几种常见的平面变换 (4)
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章末综合检测(二)
1.当k>0时，你能猜想表示的变换吗？并对你的猜想作出证明. 【解】 猜想表示的变换是将平面图形作沿y轴方向伸长(k>1)或压缩(0<k<1) 或恒等(k＝1)变换，证明如下： 对于平面上任意一点P(x，y)，在矩阵的作用下，＝， 横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍. 2.若点A在矩阵M＝对应的变换作用下得到点为B(1，0)，求 的值.
【导学号：30650023】 【解】 因为矩阵是旋转变换矩阵， 所以m＝－，n＝. 由题意知＝， 所以解得 8.二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)，(－2，1)均变为点(1，1). (1)求矩阵M； (2)直线l：2x＋3y＋1＝0在变换T作用下得到什么图形？说明理由. 【解】 (1)设M＝，则由题设得 ＝，且＝， 即解得 所以M＝. (2)设P(x，y)是l：2x＋3y＋1＝0上任一点P (x ，y )是对应的点，则由 ＝＝， 得即2x＋3y＝－x ＝－y . 又2x＋3y＋1＝0，所以x ＝y ＝1. 故在l在变换T作用下变为点(1，1). 9.求直线y＝－2x＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程. 【解】 ＝. 设直线y＝－2x＋1上任意一点为(x0，y0)，其在旋转变换作用下得到 点(x 0，y 0)，则＝， 即 解得 因为点(x0，y0)在直线y＝－2x＋1上，所以2x0＋y0－1＝0，所以2×(x 0＋y 0)－ (x 0－y 0)－1＝0，整理得x 0＋y 0－1＝0. 所以直线y＝－2x＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线的方程是x＋y－1 ＝0.
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10.如图1所示的是一个含有60°角的菱形ABCD，要使只变换其四个顶点中的 两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M.该变换矩阵惟一 吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵.
【导学号：30650024】 图1 【解】 由题设知AC∶BD＝∶1.若只变换A，C两个顶点，则应把A，C两 个顶点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，于是变换矩阵为M＝；若只变 换B，D两个顶点，则应把B，D两个顶点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不 变，于是变换矩阵为M＝.所以满足条件的变换矩阵M为或.
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Baidu Nhomakorabea
【解】 设(x，y)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上的任意一点，其在矩阵M的作用 下变换成点(x ，y )，则(x ，y )在曲线x2－2y2＝1上，＝＝，即将其代入x2－2y2 ＝1，并整理，得(1－2b2)x2＋(2a－4b)· xy＋(a2－2)y2＝1，比较系数得解得
7.点(2，2x)在旋转变换矩阵的作用下得到点(y，4)，求x，y，m，n.
【导学号：30650022】 【解】 由题意知＝， 所以 解得 从而可知， ＝2k －，(k∈Z). 3.已知直线l与直线3x＋5y＋6＝0平行，且过点(5，6)，求矩阵将直线l变成 了什么图形？并写出方程. 【解】 由已知得直线l的方程为3x＋5y－45＝0，设P(x，y)为l上的任意一 点，点P在矩阵对应的变换下对应点P (x ，y ). 则＝＝， ∴∴代入3x＋5y－45＝0， 得3x ＋25y －45＝0， ∴直线l变换成直线3x＋25y－45＝0. 4.求直线y＝2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式. 【解】 设点(x，y)为直线y＝2x上的任意一点，其在矩阵确定的变换作用 下得到的点为(x ，y )，则→＝＝，即所以将其代入y＝2x，并整理得2x －7y ＝0，所以直线y＝2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x－7y＝0. 5.切变变换矩阵把直线x＋y＝1变成什么几何图形？ 【解】 设P(x，y)在该变换下的象为P (x ，y )，则 ＝＝＝，故所以切变变换矩阵把直线x＋y＝1变成与y轴平行的直线x＝1. 6.若曲线x2＋4xy＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换成曲线x2－2y2＝1， 求a，b的值.
章末综合检测(二)
1.当k>0时，你能猜想表示的变换吗？并对你的猜想作出证明. 【解】 猜想表示的变换是将平面图形作沿y轴方向伸长(k>1)或压缩(0<k<1) 或恒等(k＝1)变换，证明如下： 对于平面上任意一点P(x，y)，在矩阵的作用下，＝， 横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍. 2.若点A在矩阵M＝对应的变换作用下得到点为B(1，0)，求 的值.
【导学号：30650023】 【解】 因为矩阵是旋转变换矩阵， 所以m＝－，n＝. 由题意知＝， 所以解得 8.二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)，(－2，1)均变为点(1，1). (1)求矩阵M； (2)直线l：2x＋3y＋1＝0在变换T作用下得到什么图形？说明理由. 【解】 (1)设M＝，则由题设得 ＝，且＝， 即解得 所以M＝. (2)设P(x，y)是l：2x＋3y＋1＝0上任一点P (x ，y )是对应的点，则由 ＝＝， 得即2x＋3y＝－x ＝－y . 又2x＋3y＋1＝0，所以x ＝y ＝1. 故在l在变换T作用下变为点(1，1). 9.求直线y＝－2x＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程. 【解】 ＝. 设直线y＝－2x＋1上任意一点为(x0，y0)，其在旋转变换作用下得到 点(x 0，y 0)，则＝， 即 解得 因为点(x0，y0)在直线y＝－2x＋1上，所以2x0＋y0－1＝0，所以2×(x 0＋y 0)－ (x 0－y 0)－1＝0，整理得x 0＋y 0－1＝0. 所以直线y＝－2x＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线的方程是x＋y－1 ＝0.
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10.如图1所示的是一个含有60°角的菱形ABCD，要使只变换其四个顶点中的 两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M.该变换矩阵惟一 吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵.
【导学号：30650024】 图1 【解】 由题设知AC∶BD＝∶1.若只变换A，C两个顶点，则应把A，C两 个顶点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，于是变换矩阵为M＝；若只变 换B，D两个顶点，则应把B，D两个顶点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不 变，于是变换矩阵为M＝.所以满足条件的变换矩阵M为或.
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Baidu Nhomakorabea
【解】 设(x，y)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上的任意一点，其在矩阵M的作用 下变换成点(x ，y )，则(x ，y )在曲线x2－2y2＝1上，＝＝，即将其代入x2－2y2 ＝1，并整理，得(1－2b2)x2＋(2a－4b)· xy＋(a2－2)y2＝1，比较系数得解得
7.点(2，2x)在旋转变换矩阵的作用下得到点(y，4)，求x，y，m，n.
【导学号：30650022】 【解】 由题意知＝， 所以 解得 从而可知， ＝2k －，(k∈Z). 3.已知直线l与直线3x＋5y＋6＝0平行，且过点(5，6)，求矩阵将直线l变成 了什么图形？并写出方程. 【解】 由已知得直线l的方程为3x＋5y－45＝0，设P(x，y)为l上的任意一 点，点P在矩阵对应的变换下对应点P (x ，y ). 则＝＝， ∴∴代入3x＋5y－45＝0， 得3x ＋25y －45＝0， ∴直线l变换成直线3x＋25y－45＝0. 4.求直线y＝2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式. 【解】 设点(x，y)为直线y＝2x上的任意一点，其在矩阵确定的变换作用 下得到的点为(x ，y )，则→＝＝，即所以将其代入y＝2x，并整理得2x －7y ＝0，所以直线y＝2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x－7y＝0. 5.切变变换矩阵把直线x＋y＝1变成什么几何图形？ 【解】 设P(x，y)在该变换下的象为P (x ，y )，则 ＝＝＝，故所以切变变换矩阵把直线x＋y＝1变成与y轴平行的直线x＝1. 6.若曲线x2＋4xy＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换成曲线x2－2y2＝1， 求a，b的值.