第十章 短面板

同一个体扰动项的协方差阵为
2 2 2 u＋ 2 u u 2 2 2 2 u＋ u u ＝ 2 2 2 2 u u＋ TT u 可知同一个体的扰动项具有相同的方差，但存在组
内自相关。整个样本扰动项的协方差阵为块对角阵 （block diagonal matrix） 0 ＝ 0 nTnT
混合回归的基本假设是不存在个体效应。对于这个 假设必须进行统计检验。由于个体效应以两种不同 的形态存在（即固定效应与随机效应），故将在下 面两节分别介绍其检验方法。混合回归也称为总体 平均估计量（Population-averaged estimator，PA）， 因为可以把它理解为，将个体效应都平均掉了。
同分布的，且与u i不相关。
如果u i与某个解释变量相关，则进一步称之为固定效 应模型（Fixed Effects Model，简记为FE）。固定 效应这个名词容易引起误解。因为即使在固定效应 模型中，个体效应u i也是随机的（尽管其取值不随 时间而变），而非固定的常数。
当u i与某个解释变量相关，即固定效应模型下，OLS 是不一致的，解决的方法是将模型转换，消去u i后获 得一致估计量。
另一极端策略则是，为每个个体估计一个单独的回 归方程。前者忽略了个体间不可观测或被遗漏的异 质性（进入了扰动项），而该异质性可能与解释变 量相关从而导致估计不一致。后者则忽略了个体间 的共性。
因此，在实践中常采用折中的估计策略，即假定个 体的回归方程拥有相同的斜率，但可以有不同的截 距项，以此来捕捉异质性。这种模型称为个体效应 模型（individual-specific effects model），即 yit＝x ＋z ＋u i＋（i=1， ，n；t=1,，T） it i it
1 可以解决遗漏变量问题。遗漏变量偏差是一个普
遍存在的问题。虽然可以用工具变量法解决，但有 效的工具变量常常很难找。遗漏变量常常是由于不 可观测的个体差异或异质性（heterogeneity）造成的 如果这种个体差异不随时间而改变，则面板数据提 供了解决遗漏变量问题的又一利器。
2 提供更多个体动态行为的信息。由于面板数据同
FD
六、随机效应模型
假设u i与解释变量 x it，zi 均不相关，故OLS是一致 的。然而，由于扰动项由 u i＋ it 组成，不是球型扰 动项，因此OLS不是最有效率的。 假设不同个体之间的扰动项互不相关。由于u i的存在 对于回归方程yit＝x ＋z ＋u i＋ it，随机效应模型 it i
2 T u＋

2 12
的一致估计量
可以证明，以上方程的扰动项不再有自相关，即 Cov 1－ u i＋ it－ i ，－ u i＋ it－ i 1 ＝0，t s 其中 1－
T ＋
2 u


2 12
ˆ 显然， 1。如果＝0，则为混合回归；而如果 0 ˆ ＝1，则为组内估计量。如果进一步假设扰动项服 从正态分布，则可以使用最大似然估计法进行估计
如果u i与所有解释变量（x it，z i）均不相关，则称之 为随机效应模型（Random Effects Model，简记为 RE）。从经济理论的角度来看，随机效应模型比较 少见，因为一般来说，不可观测的异质性通常会对 解释变量产生影响。须通过检验来确定是FE还是RE
三、混合回归
如果所有个体都拥有完全一样的回归方程，则方程 yit＝x ＋z ＋u i＋（i=1， ，n；t=1,，T）可写 it i it 为： yit＝＋x ＋z＋ it it i 项。 其中，x it不包括常数
第十章 短面板
一、面板数据的特点
面板数据或平行数据（panel data or longitudinal data）指的是在一段时间内跟踪同一组个体 （individual）的数据。它既有横截面的维度（n个个 体），又有时间维度（T个时间）。 通常的面板数据T较小而n较大，这种面板数据称为
短面板（short panel）。反之，如果T较大而n较小， 则称为长面板（long panel）。 在面板模型中，如果解释变量包含被解释变量的滞
后值，则称为动态面板（dynamic panel）。反之， 则称为静态面板（static panel）
本章介绍静态的短面板，下一章介绍长面板与动态 面板。如果在面板数据中，每个时期在样本中的个 体完全一样，则称为平衡面板数据（balanced panel） 反之，则称为非平衡面板数据（unbalanced panel） 面板数据的主要优点如下：
四、固定效应模型
对于固定效应模型，给定第i个个体，将方程 yit＝x ＋z ＋u i＋（i=1， ，n；t=1,，T）两边 it i it 对时间取平均可得 yi＝x＋z ＋u i＋ i，两个方程 i i 相减后可得原模型的离差形式： yit－yi＝ x it－x i ＋ it－ i 令yit yit－yi，x it x it－x i， it it－ i， it 则有yit＝x ＋ it 由于此式中已将u i 消去，故只要x it与 it不相关，则可以用OLS一致地 估计，称为固定效应估计量（Fixed Effects ˆ Eetimator）记为 。
这样，就可以把所有数据放在一起，像对待横截面 数据那样进行OLS回归，故称为混合回归（pooled regression）。 由于面板数据的特点，虽然通常可以假设不同个体
之间的扰动项相互独立，但同一个体在不同时期的 扰动项之间往往存在自相关。此时，对标准差的估 计应该使用聚类稳健的标准差（cluster-robust standard error），而所谓聚类就是由每个个体不同 时期的所有观测值所组成。同一聚类（个体）的观 测值允许存在相关性，而不同聚类（个体）的观测 值则不相关。
RE
具体来说，用OLS来估计以下广义离差模型 （quasi-demeaned）： ˆ y ＝ x － x ＋ 1－ z ＋ ˆ ˆ yit－ i it i i ˆ ˆ 1－ u i＋ it－ i
误差项








ˆ 其中 是 1－
FD
于u i不再出现在差分方程中，只要扰动项的一阶差 ˆ ˆ 相关，则 FD是一致的。此一致性条件比保证 FE一 ˆ 致的严格外生性假定更弱，这是 的主要优点。
分 it－ i，t－1 与解释变量的一阶差分 x it－x i，t－1 不
ˆ 如果 it 为独立同分布的，则组内估计量 FE比一阶 ˆ ˆ 差分估计量 FD更有效率。故在实践中主要使用 FE。 但对于动态面板，严格外生性假定无法满足，故转 而使用差分法
2 u ＝ 2 u＋ 2
显然，同一个体不同时
期的扰动项之间的自相关系数不随时间距离 t-s 而 改变，故随机效应模型也称为等相关模型或可交换 扰动项模型（exchangeable errors model）。因为一 般来说，自回归模型的扰动项之间的自相关系数 随时间而递减。 越大，则复合扰动项 u i＋ it 中个 体效应的部分u i 越重要。
又比如，对于失业问题，截面数据能告诉我们在某 个时点上哪些人失业，而时间序列数据能告诉我们 某个人就业与失业的历史，但这两种数据均无法告 诉我们，是否总是同一批人在失业（意味着低流转 率），还是失业的人群总在变动（意味着高流转率） 如果有面板数据，就可能解决上述问题。 3 样本容量较大。由于同时有截面维度与时间维度
FE
的变量之影响，这是FE的一大缺点。另外，为了保 证 it－ i 与 x it－x i 不相关，则要求第i个观测值满 足严格外生性，即E it x i1， ，x iT ＝0，因为x i中包 含了所有 x i1， ，x iT 的信息。
换言之，扰动项必须与各期的解释变量均不相关 （而不仅仅是当期的解释变量），这是一个比较强 的假定。
以上固定效应模型没有考虑时间效应，称为单向固定 效应（One-way FE）。如果将时间引入模型，则称 为双向固定效应（Two-way FE）。方法是引入一个 时间趋势项，yit＝x ＋z ＋ t＋u i＋ it，其中，时间 it i 趋势项 t仅依时间而变化，而不依个体而变。
五、一阶差分法
对于固定效应模型，可以对方程 yit＝x ＋z ＋u i＋ it 两边进行一阶差分，以 it i 消去个体效应u i （同时也把z 消掉了）， i yit－yi，t－1＝ x it－x i，t－1 ＋ it－ i，t－1
对上述差分形式的方程使用OLS就可以得到一阶差 ˆ 分估计量（First Differencing Estimator， ）。由
FE
ˆ 由于 FE主要使用了每个个体的组内离差信息，故称 为组内估计量。即使个体特征u i与解释变量x it 相关， 只要使用组内估计量，就可以得到一致估计量（因 为u i已消掉了），这是面板数据的一大优势。 然而，在作离差转换的过程中，z 也被消掉了，故 i ˆ 无法估计。也就是说， 无法估计不随时间而变
通常面板数据的样本容量更大，从而可以提高估计 的精确度 当然，面板数据通常不满足独立同分布的假定，因
为同一个体在不同期的扰动项一般存在略是将其看成是截 面数据而进行混合回归（pooled regression），即要 求样本中每个个体都拥有完全相同的回归方程。
由于OLS是一致的，且其扰动项为 u i＋ it ，故可以 用OLS的残差来估计 ＋ 。另一方面，FE也是
2 u 2
一致的，且其扰动项为 it－ i ，故可以用FE的残差 来估计 2。然后就可以使用可行广义最小平方法 (FGLS)来估计原模型，得到随机效应估计量 ˆ （Random Effects Estimator），记为 。
如果在原方程中引入 n-1 个虚拟变量（如果没有截 距项，则引入n个虚拟变量）来代表不同的个体，则 可以得到与上述离差模型同样的结果。因此，FE也 称为最小平方虚拟变量模型（Least Square Dummy Variable Model，LSDV）。使用LSDV的好处是可以 得到对个体异质性u i的估计。
时有横截面与时间两个维度，有时它可以解决单独 的截面数据或时间序列数据所不能解决的问题。比 如，考虑如何区分规模效应与技术进步对企业生产 效率的影响。对于截面数据来说，由于没有时间维 度，故无法观测到技术进步。然而，对于单个企业 的时间序列数据来说，我们无法区分其生产效率的 提高究竟有多少是由于规模扩大，有多少是由于技 术进步。
同一个体不同时期的扰动项之间自相关，
2 u，若t s 2 Cov u i＋ it，u i＋ is ＝ 2 其中 u 为 2 u＋ ，若t=s u i的方差（不随i变化），而 2为 it的方差（不随i、
t变化）。
当t s时，其自相关系数为 Corr u i＋ it，u i＋ is
其中，zi为不随时间而变的个体特征（即zit＝zi，t） 比如性别；而x it 可以随个体及时间而变。扰动项由 （u i＋ it）两部分构成，称为复合扰动项（composite error term），其中，不可观测的随机变量u i是代表 个体异质性的截距项。
it为随个体与时间而改变的扰动项。假设 it 为独立