高等数学》课程教学大纲

《高等数学》课程教学大纲

（适用于计算机专业本科）

广东金融学院应用数学系基础数学教研室

《高等数学》课程教学大纲

课程类别：学科基础课

开课单位：应用数学系

授课对象：本科层次计算机科学与技术专业

学时与学分：150学时 8学分

使用教材：同济大学数学教研室，《高等数学》，高等教育出版社，

一、教学目的与教学要求：（五号黑体）

高等数学是高等学校工科类最重要的基础理论课之一。通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法。通过各教学环节逐步培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力。为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。

1、要正确理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数的敛散性、无穷级数的和、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念。

2、要掌握下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理），不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱伯尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，格林公式，几何级数和P级数的收敛性，级数敛散性的判定条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构。

3、熟练掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法，多元函数复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，正项级数的比值审敛法，求幂级数的收敛半径和收敛区域，函数展开成幂级数的间接展开法，函数展开成傅里叶级数，一阶可分离变量微分方程的求解，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

4、应用方面：用定积分和常微分方程方法求解一些简单的几何和物理问题，用极值方法求解最大值最小值的应用问题，用边际与弹性分析常用的经济问题。

二、课程主要内容

第一章函数、极限、连续

一．教学内容

函数：常量与变量，函数的定义

函数的表示方法：解析法，图示法、表格法

函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性

初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系。

极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限。

连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述。

二．本章教学重点与难点

重点：函数概念，基本初等函数的性质及图形，极限的计算

难点：建立函数关系，极限概念

三．教学基本要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会建立简单函数关系式。

4、掌握基本初等函数的性质和图形。

5、理解极限的概念，了解分段函数的极限。

6、掌握极限四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

7、掌握极限存在的二个准则，并会利用它们求极限。

8、理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。

10、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。

第二章 导数与微分

一．教学内容

导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数

微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性。

二．本章教学重点与难点

重点：导数和微分概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，导数

的四则运算法则和复合函数的求导法，基本初等函数的导数公式，初等函数的一阶，二阶导数的求法，

难点：复合函数的求导法，。

三．教学基本要求

1、理解解导数的概念（包括左、右导数）导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间关系。

2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。会求分段函数的一阶和二阶导数。

3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数。掌握初等函数的二阶导数的求法。

4、会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。

5、了解微分的概念和四则运算。

6、会用导数描述一些简单的物理量。

第三章 中值定理与导数的应用

一、教学内容

中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述 导数应用：用洛必塔法则求“ 00”、“ ∞∞”型未定式极限，函数的单调性判别法，函数

的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大

值、最小值问题，弧微分、方程的近似解法(牛顿切线法)

二、 教学重点和难点

重点：函数的极值概念，用导数判别函数的单调性和求极值的方法。

难点：导数的应用

三、教学基本要求

1、理解并会应用罗尔定理、拉格朗日定理，利用定理能求方程的根、证明不等式。了解柯西定理。

2、理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。

3、会用导数描绘图形（包括水平、垂直、斜渐近线）。

4、会求最大值、最小值的应用问题。

5、掌握洛必达法则求未定式极限的方法。

6、了解曲率、曲率半径的概念，并会计算。了解求方程近似解的二分法和切线法。

第四章不定积分

一．教学内容

不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表

积分法：第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，有理函数积分举例，积分表的使用

二．本章教学重点与难点

重点：不定积分与定积分概念与性质，不定积分的基本公式，不定积分与定积分的换元积分法和分部积分法。

难点：积分的计算。

三．教学基本要求

1、理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。

2、掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分法（对有理函数的待定系数法分解，不作过高要求）。

第五、六章定积分及其应用

一、教学内容

定积分：定积分的定义及几何意义。定积分的性质，积分中值定理。原函数存在定理，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元积分法、分部积分法。定积分的近似计算(梯形法)，广义积分。

积分的应用：求平面曲线围成图形的面积，旋转体(绕坐标轴旋转)体积，平面曲线的弧长，变力做功，引力、侧压力等

二、本章重点和难点

重点：变上限定积分的导数，牛顿—莱布尼兹公式，定积分在几何上的应用

难点：变上限函数的求导，广义积分，定积分应用等

三、教学基本要求

1、理解定积分的基本概念，定积分中值定理。

2、理解变限函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

3、掌握定积分的性质及换元积分法和分部积分法。

4、了解定积分的近似计算方法(梯形法和抛物线法)。

5、掌握定积分在几何上应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面为已知的立体体积），和经济上应用。

6、了解广义积分的概念，会计算广义积分。