拓扑空间的紧性

« 久别重逢的 std::bad_alloc MSTC 月刊第三期（十周年特辑） »Klein Bottle拓扑空间的紧性by pluskid, on 2011-07-26, in Mathematics29 comments参加暑期讨论班其中有一场是我讲，第一次这样子讲数学的东西，有点紧张，于是先在这里整理一下。

内容大致是拓扑空间的紧性。

关于空间的紧性，我们在之前的分析中已经见过了：例如在实数轴上的有界闭区间就是典型的紧集，紧集具有很多优良的性质，比如我们知道在有界闭区间上的连续函数一定是一致连续的，并且能取到最大值和最小值。

所以，在将空间的概念推广到一般的拓扑空间之后，我们也希望将紧性这一优良性质也带到拓扑空间中来。

为此，我们需要找到什么是紧集最本质的东西。

在实数轴上的紧集，有如下的一些等价刻画：1. 是有界闭集2. 的任意无限子集必存在极限点3. 中的任意序列必有收敛子列4.的任意开覆盖必有有限子覆盖其中第一条无法在拓扑空间中使用，因为“有界”的概念无法定义。

第二或者第三条曾经被认为是实质性的，但是后来由于Tychonoff 定理，人们发现最后一条才是真正好的定义，因此将其作为拓扑空间紧性的定义，而第二条和第三条分别被叫做“极限点紧（Limit point compact ）”和“序列紧（Sequencially compact ）”。

下面是正式内容，在给出定义之前，我先给出一个提纲：首先当然是要给出拓扑空间紧性的定义。

接下来当然是会举一些例子，一方面是把枯燥的定义从抽象中拉回来，另一方面也是非常重要的是给出紧空间的存在性的证据，因为定义总是可以随便给的，这样子我可以给出具有任意优良性质的定义来，然而所定义的东西如果是不存在的话，相关的一切性质其实都是空谈。

然后我们将介绍从已有的紧空间构造新的紧空间的方法：包括集合的交、并、补，以及子空间、商空间和积空间——这一系列都是标准套路。

在这里将会出现一个大定理，就是刚才提到的 Tychonoff 定理。

接下来将暂时中断一下，讨论一下稍微具体一点的度量空间中的紧性。

因为度量空间更加具体一些，所以能得到的性质也更丰富一些。

最后我们将简要介绍一些将非紧空间（non-compact space ）转化为紧空间（compactification ，紧化）的初步知识。

啊，不过，由于一次报告是两个人一起讲的，这次我大致负责前半部分，因此从度量空间的紧性开始那部分内容就不列在这里了。

定义 1：设是一个集合，它的一族子集如果满足则称为 为 的一个覆盖，或 覆盖 。

特别地，如果 是一个拓扑空间，而且每个 ， 都是 中的开集，则称 为 的一个开覆盖。

定义 2：拓扑空间 称为紧的，如果它的任意开覆盖有有限子覆盖。

其实根据这个定义里的描述，也可以看出紧性之所以好的一些端倪了，不精确地说，利用紧性我们可以把无限的东西转化为有限的情况来处理。

我们最熟悉的紧空间的例子应该就是中的闭区间了，在数学分析中已经证明过它是紧的。

其他我们还可以举一些简单的例子，比如：任意由有限点集所构成的拓扑空间是紧的。

因为无论在它上面给怎么样的拓扑，它所有的开集的个数总是有限的，所以任意开覆盖本身就是有限覆盖了。

具有余有限拓扑（cofinite topology ）的空间是紧的。

因为假设 是具有 cofinite topology 的空间 的一个开覆盖，从 中任选一个非空的元素 ，由 cofinitetopology 的定义，知道只有有限个元素 ，对于每一个，可以找到一个使得，这样，就是的开覆盖的一个有限子覆盖。

非紧空间的例子也很好举，例如上的区间就不是紧的，因为我们可以构造一个开覆盖，它的任意一个有限子集族总是无法覆盖。

有了基本的例子之后，下面我们来讨论如何从已有的紧空间构造新的紧空间。

从集合的角度来看，构造新的集合常用的操作有 、 ，从空间的角度来看则有子空间（）、商空间（）、积空间（），下面我们就依次讨论在这些操作下紧性是否能得到保持。

首先是紧空间的交集，因为任意拓扑空间的交集上，最自然的拓扑就是这一系列包含映射所诱导的始端拓扑（Initial Topology ），如果这些拓扑空间互相之间没有什么关系的话，讨论起来就比较复杂了，通常我们会讨论所有要取交的拓扑空间是一个大的拓扑空间的子空间的情况，这个时候它们的交集实际上就是子空间的一种特殊情况，所以我们放到讨论子空间的紧性的时候再讨论。

其次是并集。

任意多个并的情况显然是不对的，例如 上可数个紧集，的并集是本身，并不是紧的。

不过有限个的情况表现还是良好的。

命题 1：若 是空间 的有限个紧子集，则它们的并也是紧的。

证明：记 。

设是 的任一开覆盖，则显然它也是每一个，的开覆盖，因此对于每个，存在的一个有限子集族仍然覆盖。

令则显然 是 的一个有限子集族，并且它仍然覆盖 。

接下来我们讨论拓扑子空间的紧性。

一个紧空间的子空间是否一定是紧的呢？显然不一定，明显的反例是紧空间 的子空间，但是如果限制到闭子集的话，就可以做到了：定理 1：紧空间的闭子集是紧的。

注意这里我们称一个空间的子集是紧的，实际上是在说这个子集配上子空间拓扑之后是一个紧空间。

在证明这个定理之前，我们先给一个方便的验证子空间紧性的判定定理：理：定理 2：设是的子空间，是紧的，当且仅当任意一族覆盖的中的开集包含一个覆盖的有限子族。

这里的意思是说，如果是的子空间，判断的紧性的时候，用中的开集来覆盖还是用中的开集来覆盖都是一样的。

这个定理可以省去我们在验证的时候的一些麻烦。

证明：首先证正向：设是紧的，是一族覆盖的中的开集，则是的一个开覆盖，根据紧性，存在有限子覆盖显然对应的的子族仍然覆盖。

再证反过来，设是的一族开集，它覆盖了，则根据子空间拓扑的定义，对于每个，，存在中的开集使得，因此是一族覆盖的中的开集，由定理假设，它包含一个有限子族仍然覆盖，则对应的是的一个有限子族，并且仍然覆盖，由此得是紧的，即证。

定理 1 的证明：设是紧空间，是的闭子集，是的任一开覆盖，则是的一个开覆盖，由的紧性，存在的一个有限子族仍然覆盖。

如果则将它从中去掉，否则不做任何操作，得到是的一个有限子族，并且它是覆盖的。

证完。

借助子空间紧性的结论，对于刚才提到的紧集的交的紧性，我们可以有这样一个推论：推论 1：设是一个拓扑空间，是的一族紧且闭的子集。

那么它们的交也是紧的。

由任意闭集的交集是闭集，并且这个交集是其中某一个（任意一个）紧集的子集，根据定理 1 立即得到。

接下来我们讨论紧空间的商空间，紧性在这里的表现是很好的，但是我们并不直接给出商空间的紧性，而是叙述一个更一般的结论：定理 3：设是连续映射，是紧空间，那么也是紧的。

由商映射的连续性以及到上性（满射），根据这个定理立即可以得到任意紧空间的商空间仍然是紧的。

证明：设是的一个开覆盖，则由的连续性知是的一个开覆盖。

由的紧性，存在的一个有限子集族仍然覆盖。

则对应的集族是的一个有限子集族并且仍然覆盖。

证完。

由这个定理可以立即得到，如果两个拓扑空间和是同胚的，其中一个紧那么另一个必定也是紧的。

换句话说，紧性是一个拓扑性质。

这样的性质通常可以用来方便地区分两个（在同胚意义下）不同的拓扑空间，因为要证明两个空间同胚，只要找出一个同胚映射就可以了，但是要证明两个空间不同胚，则是要证明不可能有同胚存在，通常是一个更加困难的问题，比较好解决的情况通常都用反证法来做了，就是假设同胚，但是又发现两个空间的某个拓扑性质是不一样，就导出矛盾。

例如，用紧性可以证明球面和平面是不同胚的。

类似地可以证明和是不同胚的。

不过，这里既然提到了同胚和连续映射，就正好也说一下紧空间的好处吧（因为我实在不知道这一小部分内容放在哪里讲比较好了）。

我们知道从上的紧集打出去的连续函数一定是一致连续的，一致连续是比连续要强得多的条件，不过在一般的拓扑空间中并不能方便地定义“一致连续”的概念，不过从紧空间打出去的连续映射仍然具有一些良好的性质：定理 4：设是连续映射，如果是紧空间，是 Hausdorff 空间，则是闭映射。

闭映射是一个很好的东西，例如我们有一个非常直接的推论：推论 2：设是连续的双射，若是紧空间，是 Hausdorff 空间，则是同胚映射。

为了证明定理 4 ，我们再引入另外两个结论，当然它们本身也是相当重要的，因此也是作为定理出现。

首先我们要注意到，在一般的拓扑空间中，紧集不一定是闭的（类比中：有界闭集等价于紧集）。

例如最开始我们举的余有限拓扑空间中，任意集合都是紧的，然而只有有限集才是闭的。

不过，如果加上了 Hausdorff 条件的话，这一点就可以得到保证了：定理 5：Hausdorff 空间中的紧子集是闭集。

这个定理的证明过程本身是比较有用的，因此被抽取出来也作为一个定理：定理 6：设是 Hausdorff 空间中的紧子集，，则存在中互不相交的开集、，使得和。

证明：，由的 Hausdorff 性，存在互不相交的开集和，使得、。

当取遍时，我们得到是的一个开覆盖，根据的紧性，存在的一个有限子集族仍然覆盖。

下面令则和为互不相交的开集，且、。

证完。

定理 5 的证明：设是 Hausdorff 空间中的紧子集，我们现在证明是开集。

对任意的，根据定理 6 ，存在中互不相交的开集、使得、，因此，即证。

定理 4 的证明：任取中的闭集，由的紧性和定理 1 知是紧集，由的连续性和定理 3 知是紧的，再由定理的 Hausdorff 性和定理 5 知是闭的。

即证。

下面我们再回到主线：接下来只剩下积空间的紧性的讨论了。

紧性在这里的表现也是优良的，Tychonoff 定理保证了任意一族紧空间的积空间也是紧的。

这是一个很要紧的地方，因为我们在最开始列了 4 条中紧性的刻画，其中末尾 3 条在度量空间中是等价的，然而在一般的拓扑空间中则不行了，那究竟选哪一条作为紧性的定义呢？正是Tychonoff 定理一锤定音——选择当前的这个定义，可以得到 Tychonoff 定理的结论，而其他的定义则无法做到。

不过，在讲 Tychonoff 定理之前，我们先来看一下有限个紧空间的积空间的紧性。

虽然有限个的情况证明方法和 Tychonoff 中任意积的证明完全不一样，但是有限的情况会引出一个本身也很有用的 Tube Lemma ，所以是不容错过的。

由于有限积可以由两两积归纳得到，并且我们之后会有更加一般的情况，这里只给出两个紧空间的积空间的描述：定理 7：若和是紧空间，则也是紧的。

证明这个定理需要用到下面的 Tube Lemma ：定理 8 (Tube Lemma)：设和是拓扑空间，其中是紧的，若中的任一开集包含了“切片” ，则存在中的开领域使得也包含在中。

证明过程可以参考下图，图取自 Munkres 的《Topology》证明：首先，由于是开集，对于每一点，存在其开领域，特别地，我们可以取积拓扑中的基开邻域。