2.2.1综合法与分析法(3)
2.2.1综合法和分析法
1
1.综合法:(顺推证法)(由因导果法)
例:已知a, b 0, 求证:a(b2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) 4abc
知识点提示： 基本不等式：a b 2 ab (a 0, b 0) a 2 b 2 2ab
1.综合法:(顺推证法)(由因导果法)
因为log19360<log19361=2， 所以
1 2 3 2 log 5 19 log 3 19 log 2 19
思考题：
已知a, b是正数, 且a b 1, 1 1 求证： 4. a b
当堂训练： 课本P42，练习T1.
课后作业： 课本P44，A组，T1。
例:已知a, b 0, 求证:a(b2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) 4abc
2 证明 : : bb 2 c 222bcaa 0 c2 bc, , 0 证明 2 2 证明 : b c 2bc, a 0 aabb 2 c ) ) 22abc. ( ( 2 c 2 2 abc. 2 a (b 2 c 2 ) 2abc. 同理, bbcc 2 a ) ) 22abc. ( ( 2 a 2 2 abc. 同理, 同理, b(c a 2 ) 2abc. aabb 2 c ) ) bcc 2 a ) ) 44abc. ( ( 2 c 2 2 b( ( 2 a 2 2 abc. 2 a (b c 2 ) b(c 2 a 2 ) 4abc.
P Q1
Q1 Q2
Q 2 Q3
Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
例1:如图,△ABC在平面α外, AB P, BC Q, AC R. 求证:P,Q,R三点共线.
2.2.1综合法与分析法
∴ b(c2+a2) ≥ 2abc. ∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
探究
思考…
这些证明过程有什么相似点？
这些证明过程都是从已知 条件和某些数学定义、公理、 定理等出发，通过推理推导出 所要的结论.
知识要 点
一般地，利用已知条件和某 些数学定义、公理、定理等,经过 一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明方法 叫做综合法.其特点是“由因导 果”.
2
2
2
2
2
a + c - ac = ac,
即 因此 从而
2
2
（a - c） = 0.
a=c.
A=C. ⑤
2
由 ② ③ ⑤ ,得
π A=B=C= . 3 所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
1 1 1 = + + . a b c
1 1 1 a + b + c < + + 成立. a b c
2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的 垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求 证 AF⊥SC.
S
提示
此题采用分析法.
A
E
F
C B
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF S 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB A 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
高二数学人教A版选修1-2课件：2.2.1《 综合法与分析法》
只需证11－ ＋ccssooiinnss2222xxxx＝211－＋cscsoioinsns2222yyyy，
即证ccooss22xx－ ＋ssiinn22xx＝2（ccooss22yy－＋ssiinn22yy），
栏 目
即证 cos2x－sin2x＝12(cos2y－sin2y),
链 接
∵BB1∩AB＝B，∴CB⊥平面AA1B1B.
又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴CB⊥AB1.
∵四边形A1ABB1为菱形，
∴AB1⊥A1B.
栏
∵CB∩A1B＝B，
目 链
∴AB1⊥平面A1BC.
接
(2) 若
x，y≠kπ
＋
π 2
(k∈Z)
，
试
用
分
析
法
证
明
：
1－tan2x 1＋tan2x
＝
1－tan2y 2（1＋tan2y）.
证明：(1)∵ sin θ与 cos θ的等差中项是 sin x，等比中项是 sin
y，
∴ sin θ＋cos θ＝2sin x，①
sin θcos θ＝sin2y，②
①2－②×2，可得
栏 目
(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝4sin2x－2sin2y，
链
即 4sin2x－2sin2y＝1.
接
∴ 4×1－c2os 2x－2×1－c2os 2y＝1,
即 2－2cos 2x－(1－cos 2y)＝1.
故证得 2cos 2x＝cos 2y.
(2)要证11＋ －ttaann22xx＝2（11－＋ttaann22yy），
只需证 cos 2x＝21cos 2y.
由(1)的结论可知，cos 2x＝12cos 2y 显然成立．
2.1综合法与分析法
1
2.2.1 综合法和分析法
2
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和 综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法分析法证明问题；了解 综合法分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法和分 析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法
练习1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+a2
≥2ac,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 练习2:课本P9
【思维总结 】 2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性
因为;( a b ) 2 0 成立
a+b 所以 2
a+b ab 成立 所以 2 ab成立
如图所示，已知BE，CF分别为△ABC的边AC， AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点。 A 求证：HG⊥EF 证明：考虑待证的结论 F G E “HG⊥EF” 根据命题的条件：G是EF的中点， 连接EH,FH, 只要证明△EHF为等腰三角形，即 B C H EH=HF 根据条件CF⊥AB，且H是BC的中点，可知Rt△BCF斜 边上的中线
1 所以 BM AC 2 1 同理 DM AC 2
变式1
这样就证明了△BMD为等腰三角形
所以 MN ⊥ BD
引例2
a 3 b 3 a 2b ab 2 已知a, b R , 且a b, 求证 :
综合法分析法
特点:“由因导果”
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形．
这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
特点： 执果索因 即： 要证结果Q，只需证条件P
例 1求 证3725
解:要证 3 72 5 只需证 ( 3 7)2(25)2
展开,只需证 21 5
只需证 21<25 因为 21<25成立,所以 3 72 5成立.
分析基本不等式：a
+ 2
b
n n
2α 2α
=
2
1 - tan 2β (1 + tan 2β
)
.
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
分 析 :由 A,B,C成 等 差 数 列 可 得 什 么 ?A C 2B B 600(为 什 么 ?)
由 a,b,c成 等 比 数 列 可 得 什 么 ?b 2 ac
人教版数学高二-新课标 《综合法和分析法》 精品课件
• 要证上式成立，可证三括号中式子都不 为负(这一条件对保证上述结论成立是充 分的，但它并不必要)，注意到a2＋b2－ 2ab＝(a－b)2≥0，b2＋c2－2bc＝(b－c)2≥0，
c2＋a2－2ca＝(c－a)2≥0，故结论为真．
• 欲证①式右部分，只需证a2＋b2＋c2－ 2ab－2bc－2ca<0，即要证(a2－ab－ac) ＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)<0.
• 自我校对：①直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法 ②综合法 ③分析法 ④从已知条件出发，以已知 的定义、公理、定理为依据，逐步下推， 直到推出要证明的结论为止的证明方法 ⑤从问题的结论出发，追溯导致结论成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立 的条件和已知条件或已知事物吻合为止 的证明方法 ⑥由因索果 ⑦已知条件 ⑧结论 ⑨执果索因 ⑩结论 ⑪已知 条件 ⑫三段论式-1-
-1-
[解] 要证：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)， 即证 logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)>0(*) ∵logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝log1n＋1n－logn＋1(n＋2) ＝1－logn＋1n·logn＋1(n＋2)，
logn＋1n ∵n>1，logn＋1n>0 且 logn＋1(n＋2)>0. ∴logn＋1n·logn＋1(n＋2)<14[logn＋1n＋logn＋1(n＋2)]2 ＝14log2n＋1[n(n＋2)]＝14logn2＋1(n2＋2n)<14[logn＋1(n＋1)2]2 ＝1
-1-
[证明] 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1 ＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立， 只需证a＋a＋b＋b c＋ab＋＋＋cc＝3， 即a＋c b＋b＋a c＝1 成立， 即需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac 成立．
2.2.1综合法与分析法
证法1:对于正数a,b, 有
（ a
2 b ） ≥0
证法2:要证 ab ≤ a b 2 只要证 2 ab ≤ a b 只要证 0 ≤ a 2 ab b
2 0 ≤ ( a b ) 只要证
a b 2 ab ≥ 0 a b ≥ 2 ab ab ≥ 2 ab
只需证a
而
a b b b a a b 0
a ( a b ) b( a b ) ( a b )( a b ) 2 0
a b b 2 a ， a 2 b 所以 b a
当且仅当a=b时取等号
当且仅当 a=b 成立 所以
a b a b成立 b a
(a+b)(a2 ab b2 ) ab(a b)
即 a3 b3 a2b ab2 ， 所以命题得证.
（变式练习）
1 1. 若a 0, b 0, 求证：a b 2 2. ab
ab 2. 若 a 1, b 1, 求证： 1. 1 ab
直接证明
1 概念 直接从原命题的条件逐步推得命题成立 2 直接证明的一般形式：
本题条件 已知定义 本题结论 已知公理 已知定理
引例一:证明不等式: x2 2 2 x( x R) 证法1:由 x2 2 2 x ( x 1)2 1 1 0 x2 2 2 x 2 ( x 1) 0 ( x 1)2 1 1 0 证法2:由
分析：由A，B，C成等差数列可得什么？
由a，b，C成等比数列可得什么？
怎样把边，角联系起来？ 点评：解决数学问题
文字语言
时，学会语言转换； 还要细致，找出隐含 条件。
图形语言
2.2.1综合法和分析法
分析法 又叫逆推证法或执果索 . , 因法
用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示 : , 为
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显 成立的条件
例 2 如图 2.2 1 所示 , SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的 垂线, 垂足为F.求证 AF SC.
a,b, c成等比数列转化为符号语言就是 ac. , b 此时,如果能把角和边统一起 ,那么就可以进一 来 步寻找角和边之间的关 , 进而判断三角形的形 系 状, 余弦定理正好满足要求 .于是,可以用余弦定理 为工具进行证明 .
2
证明 由A,B, C成等差数列有2B A C. , 因为A,B, C为ΔABC的内角 所以A B C π. , π 由 ① ②, 得B . 3 2 由a,b, c成等比数列有b ac. ,
1 即证 cos α sin α cos2 β sin2 β , 2 1 2 即证1 2 sin α 1 2 sin2 β , 2 即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
2 2
由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表示已知条件定义、定 理、公理 等 , 用Q 表示要证明的结论 则上述过 , 程可用框图表示为:
π 例3 已知α, β kπ k Z , 且 2 sin θ cos θ 2 sin α , ① sin θ cos θ sin β ,
2 2 2
②
1 tan α 1 tan β 求证 : . 2 2 1 tan α 2 1 tan β
2.2.1综合法和分析法
1、 求 证 ： cos sin cos 2 2、 已 知 tan sin a , tan sin b 求 证： （a b ) 16ab
2 2 2
4
4
3、 已 知a , b, c R , a b c 1 1 1 1 求 证（ ： 1)( 1)( 1) 8 a b c
3 7 2 5成立
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发， 逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但 由于我们很难想到从“21<25”入手，所以 用综合法比较困难.
• [点评] • (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； • 2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步 寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论 归结为一个明显成立的条件即可。 • (3) 用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等关联词语．
a+b 练习：证明不等式： 2
ab
(a>0,b>0).
综合法
证法1:
因为;( a b ) 0
2
a+b 证法2:要证; ab 2 只需证;a + b 2 ab
分析法
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
a+b ab 成立 所以 2
只需证;a + b 2 ab 0
课堂小结
1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已 知入手能找到证明的途径，则用综合法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述 中要注意语言的规范性和逻辑性.
选修2-2—— 综合法和分析法
2．2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法1．问题导航(1)什么是综合法，什么是分析法？两种证明方法的特点是什么？(2)综合法的推理过程是什么？(3)综合法与分析法有什么区别和联系？2．例题导读通过P85例1的学习，应学会利用综合法证明数学问题的思路和方法及推理步骤．通过P87例2和P88例3的学习，学会分析法证明数学问题的思路、方法和推理模式．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．()(3)分析法就是从结论推向已知．()(4)所有证明的数学问题均可使用分析法证明．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．综合法是()A．执果索因的逆推证法B．由因导果的顺推证法C．因果分别互推的两头凑法D．原命题的证明方法答案：B3．要证明a＋a＋7<a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法答案：C4．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用已知条件和导数与函数单调性的关系证得了结论，应用了综合法的证明方法．答案：综合法1．综合法是一种直接证明的方法，是由已知推出正确结论的推理过程．它的基本思路是“由因导果”，由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后推出待证的问题．其逐步推理，实际上是寻找“已知”的必要条件，综合法又叫顺推证法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法．2．分析法是数学中常用的一种直接证明方法．它是从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理，简单地说，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件．分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”．3．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，是解决数学问题的常用的思维方法．一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．4综合法(1)在锐角三角形中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .[证明] ∵在锐角三角形中，A ＋B >π2，∴A >π2－B .∴0<π2－B <A <π2，又∵在⎝⎛⎭⎫0，π2内正弦函数是单调递增函数，∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，即sin A >cos B ．① 同理sin B >cos C ，② sin C >cos A ．③由①＋②＋③，得sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . (2)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，PB 与平面ABC 成30°角．求证：①CM ∥平面P AD ； ②平面P AB ⊥平面P AD .[证明] ①以C 为原点，以CD 、CB 、CP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．由∠PBC ＝30°，|PC |＝2，得|BC |＝23，|PB |＝4，不难得到D (1，0，0)，B (0，23，0)，A (4，23，0)，P (0，0，2)，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32.设CM →＝xDP →＋yDA →，则x ＝34，y ＝14.∴CM →，DP →，DA →共面．∵CM ⊄平面 P AD ，∴CM ∥平面P AD . ②作BE ⊥P A 于点E (图略)，∴E (2，3，1)，BE →＝(2，－3，1)． ∴BE →·DA →＝0，∴BE ⊥DA .又∵BE ⊥P A ，∴BE ⊥平面P AD ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .利用综合法证明数学问题的三个步骤分析条件选择方向―→仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法↓转化条件组织过程―→把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路↓适当调整回顾反思―→解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取1．(1)求证：当x ∈R 时，x 2>3x －3. 证明：∵x 2－(3x －3)＝x 2－3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34，又∵x ∈R ，∴⎝⎛⎭⎫x －322≥0，∴⎝⎛⎭⎫x －322＋34>0，即x 2－(3x －3)>0， ∴x 2>3x －3.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)．其中m 为常数，且m ≠－3.①求证：{a n }是等比数列；②若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N ，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列． 证明：①由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3. 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，∴{a n }是等比数列． ②∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， ∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3， ∴a 1＝1.b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3，∴当n ∈N 且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3，∴b n b n －1＋3b n ＝3b n －1， ∴1b n －1b n －1＝13. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1，公差为13的等差数列．分析法若a >0，求证：a ＋a ＋3<a ＋1＋a ＋2. [证明] 要证a ＋a ＋3<a ＋1＋a ＋2， 只需证(a ＋a ＋3)2<(a ＋1＋a ＋2)2， 即证2a ＋3＋2a （a ＋3）<2a ＋3＋2（a ＋1）（a ＋2），只需证2a （a ＋3）<2（a ＋1）（a ＋2）， 只需证a （a ＋3）<（a ＋1）（a ＋2）， 只需证a 2＋3a <a 2＋3a ＋2， 只需证0<2，因为0<2显然成立，所以a ＋a ＋3<a ＋1＋a ＋2成立．分析法证明数学问题的范围、方法、技巧2．(1)已知α，β均为锐角，且α＋β≠π2，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，求证：α＋β＝π4.证明：要证α＋β＝π4，由于α，β均为锐角，所以只需证tan(α＋β)＝1，即证tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，只需证tan α＋tan β＋tan αtan β＝1， ∵(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1成立，∴α＋β＝π4得证．(2)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证明：要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，只需证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是证c a ＋b ＋a b ＋c ＝1.只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 需证b 2＝c 2＋a 2－2ac ·cos 60°，需证B ＝60°. ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法与分析法的综合应用设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．[证明] 法一：要证f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数，只需证明其图象的对称轴为y 轴， 即只需证－b 2a －12＝0，只需证a ＝－b .由已知，得抛物线f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与抛物线f (x )的对称轴x ＝－b2a关于y 轴对称，∴－b2a－1＝－⎝⎛⎭⎫－b 2a . 于是得a ＝－b .∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数． 法二：记F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 欲证F (x )为偶函数，只需证F (－x )＝F (x )，即只需证f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 由已知，函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，而函数f (x )与f (－x )的图象也是关于y 轴对称的，∴f (－x )＝f (x ＋1)．∴f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝f ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．一方面从问题的已知条件出发，经逻辑推演导出中途结果，另一方面从问题的结论出发，回溯到中途，即导出同一个中途结果，从而沟通思路使问题得到解决．3．(1)若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .因为a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ca >0，且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .因此lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .(2)在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，∴x ＝b 2c ，y ＝c 2b，即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥（b ＋1）（c ＋1）成立．只需证a ＋1≥（b ＋1）＋（c ＋1）2即可．也就是证2a ≥b ＋c .而2a ＝b 2c ＋c 2b，则只需证b 2c ＋c2b ≥b ＋c 成立即可，即证b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ， 即证(b －c )2≥0成立， 上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．(本题满分12分)如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：(1)平面BDO ⊥平面ACO ； (2)EF ∥平面OCD .[证明] (1)因为OA ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以OA ⊥BD .2分因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ， 又OA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACO .4分又因为BD ⊂平面BDO ，所以平面BDO ⊥平面ACO .6分(2)取OD 的中点M ，连接EM ，CM ，则ME ∥AD ，ME ＝12AD .7分因为ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ， 因为F 为BC 的中点，8分所以CF ∥AD ，CF ＝12AD ，所以ME ∥CF ，ME ＝CF ， 10分所以四边形EFCM 是平行四边形，所以EF ∥MC . 又因为EF ⊄平面OCD ，MC ⊂平面OCD . 所以EF ∥平面OCD .12分 [规范与警示](1)在 处易忽略“菱形”这一条件的运用导致无法证明面面垂直．在 处往往不能正确的构造出平行四边形导致无法得到线线平行，最后导致第(2)问结论无法证出．(2)几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理，注意各个定理的应用格式，掌握常见的辅助线的作法，寻找好定理所需的条件，如本例中构造平行四边形说明线线平行．同时证明时要注意应用题中的条件，注意隐含条件的挖掘，如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明．1．关于综合法和分析法的说法错误的是( )A ．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B ．综合法又叫顺推证法或由因导果法C ．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D ．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：选C.由综合法、分析法的定义可知，C 错误． 2．在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解析：选A.∵tan A ·tan B >1，∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 为锐角，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0，∴A ＋B >π2，∴C <π2，∴△ABC 是锐角三角形，故选A.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)和(1，1)，若0<c <1，则实数a 的取值范围是________．解析：将x ＝－1，y ＝3和x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝a －b ＋c ，1＝a ＋b ＋c ，∴b ＝－1，∴a ＋c ＝2，又∵0<c <1，∴0<2－a <1，∴1<a <2.答案：(1，2)4．设a >0，b >0，证明a ＋b2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 即证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，上式显然成立，故a ＋b2≥ab 成立．[A.基础达标]1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．类比法解析：选B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．2．欲证2－3＜6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2＜(6－7)2 B ．(2－6)2＜(3－7)2 C ．(2＋7)2＜(6＋3)2 D ．(2－3－6)2＜(－7)2解析：选C.A 中，2－3<0，6－7<0，平方后不等价；B 、D 与A 情况一样；只有C 项，2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(3＋6)2.3．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0，1]，则b －a 的最小值为( ) A ．2 B ．1 C.13 D.23解析：选D.由函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0，1]，则a ＝13，1≤b ≤3；或13≤a ≤1，b ＝3，故b －a 的最小值为23，故选D.4．已知a ，b ，c 为三条不同的直线，且a ⊂平面M ，b ⊂平面N ，M ∩N ＝c .有下列命题：①若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直；②若a ∥b ，则必有a ∥c ；③若a ⊥b ，a ⊥c ，则必有平面M ⊥平面N .其中正确的是( )A ．①B ．②C ．③D ．②③解析：选B.由线线平行、线线垂直的判定和性质，可知只有②正确．5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：选A.∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab . ∴2aba ＋b ≤1， ∴2ab a ＋b≤ab . 又∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，故选A. 6．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到A 为钝角的结论，对三边a ，b ，c 应满足的条件是a 2________b 2＋c 2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．答案：>7．若抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，则点P 的坐标为________．解析：设点P 在直线y ＝4x ＋m 上，将y ＝4x ＋m 代入y ＝4x 2，得4x 2－4x －m ＝0，令Δ＝0，得m ＝－1.∴4x 2－4x ＋1＝0，∴x ＝12，y ＝1.答案：⎝⎛⎭⎫12，18．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的表面上与点A 距离为233的点集形成一条曲线，这条曲线的长度为________．解析：这条曲线在面ADD 1A 1上的一段是以A 为圆心，233为半径，π6为圆心角的一段圆弧，在面A 1B 1C 1D 1上的一段是以A 1为圆心，33为半径，π2为圆心角的一段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为：3(π6·233＋π2·33)＝536π.答案：536π9．△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：B <π2.证明：由条件得2b ＝1a ＋1c，即b ＝2ac a ＋c.又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴cos B ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫2ac a ＋c22ac＝（a 2＋c 2）（a ＋c ）2－4a 2c 22ac （a ＋c ）2.∵a ，b ，c 均为正数， ∴a 2＋c 2≥2ac ， ∴(a ＋c )2≥4ac ，∴(a 2＋c 2)(a ＋c )2－4a 2c 2 ≥2ac ·4ac －4a 2c 2 ＝4a 2c 2>0，即cos B >0，又∵0<B <π，∴B <π2.10．已知x >0，y >0，求证：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.证明：要证明(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，即证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3.∵x >0，y >0，∴x 2y 2>0，即证3x 2＋3y 2>2xy ， ∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立，故(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[B.能力提升]1．若2m＋4n<22，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y ＝1的右上方 B ．直线x ＋y ＝1的左下方 C ．直线x ＋2y ＝1的右上方 D ．直线x ＋2y ＝1的左下方解析：选D.由均值不等式得2m ＋4n ≥22m 4n ＝22m ＋2n ，∴22m ＋2n <22，∴m ＋2n <1，故选D.2．过x 2＋y 2＝10x 内一点(5，3)有n 条弦，它们的长度构成等差数列，最小弦长为数列首项a 1，最大弦长为数列的末项a n ，若公差d ∈⎣⎡⎦⎤13，12，则n 的取值范围是( )A ．{4}B ．[5，7]C ．(7，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B.A (5，3)，圆心O (5，0)，最短弦为垂直OA 的弦，∴a 1＝8，最长弦为直径，∴a n ＝10，公差d ＝2n －1，∴13≤2n －1≤12，∴5≤n ≤7.3．函数y ＝a 1－x (a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m ·n >0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析：由函数y ＝a 1－x (a >0且a ≠1)恒过定点A (1，1)， 点A 在直线mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1. 又m ·n >0， ∴m >0，n >0. 1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·m n ＝2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)．答案：44．设a >b >0，m >0，用分析法证明b a <b ＋ma ＋m成立的充分条件是________．解析：∵a >b >0，m >0.要证b a <b ＋m a ＋m成立，只需证ba ·a (a ＋m )<b ＋m a ＋m·a (a ＋m )成立即可．即证ab ＋bm <ab ＋am 成立， 只需证bm <am 成立，即证(b －a )m <0成立即可， 由已知可知上式显然成立． 答案：(b －a )m <05．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点任作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：AB 过x 轴上的一个定点．证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OA ⊥OB ，∴y 1y 2x 1x 2＝－1， ∴y 21y 22＝x 21x 22，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴4p 2x 1x 2＝(x 1x 2)2，∴x 1x 2＝4p 2.设直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)，设直线AB 的方程为y －y 1＝k (x －x 1)(k ≠0)，且k 存在．令y ＝0，得x ＝－y 1k＋x 1， 由y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减，得y 22－y 21＝2p (x 2－x 1)，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 2＋y 1， ∴x ＝－y 1k ＋x 1＝－y 1（y 1＋y 2）2p＋x 1 ＝－y 21－y 1y 2＋2px 12p ＝－y 1y 22p， 又y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 2＝x 1x 2，∴x 1x 2＝m 2，∴m 2＝4p 2，m ＝2p .即AB 过x 轴上一定点为(2p ，0)．经检验，当AB 斜率不存在时，m ＝2p 也适合，故AB 过x 轴上的一个定点．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，n ∈N *，其中A 、B 为常数．(1)求A 与B 的值；(2)证明数列{a n }为等差数列；(3)证明不等式5a mn －a m a n >1对任何正整数m ，n 都成立．解：(1)由已知得S 1＝a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝7，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝18.由(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3S 2－7S 1＝A ＋B ，2S 3－12S 2＝2A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝－28，2A ＋B ＝－48， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－20，B ＝－8.(2)证明：由(1)得(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝－20n －8.①∴(5n －3)S n ＋2－(5n ＋7)S n ＋1＝－20n －28.②②－①，得(5n －3)S n ＋2－(10n －1)S n ＋1＋(5n ＋2)S n ＝－20.③∴(5n ＋2)S n ＋3－(10n ＋9)S n ＋2＋(5n ＋7)S n ＋1＝－20.④④－③，得(5n ＋2)S n ＋3－(15n ＋6)S n ＋2＋(15n ＋6)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝0. ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴(5n ＋2)a n ＋3－(10n ＋4)a n ＋2＋(5n ＋2)a n ＋1＝0.∵5n ＋2≠0，∴a n ＋3－2a n ＋2＋a n ＋1＝0.∴a n ＋3－a n ＋2＝a n ＋2－a n ＋1，n ∈N *.又a 3－a 2＝a 2－a 1＝5，∴数列{a n }为等差数列．(3)证明：由(2)可知，a n ＝1＋5(n －1)＝5n －4，要证5a mn－a m a n>1，只需证5a mn>1＋a m a n＋2a m a n，∵a mn＝5mn－4，a m a n＝(5m－4)(5n－4)＝25mn－20(m＋n)＋16，∴只需证5(5mn－4)>1＋25mn－20(m＋n)＋16＋2a m a n，即证20m＋20n－37>2a m a n.∵2a m a n≤a m＋a n＝5m＋5n－8<5m＋5n－8＋(15m＋15n－29)＝20m＋20n－37.∴5a mn－a m a n>1.。
综合法
也就是要证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，
所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证.
例4已知a,b是正整数,求证: .
证明:要证 成立，
只需证 成立，
即证 .
即证
也就是要证 ,即 .
该式显然成立,所以 .
巩固练习
1.下列正确命题的序号是________.
二：课题探究
1.直接证明:从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性.
2.综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.
3.分析法:一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法.
求证: .
证明:依题意,:a,b,c三数成等比数列, , ,
又由题设: , ,
而 .
例3.设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
证明：(用分析法思路书写)
要证a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
即证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)
日照实验高中2007级导学案——推理与证明
2.2.1综合法与分析法
学习目标：
1．理解综合法和分析法的概念及区别
2．熟练的运用综合法分析法证题
学习重难点:
综合法和分析法的概念及区别
(完整版)数学：2..2..1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)
数学：2.2.1《综合法和分析法》教案教学目标：<一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
<二）过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；<三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
第一课时 2.2.1 综合法和分析法<一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知“若，且，则”，试请此结论推广猜想.<答案：若，且，则）2. 已知，，求证：.先完成证明→ 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2> + b(c2 + a2> + c(a2 + b2> > 6abc.tFAx82mkCG分析：运用什么知识来解决？<基本不等式）→ 板演证明过程<注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.tFAx82mkCG框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.tFAx82mkCG分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件<内角和）2. 练习：①为锐角，且，求证：. <提示：算）② 已知求证：3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，. <教材P100 练习 1题）<两人板演→ 订正→ 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. 的三个内角成等差数列，求证：.3. 作业：教材P102 A组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法<二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式.<讨论→ 板演→ 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证.讨论：能用综合法证明吗？→ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 <注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件<已知条件、定理、定义、公理等）为止.tFAx82mkCG框图表示：要点：逆推证法；执果索因.③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.先讨论方法→ 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面<指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.tFAx82mkCG提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .tFAx82mkCG3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析>，从“已知”推“可知”<综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. <框图示意）tFAx82mkCG三、巩固练习：1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.略证：正弦、余弦定理代入得：，即证：，即：，即证：<成立）.2. 作业：教材P100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？<原因：偶次）2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？tFAx82mkCG3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。
学案1：2.2.1综合法和分析法
(2)分析法
①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．
②框图表示： .
自我检测
1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()
(2)证明 由题意知即证 ＞ 成立．[6分]
∵a≠b，且a、b都为正数，
∴ ＝ ＝ ＝(a －b )2，
＝ ＝ab( － )2＝(a －b )2，[8分]
即证(a －b )2－(a －b )2＞0，
即证(a －b －a ＋b )(a －b ＋a －bБайду номын сангаас)＞0，
需证 ＞0，[10分]
即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[12分]
探究点一
例1【解析】综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．
【答案】∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)
《综合法和分析法》导学案
导学目标：
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．
自主梳理
1．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．