论：（i ）如果λ>1，那么级数∑n a 收敛；如果λ<1，那么级数∑n a 发散。

（ii ）如果λ=1，μ>1，那么级数∑n a 收敛；如果λ=1，μ<1，那么级数∑na 发散。

（iii ）如果λ=μ=1，υ>1，那么级数∑n a 收敛；如果λ=μ=1，υ<1，那么级数∑n a 发散。

例1 Gauss 超几何级数1+∑=-+++-++-++nn n n n n 1)1()2)(1(!)1()1()1()1(γγγγβββααα nx 的敛散性，其中均χγβα,,,为非负常数。

解：因为1+n n a a =χβαγβαγ1)1)(1()1)(11(1))(())(1(nn n n xn n n n ++++=++++ 又因为1)1(-+n α=1-n α+)1(2n ο，1)1(-+n β=1-n β+)1(2nο，所以1+n n a a =x 1（1+n βαγ--+1+)1(2nο）。

根据高斯判别法可以判别：如果x<1;或者x=1, βαγ+>,那么级数收敛。

如果x>1;或者x=1, βαγ+≤,那么级数发散。

参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.下册[M].北京：高等教育出版社，2001. [2]李春江.级数收敛的判别方法[J].[3]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程 下册.北京：高等教育出版社，1999.6[4]杨钟玄.双比值判别法与对数判别法的比较[J].四川师范大学学报，2004，（1）：57-60. [5]刘芜健.一类特殊正项级数的敛散性判定技巧.南京邮电大学学报.。