大学物理高斯定理 ppt课件
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大学物理 静电场2-高斯定理、环路定理
S
S′ SS r
q
29
证明：
ΦE=
∫S E ⋅ dS=
1
ε0
∑qi
S内
设真空中有一点电荷q，在q 的电场中，
(3) 若球面S 或任意曲面S′不包围电荷q
穿入的
穿出的
S′ S
电场线
电场线
q
Φ=E ∫S′E′ ⋅ dS=′ ∫S E ⋅ dS = 0
即:曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献
30
证明：
ΦE=
将电荷qo从a点移动到b点, 电场力作功 A=？
q rb
.b 在任意点c, qo的位移dl ,
ra r
a.
r +dr c dl
qo
dl F
α
受电场力 F = qoE 元功为 dA= F ⋅ dl
dA = q0E .dl = Fdl cosα =Fdr dl cosα = dr
=A ∫ F ⋅ dr = ∫ qoEdr
P.dE
ΦE
=ε1o
∫V
ρ dV =
q
εo
方向为 er
E oR
r ≤ R ΦE= ∫S E ⋅ dS= E ⋅ 4πr2
ρ= q 4 πR3
ΦE
=ε1o
∫V
ρdV
=
ρ εo
4 3
πr 3
3
方向为 er
r 点电荷的电场在 r→0 时, E→∞.
35
∫ 例11.无用限高长斯圆定柱理棒求面体的均电匀场带分电布的,已知Φ线=E体面电电∫S荷E荷⋅d密密S 度度ε10λρσl。λdl
S内
高斯定理的意义：
——电磁场的基本方程之一
反映电场的基本性质
S′ SS r
q
29
证明：
ΦE=
∫S E ⋅ dS=
1
ε0
∑qi
S内
设真空中有一点电荷q，在q 的电场中，
(3) 若球面S 或任意曲面S′不包围电荷q
穿入的
穿出的
S′ S
电场线
电场线
q
Φ=E ∫S′E′ ⋅ dS=′ ∫S E ⋅ dS = 0
即:曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献
30
证明：
ΦE=
将电荷qo从a点移动到b点, 电场力作功 A=？
q rb
.b 在任意点c, qo的位移dl ,
ra r
a.
r +dr c dl
qo
dl F
α
受电场力 F = qoE 元功为 dA= F ⋅ dl
dA = q0E .dl = Fdl cosα =Fdr dl cosα = dr
=A ∫ F ⋅ dr = ∫ qoEdr
P.dE
ΦE
=ε1o
∫V
ρ dV =
q
εo
方向为 er
E oR
r ≤ R ΦE= ∫S E ⋅ dS= E ⋅ 4πr2
ρ= q 4 πR3
ΦE
=ε1o
∫V
ρdV
=
ρ εo
4 3
πr 3
3
方向为 er
r 点电荷的电场在 r→0 时, E→∞.
35
∫ 例11.无用限高长斯圆定柱理棒求面体的均电匀场带分电布的,已知Φ线=E体面电电∫S荷E荷⋅d密密S 度度ε10λρσl。λdl
S内
高斯定理的意义：
——电磁场的基本方程之一
反映电场的基本性质
1静电场高斯定理PPT课件
kx.
4πx
2
dx
ε E´=
kR4
4
r2
0
习题： 如图所示,一厚度为a的无限大带电平板,其电荷体
密度分布为 kx (0 x a)式中k 为正常数,试证明:
(1) 平板外空间的场强为均匀电场,大小为 ka 2
2
4 0
(2)
平板内 x
a 2
处E=0.
解(1) 据分析可知平板外的电场是均
匀电场,作如图封闭圆柱面为高斯面
++
rr
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
（2）r > R
. sE
dS = E 4π r 2
q
ε = 0
得：
q
E = 4επ0 r 2
E
q
ε 4π
R2
0
0
++ + + E
+
+
+R
r
+
+
+
q+
+++ +
∝
1 r2
高斯面
r
R
例2. 均匀带电球体的电场。体电荷密度为 ρ
（1）r < R
sE . dS = E 4π r 2
+ E
一对等量正点电荷的电场线
+
+
+
+
E
一对异号不等量点电荷的电场线
E
+2q
q
大学物理课件高斯定理
§ 5 电场线和电通量
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
大学物理课件：16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
B2
dl2
r2
l
B2
dl2
0I
2π
d
B1
dl1
0I
2π
d
B dl 0I d d
l
2π L1
L2
0I
2π
0
第16章 稳恒磁场
8
大学
16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理
多电流情况
I1
I2
I3
B
B1
B2
B3
Bdl
l
0 (I 2
I3)
以上结果对任意形状
l
的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
第16章 稳恒磁场
2
大学
16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理
enB
s s
B
磁通量：通过某一曲 面的磁感线数为通过此曲 面的磁通量.
Φ BS cosBS
Φ B S B enS
B dS
dΦ B dS
B dΦ BdS cos
s
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
第16章 稳恒磁场
•
•
O’
磁场磁力线：
••••••••••••••
R
为什么磁力 线画成均匀 的？
B
• • • • • • • • • • • • • •
R
A B1 B
D
B2C
作安培环路L ABCDA
B dl
L
0
L内
Ii
0
B dl L
AB
B1
dl
B dl
BC
CD B2 dl
3
大学
16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
《高斯定理》PPT课件
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
一 电场线 （电场的图示法） 2023最新整理收集 do something
规定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向,
2） 通过垂直于电场方向 单位面积电场线数为 该点电场强度的大小. E E dN / dS
S
E
1
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
点电荷的电场线
第六章 静电场
由多个点电荷产生的电场
E E1 E2
q1
q2
Φe
E dS
S
S
Ei dS
qi
i
i(内） S
Ei
dS
i（外） S
Ei
dS
i（外） S
Ei
dS
0
1
Φe
i（内） S
Ei
dS
0
qi
i (内）
17
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
高斯定理 Φe
h
+
+o
y
x+
23
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
例4 无限大均匀带电平面的电场强度
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
r 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
解 对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
E
dS
S＇
S
0 底面积
S＇
2S＇E S＇
0
E 20 24
6 – 2 高斯定理
6
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远).
2） 电场线不相交. 3） 静电场电场线不闭合.
第六章 静电场
一 电场线 （电场的图示法） 2023最新整理收集 do something
规定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向,
2） 通过垂直于电场方向 单位面积电场线数为 该点电场强度的大小. E E dN / dS
S
E
1
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
点电荷的电场线
第六章 静电场
由多个点电荷产生的电场
E E1 E2
q1
q2
Φe
E dS
S
S
Ei dS
qi
i
i(内） S
Ei
dS
i（外） S
Ei
dS
i（外） S
Ei
dS
0
1
Φe
i（内） S
Ei
dS
0
qi
i (内）
17
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
高斯定理 Φe
h
+
+o
y
x+
23
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
例4 无限大均匀带电平面的电场强度
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
r 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
解 对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
E
dS
S＇
S
0 底面积
S＇
2S＇E S＇
0
E 20 24
6 – 2 高斯定理
6
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远).
2） 电场线不相交. 3） 静电场电场线不闭合.
大学物理-电通量-高斯定理
❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
高斯定理1ppt课件
三、高斯定理
1、定理的描述：
在任意静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通
量，等于该曲面所包围电荷的代数和的
1 0
倍。
qi
e EdS
S
i
0
真空中静电场
qi
i
介质中静电场
qi
i
.
自由电荷
自由电荷与介 质极化电荷
2、讨论： （1）高斯定理中的
E是
q
内
和q外
在闭合面上任一
点激发的总电场；
（2）通过闭合曲面的总电通量之决定于它所包围的电荷；
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空
间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合
适的高斯面，利用高斯定理求出
E E (x ,y ,z)
.
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
均 电匀
带
球体 球面 (点电荷)
长
无 限
柱体 柱面 带电线
面对称
无 平板 限 大
平面
.
例1 讨论一个半径为R均匀带电量为Q的 球体的电场分布。
空 0 <r ≤ R 间 R <r <
Q
R
.
（1） R < r <
Q dq1Βιβλιοθήκη O RS1r1
dq2
dE2 P
dE
dE1
.
解：
q0i
EdS i
S
ε0
Q r
S1
方程
左边
S 1E 1dSS 1E 1dS
R
E1Sd 1 S E14πr2
方程 右边
i q 0i Q
ε0
ε0
E1
大学物理高斯定理课堂PPT
由高斯定理知 E
q
2 0lr
（1）当r<R 时， q0
E0
.
25
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
ql
E
2 0r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
l
E Er 关系曲线
2 0 R
r1
0
R
r
.
26
高斯简介 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天 文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线, 这些曲线与电场强度 E 之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场 强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小 相等。
.
1
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
由电场线的连续性可知，穿 过 S的电场线都穿过同心球 面 S ，故两者的电通量相等， 均为 q ε 0 。
结论说明，单个点电荷包围 在任意闭合曲面内时，穿过 该闭曲面的电通量与该点电 荷在闭曲面内的位置无关。
.S
S
q •
S
电场线
S'
q+
r
10
③不包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量恒为零．
由于电场线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 量应该相等。所以当闭合曲面 无电荷时，电通量为零。
斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定
律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生的
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
大学物理静电场的高斯定理
高斯定理的数学表达形式简洁明了，是解决静电场问题的重要
03
工具。
高斯定理在物理中的重要性
高斯定理在物理学中具有广泛 的应用，不仅限于静电场。
它可用于分析恒定磁场、时 变电磁场以及相对论性电磁
场中的问题。
高斯定理是电磁学理论体系中 的重要基石，对于深入理解电 磁场的本质和规律具有不可替
代的作用。
THANKS FOR WATCHING
高斯定理的重要性
总结词
高斯定理是静电场理论中的基本定理之一，它揭示了电场与电荷之间的内在联 系。
详细描述
高斯定理的重要性在于它提供了一种计算电场分布的方法，特别是对于电荷分 布未知的情况。同时，它也揭示了电场线总是从正电荷出发，终止于负电荷， 或者穿过不带电的区域。
高斯定理的历史背景
总结词
高斯定理的发现和证明经历了漫长而曲折的历史过程。
VS
按空间位置分类
静电场可分为点电荷产生的电场、线电荷 产生的电场、面电荷产生的电场等类型。 这些不同类型的电场具有不同的分布规律 和性质。
05
高斯定理的推导过程
利用高斯定理推导电场强度与电通量的关系
总结词
通过高斯定理，我们可以推导出电场强度与 电通量之间的关系，即电场线穿过任意闭合 曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷 量与真空电容率的乘积。
静电场的电场强度与电势具有相对独立性
电场强度与电势之间没有直接关系，改变电场中某点的电势，不会影响该点的电场强度。
静电场的分类
按产生方式分类
静电场可分为感应起电和接触起电两种 方式。感应起电是由于带电体在接近导 体时，导体内部电荷重新分布而产生电 场；接触起电是两个不同物体相互接触 时，由于电子的转移而产生电场。
电学高斯定理
技巧： cos 1 或 cos 0
3. 分具析体高情斯况面，的将各部E 分 d上S积E出的来大；小和方向以及cos的 S
4. 利E 用的高方斯向定；理，建立 E和生场电荷的联系，并说明
5. 在有些问题中，闭合面内的净电荷也要用积分计算。
第十八页，共26页
例2：求均匀带电球体的电场分布。设球体半径为R，球体上
通过曲面S’，反之亦然，故通过
曲面S’的电通量：
e
E
dS
q
S'
0
3. 点电荷在闭合曲面外
进出S’’的电场线的条数相等，净
通量为零，故通过曲面S’’的电通
量：
q
•
e
E dS 0
S ''
第十二页，共26页
q •
S’ S
电场线 电场线
S’’
4. 产生电场的电荷为多个点电荷
. . .
E
二、电通量(Electric Flux)
1.定义：通过任一面的电场线条数
匀强电场中通过平面S的电通量
e ES
θ
S
E
S
e ES ES cos
第七页，共26页
二、电通量(Electric Flux)
均匀电场中通过平面元dS的电通量
de EdS EdS cos
E
dS
dS E
ednSdeSn
所带总电量为Q(Q>0)。
解：本例的电荷分布也具有球对称性，高斯面的选取与电通量的
计算均与上例相同，因此球外场强大小也为:
Q
E 4π 0r 2
(r R) 方向沿径矢向外
与整个球体的电量都集中在球心时的场强相同
当r<R时，高斯面为S’，应用高斯定理:
3. 分具析体高情斯况面，的将各部E 分 d上S积E出的来大；小和方向以及cos的 S
4. 利E 用的高方斯向定；理，建立 E和生场电荷的联系，并说明
5. 在有些问题中，闭合面内的净电荷也要用积分计算。
第十八页，共26页
例2：求均匀带电球体的电场分布。设球体半径为R，球体上
通过曲面S’，反之亦然，故通过
曲面S’的电通量：
e
E
dS
q
S'
0
3. 点电荷在闭合曲面外
进出S’’的电场线的条数相等，净
通量为零，故通过曲面S’’的电通
量：
q
•
e
E dS 0
S ''
第十二页，共26页
q •
S’ S
电场线 电场线
S’’
4. 产生电场的电荷为多个点电荷
. . .
E
二、电通量(Electric Flux)
1.定义：通过任一面的电场线条数
匀强电场中通过平面S的电通量
e ES
θ
S
E
S
e ES ES cos
第七页，共26页
二、电通量(Electric Flux)
均匀电场中通过平面元dS的电通量
de EdS EdS cos
E
dS
dS E
ednSdeSn
所带总电量为Q(Q>0)。
解：本例的电荷分布也具有球对称性，高斯面的选取与电通量的
计算均与上例相同，因此球外场强大小也为:
Q
E 4π 0r 2
(r R) 方向沿径矢向外
与整个球体的电量都集中在球心时的场强相同
当r<R时，高斯面为S’，应用高斯定理:
川大大学物理课件74 磁场的高斯定理和安培环路定理
I4
第七章 恒定电流和恒定磁场
10
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学
B
2. 安培环路定理的举例(非证明)：
无限长直电流的磁场
B dl L
0
Ii
I
i
B :由毕-萨定律: B 0I 方向如图
2πr
L
d B
dl
L:在围 绕载 流导线的垂直平面内的圆回路 B dl Bdl cos Bdl Brd
0 r R,
l
B
d
l
0
r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
第七章 恒定电流和恒定磁场
16
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学
三、 密绕载流螺绕环内外的磁场
解 （1） 对称性分析：
在与环共轴的圆周上磁感应强度
的大小相等，方向沿圆周的切线
2
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学
磁感应线的特点
（1）磁感应线密集的地方磁场强，稀疏的地方磁场弱。
（2）磁感应线是一些无头无尾的闭合的曲线
（3）磁感应线的方向与电流的方向相互服从
右手螺旋定则
第七章 恒定电流和恒定磁场
3
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学
2 磁通量
S B
方向。磁感线是与环共轴的一系
列同心圆。
xd
R
B
第七章 恒定电流和恒定磁场
17
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学 （2）选回路: 半径为R的圆
高斯定理整理版.ppt
于运动电荷和变化的电磁场。
太原理工大学物理系李孟春编写
思考
1) 高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？
s 2) 哪些电荷对闭合曲面 的 Φe 有贡献 ？
3)将 q2 从A移到B，点P电场强度是否变化？
s 4)穿过高斯面 的 Φe 有否变化？
q2 A P* q1
q2 B s
太原理工大学物理系李孟春编写
Φe s E dS
对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外。
Φe
E dS
S
E cosdS
S
太原理工大学物理系李孟春编写
S 为封闭曲面
电场线穿出处
1
π 2
,
dΦe1 0
电场线穿入处
E E2ຫໍສະໝຸດ 22π 2
,
dΦe2 0
dS 2
dS1
1 E1
通过闭合曲面的电通量为穿过整个闭合面的电场线的净根数。
Φe SE cosdS
太原理工大学物理系李孟春编写
三、高斯定理
高斯定理是静电场的一个重要定理，反映电通量和场源电荷之间的关系.
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,
等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 .
Φe
E dS
7)如 SE dS 0 ，则S上各点 E 0
此话对否？举例说明之。
S
S
+q -q
q
太原理工大学物理系李孟春编写
高斯定理应用举例 例1 均匀带电球面，半径R，所带电荷量为q，求电场的分布。
分析电场分布特点 在球坐标中，任意点的电场表示为球坐标函数
太原理工大学物理系李孟春编写
思考
1) 高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？
s 2) 哪些电荷对闭合曲面 的 Φe 有贡献 ？
3)将 q2 从A移到B，点P电场强度是否变化？
s 4)穿过高斯面 的 Φe 有否变化？
q2 A P* q1
q2 B s
太原理工大学物理系李孟春编写
Φe s E dS
对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外。
Φe
E dS
S
E cosdS
S
太原理工大学物理系李孟春编写
S 为封闭曲面
电场线穿出处
1
π 2
,
dΦe1 0
电场线穿入处
E E2ຫໍສະໝຸດ 22π 2
,
dΦe2 0
dS 2
dS1
1 E1
通过闭合曲面的电通量为穿过整个闭合面的电场线的净根数。
Φe SE cosdS
太原理工大学物理系李孟春编写
三、高斯定理
高斯定理是静电场的一个重要定理，反映电通量和场源电荷之间的关系.
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,
等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 .
Φe
E dS
7)如 SE dS 0 ，则S上各点 E 0
此话对否？举例说明之。
S
S
+q -q
q
太原理工大学物理系李孟春编写
高斯定理应用举例 例1 均匀带电球面，半径R，所带电荷量为q，求电场的分布。
分析电场分布特点 在球坐标中，任意点的电场表示为球坐标函数
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Ò k
e i1
k
SEigdS
qi
i1 0
当把上述点电荷换成连续带电体时
e
vv
Ò EdS
dq
0
3、关于高斯定理的说明
•高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理； •高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比 库仑定律更为广泛； •通过任意闭合曲面的总通量只取决于面内电荷的代数和，而 与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关.但电荷的空间分布 会影响闭合面上各点处的场强大小和方向； •高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产 生的，并非只有曲面内的电荷确定；
•当闭合曲面上各点 E =时0，通过闭合曲面的电通量 反之e, 0
不一定成立. •高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
电通量计算
四、高斯定律应用举例
当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定 理能比较方便求出场强。求解的关键是选取适当的 高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
E＝ dN dS
可见,电场线密集处电场强度大,电场线稀疏处电 场强度小
2、几种典型的电场线分布 负点电荷
正点电荷
+
+
等量异号点电荷
+2q q
++ ++ + + + + +
不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场
3、电场线的性质 •电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远）， 终止于负电荷（或终止于无穷远） •任何两条电场线都不能相交。 •非闭合曲线
大学物理学电子教案
静电场的性质与计算 6-3 电场线 高斯定理
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线,
这些曲线与电场强度
r E
之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场 强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小相 等。
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
由电场线的连续性可知，穿 过 S的电场线都穿过同心球 面 S ，故两者的电通量相等， 均为 q ε 0 。
结论说明，单个点电荷包围 在任意闭合曲面内时，穿过 该闭曲面的电通量与该点电 荷在闭曲面内的位置无关。
S
S
q •
S
电场线S' Nhomakorabeaq+
r
③不包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量恒为零．
由于电场线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 量应该相等。所以当闭合曲面 无电荷时，电通量为零。
2时 , e 0 2时 , e 0
•闭合曲面:规定取外法线方向 (自内向外) 为正。因此有:
电场线由内向外穿出: e 0,为正 电场线由外向内穿入: e 0,为负
整个闭合曲面的电通量为
en
en
en
E
e=Ò Su E u vgdu S v
三、高斯定理
高斯简介
1、内容 静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值等于该
①待求场强的场点应在此高斯面上，
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到 积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和， 最后由高斯定理求出场强。
高斯定理的应用
高斯定理的应用举例
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电球体的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场 4.均匀带电无限长直线的电场 5. 均匀带电无限长圆柱面的电场 6. 均匀带电球体空腔部分的电场
曲面所包围的所有电荷电量的代数和 q i 除以 ε0 ，
与闭曲面外的电荷无关．
数学表达式: e SE dS 10 i qi
2、静电场高斯定理的验证 ①包围点电荷的同心球面S的电通量都等于 q ε 0 ②包围点电荷的任意闭合曲面S的电通量都等于q ε 0
对于包围点电荷q的任意封闭曲面
可在外或内作一以点电荷为中 心的同心球面 S ,使 S 内只有点 电荷，如图所示。
q
④点电荷系的电通量等于在高斯 面内的点电荷单独存在时电通量 的代数和。
设 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，
同时面外也有多个电荷qk+1-qn 利用场强叠加原理
n
E = Ei i1
S
q k1 qk2
q2
q
q1
k
qn
通过闭合曲面S的电通量为
n
e=乙 SEgdSSEigdS i1
根据③，不包围在闭合曲面内的点电荷对闭合曲 面的电通量恒为0，所以
4、关于电场线的几点说明 •电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在； •电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况; •电场线图形可以用实验演示出来。
二、电场强度通量
1、定义 在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称 为穿过该面的电通量，用 e 表示。
(1)匀强电场中的电通量
E与平面S垂直时
e＝ES
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E d S E 4 r 2
0
q
q
E 40 r2
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
++ +
+ +
Rr
+
+
+++
+q + +
+ + +
高斯定理的应用
rR时，高斯面包围电荷q，
E＝
q
4 0
r
2
结果表明：均匀带电 球面外的电场分布象 球面上的电荷都集中 在球心时所形成的点
++ + +
+
+
E与平面S 有夹角θ时 引入面积矢量 S Se n
eΦ ＝ e＝ EE vS cgSvos
v
E
en
S
S
(2)非均匀电场的电通量
面元dS d eE d S
e EdS
S
n
dS
E
S
将曲面分割为无限多个面元 d S,r由于面元很小， 所以每一个面元上场强可以认为是均匀电场 ,
2、电通量的正负
•面非元闭合与d曲Sr 面间:的Er电夹通角量的:结 果可正可负，完全取决于
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：