必修五第二章 数列 复习课【2】求数列前N项和的常用方法【原创】

例1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的 ：设等差数列 ，公差为 ，求证： 的 项和S 前n项和 n=n(a1+an)/2 项和 解：Sn=a1+a2+a3+...+an ① 倒序得： 倒序得： Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ② ①+②得： ② 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1 ∴2Sn=n(a2+an源自 Sn=n(a1+an)/2
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类型三、用裂项相消法求数列的前 项和 类型三、用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前 后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和 项和。 后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 项和。
例3 求数列 的前n项和 的前 项和Sn 项和
点拨：由推导过程可看出， 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法是借助 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，即与首末项等距的两项 ， 之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实 现的。 现的。
类型二、用公式法求数列的前n项和 类型二、用公式法求数列的前 项和
对等差数列、等比数列，求前 项和 项和S 对等差数列、等比数列，求前n项和 n，可直接用 等差、等比数列的前n项和公式进行求解 项和公式进行求解。 等差、等比数列的前 项和公式进行求解。运用公式求 注意：首先要注意公式的应用范围，再计算。 解时，要注意：首先要注意公式的应用范围，再计算。 例2：求数列 ： 和 Sn 的前n项 的前 项
类型六、用分组求和法求数列的前 项和 类型六、用分组求和法求数列的前n项和 例6：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈N*) ： ∈ 是偶数时： 解：①当n是偶数时： 是偶数时 S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 1)2 - n2] = - (1 + 2 + … + n) = 是奇数时： ②当n是奇数时： 是奇数时 S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 2)2 - (n - 1)2] + n2 = - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n2 =综上所述： 综上所述：S = (-1)n+1 n(n+1)
解：
点拨： 点拨：此题先通过求数列的通项找到可以 裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后， 裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后， 中间部分的项相互抵消， 中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整 理成最后的结果即可。 理成最后的结果即可。
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类型四、用错位相减法求数列的前 项和 类型四、用错位相减法求数列的前n项和 的和。 例4：求数列 n}(n∈N*)的和。 ：求数列{na ∈ 的和
必修五第二章 数列 复习课
【2】求数列 前N项和的常用方法 】 项和的常用方法
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方法策略提示： 方法策略提示： 求数列的前n项和要借助于通项公式 项和要借助于通项公式， 求数列的前 项和要借助于通项公式，即先 有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上， 有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上， 或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。 或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。 当遇到具体问题时， 当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规 律，找到适合的方法解题。 找到适合的方法解题。
点拨：这道题只要经过简单整理， 点拨：这道题只要经过简单整理，就 可以很明显的看出： 可以很明显的看出：这个数列可以分 解成两个数列，一个等差数列， 解成两个数列，一个等差数列，一个 等比数列，再分别运用公式求和， 等比数列，再分别运用公式求和，最 后把两个数列的和再求和。 后把两个数列的和再求和。
解： Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan① 设
则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1② ①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an - nan+1③ ② 若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = 则 若a ≠ 1则： 则
点拨：此数列的通项是 系数数列是： ， ， 点拨：此数列的通项是nan,系数数列是：1，2，3……n， 系数数列是 ， 是等差数列；含有字母a的数列是 的数列是： ， 是 是等差数列；含有字母 的数列是：a,a2,a3,……，an,是 等比数列，符合错位相减法的数列特点， 等比数列，符合错位相减法的数列特点，因此我们通过 错位相减得到③ 这时考虑到题目没有给定a的范围 的范围， 错位相减得到③式，这时考虑到题目没有给定 的范围， 因此我们要根据a的取值情况分类讨论 的取值情况分类讨论。 因此我们要根据 的取值情况分类讨论。我们注意到当 a=1时数列变成等差数列，可以直接运用公式求值；当 时数列变成等差数列， 时数列变成等差数列 可以直接运用公式求值； a≠1时，可以把③式的两边同时除以（1-a），即可得出 ），即可得出 时 可以把③式的两边同时除以（ ）， 结果。 结果。
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所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列， 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也 分组求和法就是对一类既不是等差数列 不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开， 不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别 求和，再将其合并。 求和，再将其合并。
类型1、用倒序相加法求数列的前n项和 类型 、用倒序相加法求数列的前 项和
如果一个数列{a ， 如果一个数列 n}，与首末项等距的 两项之和等于首末两项之和， 两项之和等于首末两项之和，可采用把正 着写与倒着写的两个和式相加， 着写与倒着写的两个和式相加，就得到一 个常数列的和， 个常数列的和，这一求和方法称为倒序相 加法。例如：等差数列前n项和公式的推 加法。例如：等差数列前 项和公式的推 用的就是“倒序相加法 倒序相加法”。 导，用的就是 倒序相加法 。
=
+ 5n
迭加法主要应用于数列 满足a 迭加法主要应用于数列{an}满足 n+1=an+f(n)，其 主要应用于数列 满足 ， 是等差数列或等比数列的条件下， 中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这 是等差数列或等比数列的条件下 个式子变成a 个式子变成 n+1-an=f(n)，代入各项，得到一系 ，代入各项， 列式子，把所有的式子加到一起，经过整理， 列式子，把所有的式子加到一起，经过整理， 可求出a 从而求出S 可求出 n ，从而求出 n。
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类型七、用构造法求数列的前 项和 类型七、用构造法求数列的前n项和 例7：求 解： 的和
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所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分 构造法 找出数列的通项的特征， 析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的 基本数列的通项的特征形式， 基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n项和。 项和。 项和
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作业：将课内 个例题作为作业 个例题作为作业。 作业：将课内7个例题作为作业。
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类型五、用迭加法求数列的前 项和 类型五、用迭加法求数列的前n项和
例5：已知数列 ：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等 其中相邻两项之差成等 差数列，求它的前n项和 项和。 差数列，求它的前 项和。 解：∵a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 ,…, an - an-1 = 2n-1 把各项相加得： 把各项相加得： an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = ∴ an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5 ∴Sn = 12 + 22 + … + n2 + 5n
错位相减法是一种常用的数列求和方法， 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用 是一种常用的数列求和方法 于等比数列与等差数列相乘的形式。 于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数 成等差数列， 成等比数列， 列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列， 中 成等差数列 成等比数列 在和式的两边同乘以公比， 在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减 整理后即可以求出前n项和 项和。 整理后即可以求出前 项和。