拓扑空间的紧性

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拓扑空间的紧性

by pluskid, on 2011-07-26, in Mathematics

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参加暑期讨论班其中有一场是我讲，第一次这样子讲数学的东西，有点紧张，于是先在这里整理一下。内容大致是拓扑空间的紧性。

关于空间的紧性，我们在之前的分析中已经见过了：例如在实数轴上的有界闭区间就是典型的紧集，紧集具有很多优良的性质，比如我们知道在有界闭区间上的连续函数一定是一致连续的，并且能取到最大值和最小值。所以，在将空间的概念推广到一般的拓扑空间之后，我们也希望将紧性这一优良性质也带到拓扑空间中来。为此，我们需要找到什么是紧集最本质的东西。在实数轴上的紧集

，有如下的一些等价刻画：

1. 是有界闭集

2. 的任意无限子集必存在极限点

3. 中的任意序列必有收敛子列

4.

的任意开覆盖必有有限子覆盖

其中第一条无法在拓扑空间中使用，因为“有界”的概念无法定义。第二或者第三条曾经被认为是实质性的，但是后来由于

Tychonoff 定理，人们发现最后一条才是真正好的定义，因此将其作为拓扑空间紧性的定义，而第二条和第三条分别被叫做“极限点紧（Limit point compact ）”和“序列紧（Sequencially compact ）”。下面是正式内容，在给出定义之前，我先给出一个提纲：

首先当然是要给出拓扑空间紧性的定义。

接下来当然是会举一些例子，一方面是把枯燥的定义从抽象中拉回来，另一方面也是非常重要的是给出紧空间的存在性的证据，因为定义总是可以随便给的，这样子我可以给出具有任意优良性质的定义来，然而所定义的东西如果是不存在的话，相关的一切性质其实都是空谈。

然后我们将介绍从已有的紧空间构造新的紧空间的方法：包括集合的交、并、补，以及子空间、商空间和积空间——这一系列都是标准套路。在这里将会出现一个大定理，就是刚才提到的 Tychonoff 定理。

接下来将暂时中断一下，讨论一下稍微具体一点的度量空间中的紧性。因为度量空间更加具体一些，所以能得到的性质也更丰富一些。最后我们将简要介绍一些将非紧空间（non-compact space ）转化为紧空间（compactification ，紧化）的初步知识。

啊，不过，由于一次报告是两个人一起讲的，这次我大致负责前半部分，因此从度量空间的紧性开始那部分内容就不列在这里了。定义 1：设

是一个集合，它的一族子集

如果满足

则称为 为 的一个覆盖，或 覆盖 。特别地，如果 是一个拓扑空间，而且每个 ， 都是 中的开集，则称 为 的一个开覆盖。

定义 2：拓扑空间 称为紧的，如果它的任意开覆盖有有限子覆盖。

其实根据这个定义里的描述，也可以看出紧性之所以好的一些端倪了，不精确地说，利用紧性我们可以把无限的东西转化为有限的情况来处理。我们最熟悉的紧空间的例子应该就是

中的闭区间了，在数学分析中已经证明过它是紧的。其他我们还可以举一些简单的例子，比如：

任意由有限点集所构成的拓扑空间是紧的。因为无论在它上面给怎么样的拓扑，它所有的开集的个数总是有限的，所以任意开覆盖本身就是有限覆盖了。具有余有限拓扑（cofinite topology ）的空间是紧的。因为假设 是具有 cofinite topology 的空间 的一个开覆盖，从 中任选一个非空的元素 ，由 cofinite

topology 的定义，知道

只有有限个元素 ，对于每一个

，

可以找到一个

使得

，这样，

就是

的开覆盖

的一个有限子覆盖。

非紧空间的例子也很好举，例如

上的区间

就不是紧的，因为我们可以构造一个开覆盖

，它的任意一个有限子集族总是无法覆盖

。

有了基本的例子之后，下面我们来讨论如何从已有的紧空间构造新的紧空间。从集合的角度来看，构造新的集合常用的操作有 、 ，从空间的角度来看则有子空间（）、商空间（）、积空间（

），下面我们就依次讨论在这些操作下紧性是否能得到保持。

首先是紧空间的交集，因为任意拓扑空间的交集上，最自然的拓扑就是这一系列包含映射所诱导的始端拓扑（Initial Topology ），如果这些拓扑空间互相之间没有什么关系的话，讨论起来就比较复杂了，通常我们会讨论所有要取交的拓扑空间是一个大的拓扑空间的子空间的情况，这个时候它们的交集实际上就是子空间的一种特殊情况，所以我们放到讨论子空间的紧性的时候再讨论。

其次是并集。任意多个并的情况显然是不对的，例如 上可数个紧集

，

的并集是

本身，并不是紧的。不过有限个的情况表现还是良好的。

命题 1：若 是空间 的有限个紧子集，则它们的并也是紧的。

证明：记 。设

是 的任一开覆盖，则显然它也是每一个

，

的开覆盖，因此对于每个

，存在

的一个

有限子集族

仍然覆盖

。令

则显然 是 的一个有限子集族，并且它仍然覆盖 。

接下来我们讨论拓扑子空间的紧性。一个紧空间的子空间是否一定是紧的呢？显然不一定，明显的反例是紧空间 的子空间

，但是如果限制到闭子集的话，就

可以做到了：

定理 1：紧空间的闭子集是紧的。

注意这里我们称一个空间的子集是紧的，实际上是在说这个子集配上子空间拓扑之后是一个紧空间。在证明这个定理之前，我们先给一个方便的验证子空间紧性的判定定理：