一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集 PPT

(4)由原不等式得 8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于 9x2－12x＋4>0. 解方程 9x2－12x＋4＝0，得 x1＝x2＝23. 结合二次函数 y＝9x2－12x＋4 的图象知，原不等式的解集为 {x|x≠23}.
[例 2] 解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数 y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式 解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
[活学活用] 1．解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (3)(2－x)(x＋3)<0；
(2)－x2＋7x>6. (4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程 x2－5x－6＝0 的两根为 x1＝－1， x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－5x－6 的图象知，原不等式的解集为 {x|x<－1 或 x>6}．
1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式， 应严格按照定义去判断，即未知数只有 1 个，未知数的最高次数 是 2，且最高次的系数不能为 0.
2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集 合或区间的形式.
[提出问题] 已知：一元二次函数 y＝x2－2x，一元二次方程 x2－2x＝0， 一元二次不等式 x2－2x＞0. 问题 1：试求二次函数与 x 轴交点坐标
一元二次不等式及其解法-一元二次不等式 解集
学习目标
❖ 学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函 数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次 函数、一元二次方程的关系。
❖ 学法指导：发现、讨论法；数形结合。”的观念。 掌握一元二次不等式的解法及步骤。
❖ 学习重点、难点：一元二次不等式、二次函数、一 元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步 骤。
没有实数 根
判别式 Δ＝b2－ Δ>0
4ac
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋ c>0(a>0) 的解集
x|x<x1 或 x>x2}
x|x≠－2ba
R
ax2＋bx＋
x|x <x<x
1
2
∅
∅
c<0(a>0) 的解集
[化解疑难] 一元二次方程的根对应于二次函数图象与 x 轴的交点，一 元二次不等式的解对应于二次函数图象在 x 轴上方(下方)，或 在 x 轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与 x 轴的 交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二 次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2＞0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7 ＜0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.
[类题通法] 解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没 有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
[导入新知]
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
如表
判别式 Δ＝b2
Δ>0
Δ＝0Biblioteka Baidu
Δ<0
－4ac
一元二次方程 有两相异 有两相等 ax2＋bx＋c＝ 实根 x1， 实根 x1＝x2
0(a>0)的根 x2，(x1＜x2) ＝－2ba
[提出问题] 观察下列不等式： (1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0. 问题 1：以上给出的 3 个不等式，它们含有几个未知数？未 知数的最高次数是多少？
提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是 2. 问题 2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？ 提示：形如 ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中 a，b，c 为常数， 且 a≠0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集 为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为
x|x＝94. (4)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4
＜0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x ＋10 的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
[导入新知] 1．一元二次不等式 我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的 最高次数是2 的 不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋ bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x的值 ，叫做这个一元二次不等式 的 解 ，其解的 集合 ，称为这个一元二次不等式的 解集 . [化解疑难]
(2)原不等式可化为 x2－7x＋6<0. 解方程 x2－7x＋6＝0 得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－7x＋6 的图象知，原不等式的解集为 {x|1<x<6}． (3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0 两根为 2 和－3. 结合二次函数 y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为 {x|x<－3 或 x>2}．
[例 1] 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0； (3)－4x2＋18x－841≥0；(4)－12x2＋3x－5＞0； (5)－2x2＋3x－2＜0.
[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程 2x2＋7x ＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2 ＋7x＋3 的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－12， 或 x＜－3}．
提示：(0,0)、(2,0)
问题 2：一元二次方程根是什么？
提示：x1＝0，x2＝2.
问题 3：问题 1 中的坐标与问题 2 中的根有何内在联系？ 提示：交点的横坐标为方程的根． 问题 4：观察二次函数图象，x 满足什么条件，图象在 x 轴上 方？
提示：x＞2 或 x＜0. 问题 5：能否利用问题 4 得出不等式 x2－2x＞0，x2－2x＜0 的解集？ 提示：能，不等式的解集为{x|x＞2 或 x＜0}，{x|0＜x＜2}．