不等式知识点归纳大全

《不等式》知识点归纳

一.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不

等式对应方程的根或不等式有意义围的端点值.

(2)解分式不等式()()

()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x

的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；

(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论、平方转化或换元转化)； (4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.

二、 利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2()2

a b ab +≤等求函数的最值时，务必注意a ，b +

∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件是积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值(一正二定三等四同时).

三、.

2211

a b a b

+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号） 四、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：

3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）

；

3

a b c ++ ⇒3()3a b c abc ++≤333

3a b c ++≤ 五、最值定理

（积定和最小）

①,0,x y x y >+≥由，若积()xy P =定值，则当x y =时和x y

+有最小值

（和定积最大

）②,0,x y x y >+≥由若和()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值21

4

s .

【推广】：③已知,,,,+

∈R y x b a 若1=+by ax ，则有则y

x 1

1+的最小值为：

2

11

11()()by ax

ax by a b a b x

y x y x y

+

=++=+++++=+≥

④等式到不等式的转化：已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．

4)2()2(82)2(822

y x y x y x y x xy +≤+-=⋅⇒+-=

即

0)42)(82(08)2(4

)2(2

≥-+++⇒≥-+++y x y x y x y x 解得4282≥+-≤+y x y x （舍）或

故x ＋2y 的最小值是4 如果求xy 的最大值，则xy xy y x y x xy 22282)2(82≥-=+⇒+-=，

然后解关于

xy 的一元二次不等式，求xy 的围，进而得到xy 的最大值

六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、

分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响). 七、含绝对值不等式的性质：

a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 八、不等式中的函数思想

不等式恒成立问题

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、函数法

（1）一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：

⎩

⎨

⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0

)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 （2）一元二次函数),0(0)(2

R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：

1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔0

a ;

2）0)(

⎩

⎨⎧<∆<⇔a

（3）不等式中x 的取值围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例1．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，数m 的取值围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

-≤--≥-≥∆1

220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值围为)1,3[-。 二、最值法：

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

（1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ （2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔

例2．已知两个函数2

()816f x x x k =+-，

32()254g x x x x =++，其中k 为实数. (1)若对任意的[]33，

-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值围； (2)若对任意的[]3321，

、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值围. (3)若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值围. 解：(1) 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23,

问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可