二次型的几何分类及其应用
二次型的应用
二次型的应用在数学的学习和应用中,二次型的理论是十分重要的.它不仅是代数中的重要理论,更是连接代数与几何的有力桥梁事实上,二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题.学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解,也可以对几何有更为形象的认识.因此,掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的.应用一 二次型理论在二次曲面分类上的应用1. 应用实例例1 判别方程124322=++z xy x 所代表的二次曲面的类型.解 方程左边为一三元二次型,不妨设22(,,)342f x y z x xy z =++,则f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002023A易求得A 的特征值为1,2,4321-===λλλ.由（8）式知所求曲面的标准方程为()()11212121221221=-+zy x 因此,该曲面是单叶双曲面,如图1.图1 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形例2 判别方程0122222=-+-++y x yz xz xy 所代表的二次曲面的类型.解 记 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110A,0B ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,x U y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则原方程可写为10T T U AU B U +-=A 的特征值及对应的标准正交特征向量分别为：21=λ,)11,1,1T Q =；)(12二重-=λ,)21,1,0T Q =-,)31,1,2TQ =-令()123,,0Q Q Q Q ⎫⎪⎪⎪==⎪⎪ 则有)1,1,2(--=diag AQ Q T ,(0,2,0)T B Q d =-作正交变换U QV =,其中111(,,)T V x y z =,则（9）式化为(2,1,1)10T V diag V dV --+-=即01221212121=----y z y x配方,得0)1(2212121=-+-z y x作平移变换12x x =,112+=y y ,12z z =,得02222222=--z y x这就是原曲面方程的标准方程,它表示一个顶点在原点,旋转轴为x 轴的圆锥面,如图2.图2 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形应用二 二次型理论在多元函数极值问题中的应用应用实例例1 求函数32(,)31512f x y x xy x y =+--的极值 解 (,)f x y 的几何描述如图3.图3 的几何图形),(y x f(,)f x y 在2R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yfx f即⎩⎨⎧=-=-+01260153322xy y x 得到四个驻点：（2,1）,（-2,-1）,（2,1）,（-1,-2） .进一步计算得x yfy y x f x x f 6,6,622222=∂∂=∂∂∂=∂∂即63()36x y H X y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭矩阵()1262,1612H ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定矩阵,故（2,1）是极小值点,此时极值为-28；矩阵126(2,1)612H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭是负定矩阵,故（-2,-1）是极大值点,此时极值为28；矩阵612(1,2)126H ⎛⎫= ⎪⎝⎭,612(1,2)126H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭都是不定矩阵,故（1,2）,（-1,-2）都不是极值点.例2 求函数222(,,)23264f x y z x y z x z y =+++-+的极值.解 (,,)f x y z 在3R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组000fx fy f z⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩ 即220440660x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩得到驻点为（-1,-1,1）. 进一步计算得22222,0,0f f fx x y x z∂∂∂===∂∂∂∂∂22220,4,0f f fy x y y z ∂∂∂===∂∂∂∂∂ 22220,0,6f f fz x z y z∂∂∂===∂∂∂∂∂ 即200()040006H X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而()H X 是正定的,所以(,,)f x y z 在（-1,-1,1）点取得极小值,此时极值为-6.(,,)f x y z 的几何描述如图4.图4 ),,(z y x f 的三维切面图应用三 半正定二次型在不等式证明中的应用举例该方法证明不等式的基本思路是：首先构造二次型,然后利用二次型半正定性的定义或等价条件.判断二次型(矩阵)为半正定,从而得到不等式[7].例１ 设,a b R ∈,试证222a b ab +≥.证 要证明的不等式可写成2220a b ab +-≥,所以只需证矩阵1111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭半正定.由于A 的一阶、二阶主子式分别10>,0A =,所以A 半正定,从而二次型()22(,),2a f a b a b A a b ab b ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭半正定.(,)f a b 的几何描述如图5.图5 ),(b a f 的几何图形例2 已知ABC ∆的三边分别为,,a b c ,面积为S ,试证222a b c ++≥. 证 利用余弦定理及面积公式,将问题转化为2222(,)2cos sin f a b a b a b ab C C =+++--22222(cos )a b ab C C =+-22224sin()6a b ab C π=+-+其矩阵为22sin()62sin()26C A C ππ⎛⎫-+ ⎪= ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭由于A 的一阶、二阶主子式分别20>, 22664[1sin ()]4cos ()0A C C ππ=-+=+≥,所以A 半正定,从而二次型(,)f a b 半正定,即结论成立.例3（Cauchy 不等式） 设,(1,2,,)i i a b i n = 为任意实数,则))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni i ni i i b a b a证 记22122112112122121)()(2)()(),(x b x x b a x a x b x a x x f ni i ni i i ni i ni i i ∑∑∑∑====++=+=因为对于任意1x ,2x ,都有0),(21≥x x f ,故关于1x ,2x 的二次型),(21x x f 是半正定的.因此,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即0121112≥∑∑∑∑====ni i ni ii ni ii ni ibb a ba a故得))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a .例4 证明2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n .证 记221211(,,,)()n nT n i i i i f x x x n x x X AX ===-=∑∑ ,其中12(,,,)T n X x x x = ,111111111n n A n ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪⎪---⎝⎭经过初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n A 00000110~ , 于是A 的特征值为10,,,n n n -,于是A 为半正定矩阵,即二次型是半正定的,从而得12(,,,)0n f x x x ≥ ,即2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n应用四 二次型在统计中的应用4.1 关于统计距离许多统计问题都涉及到样本点距某中心的距离,在大多数情况下,通常的欧氏距离是不能令人信服的[8].考察p 维变量12(,,,)T n X x x x = 对应p 维空间的点),,,(21p x x x M ,假设M 的位置可以变化,为了体现各个变量在变差大小上的不同以及有时存在的相关性,需要建立统计距离.定义 4.1 设p p B ⨯为正定矩阵,称12(0,)()Td M X BX =为一种距离,对于不同的B 的选择,可得到不同的统计距离.如回归诊断中使用较多的Mahalanabis 距离,Cook 距离等.为考虑问题的方便,考察2(0,)T d M X BX =,而T X BX 为正定矩阵B 的二次型.4.2 二次型在求自由度中的应用在统计学中,自由度是指总体参数估计量中变量值独立自由变化的个数.它产生于利用样本量估计参数的时候.实际上自由度也是对随机变量的二次型（也可以称为二次统计量）而言的.∑ji j i ij x x ,α的秩的大小反映了n 个变量中能自由变动的无约束变量的多少,因此我们所说的自由度就是二次型的秩[9].例1 求统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度.解∑∑==-=-ni i n i i x n x x x 12212)(21121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i x n x∑∑==-+-=n i j i ni i x x n x n 112)1()11(AXX T其中)(21n x x x X =,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=n n nn n n n n nA 111111111111我们可以通过矩阵的初等变换求得A 的秩为1-n ,所以统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度为1-n .应用五 二次型理论在耦合谐振子问题中的应用在量子力学、固体物理、量子光学、分子光谱等领域,经常遇到一系列的耦合谐振子问题,因此,研究耦合谐振子的解也就显得尤为重要,解决此类问题的关键是使体系的哈密顿量退耦,可以利用二次型理论构造一幺正交变换矩阵精确求解质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的能谱[10].质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的哈密顿量为2121222212112221212222p p x x m x m m p m p H γλωω+++++=式中λ和γ分别为坐标耦合强度和动力耦合强度,上式的哈密顿量就是一个二次型.H 的矩阵为122112121202120020022002m A m m m γγωλλω⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ 关于H ,详细的分析和讨论请参阅参考文献[10].。
二次型的标准化课件
03
标准化后的二次型性质
特征值与特征向量
特征值
标准化后的二次型矩阵的特征值 是唯一的，它们是二次型矩阵的 重要属性，用于描述矩阵对向量 进行变换的效果。
特征向量
特征向量是与特征值对应的向量 ，它描述了矩阵对向量进行变换 的具体方式。
矩阵的相似性
相似矩阵
如果存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵A和B是 相似的。相似矩阵具有相同的特征值 和特征向量。
计算标准型矩阵
将特征向量单位化，然后根据特征值和特征向量构造标准型矩阵。标准 型矩阵是经过线性变换后得到的矩阵，其形式简单易于分析。
具体操作方法
手动计算
对于较小的二次型矩阵，可以通过手动 计算的方式进行标准化。具体操作步骤 包括计算行列式、求解特征多项式、求 解特征值和特征向量、单位化特征向量 等。
线性变换的性质
线性变换是连续的
如果一个函数是线性的，那么它在整个定义域上是连续的。
线性变换是可逆的
对于任何非零向量，线性变换都有一个逆变换，可以将其映射回原 向量空间。
线性变换是可结合的
对于任何三个向量和三个线性变换， (T1T2)T3=(T1T3)T2=T1(T2T3)。
线性变换的矩阵表示
1 2 3
02
二次型的标准化
线性变换
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种映射， 它将一个向量映射到另一个向量，同 时保持向量的加法和标量乘法的性质 。
线性变换的数学表达式
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、可结合的 等。
线性变换可以用矩阵表示，如果一个 矩阵A可以将一个向量集映射到另一 个向量集，则A是一个线性变换。
第1节 二次型的基本概念(11.23)
3 1 2
X2
Y2
2
⎞⎛ ⎞ ⎟ ⎜ y1 ⎟ ⎟⎜y ⎟ ⎠⎝ 2⎠
0
θ=π 3
Y1
X1
5 2 1 2 g ( y1 , y2 ) = y1 + y2 = 1 2 2
对于任意给定的二次型 f ( x ) = x T Ax , 是否都存在可 逆 线 性 替 换 x = Cy , 将 其 化 为 只 含 平 方 项 的 如 下 形 式 ：
2 2 ,⋯ , xn 互确定: A 的主对角元依次是 x12 , x2 的系数 ; 而
它的( i , j ) 元是 xi x j 的系数的一半 , 其中 i ≠ j .
推论 设二次型 f = x T Ax = x T Bx , 如果 AT = A 和 BT = B, 则 A = B.
例题
2 f ( x1 , x2 ) = 10 x12 − 6 x1 x2 − 3 x2
引例 在平面解析几何中, 2元 2次方程表示曲线. 例如,
x 2 + y 2 = 1, x 2 + 4 y 2 = 1, x 2 − y 2 = 1 分别表示圆, 椭圆和双曲线.
问题
一般的2元 2次方程 ax 2 + 2bxy + cy 2 = 1 表示的是什么 曲线？
推 而 广 之 , 3元 2次 方 程
Y2 X2
( x1 , x2 ) P ( y1 , y2 )
⎛ x1 ⎞ ⎛ cos θ ⎜ ⎟=⎜ ⎝ x2 ⎠ ⎝ sin θ
− sin θ ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ cos θ ⎠ ⎝ y2 ⎠
0
Y1
θ
向量的内积与二次型
02
CHAPTER
二次型
二次型的定义
定义
二次型是形式为$f(x, y, z) = ax^2 + bxy + cy^2 + ...$的数学表达式，其中$a, b, c...$是实数。
特点
二次型具有对称性，即$f(x, y, z) = f(y, x, z)$。
意义
二次型在数学、物理和工程等领域有广泛应用，如描 述物体运动轨迹、计算物体受力等。
向量内积在二次型中的应用
1
向量内积可以用于计算向量的长度和夹角，这些 信息在二次型中非常重要，因为它们决定了二次 型的大小和形状。
2
向量内积还可以用于计算向量的外积（叉积）， 外积在二次型中用于确定向量的方向和旋转。
3
在二次型中，向量内积还可以用于判断向量是否 正交（垂直），这对于确定二次型的对称性和正 定性非常重要。
向量的内积与二次型
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 二次型 • 向量的内积与二次型的关系 • 二次型的几何意义 • 特殊二次型
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
向量内积的定义
两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$之间的夹角。
内积的几何意义
向量内积表示两个向量在方向上的相似程度，即它们的夹角余弦值。
内积的性质
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角，且$0 leq theta leq pi$。
二次型的几何分类及其应用
二次型的几何分类及其应用田金慧内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。
其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。
最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。
在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用1导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。
事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。
学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。
因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。
但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。
本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。
当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。
2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
第四章3二次型及其标准型4正定二次型
y 2
, ,
y n
)
d2
y 2
,
d n
y n
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
10
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 C AC B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 合同，记为A B.
性质：①反身性
②对称性
等价
③传递性
因此，化二次型为标准型的问题就转化为如何使实对称 矩阵合同于一个对角阵的问题。
z
0
0 1 2 t Qt
0 1 6 0
则得
f 2z12 2z22 6z32 t12 t22 t32
24
而此标准形对应的可逆变换矩阵为
1 1 3 1 2 0
C2 C1Q 1
1
1
0
0
0 0 1 0 1 6
1 2 1 2
0
36 1 6 16
1 2 1 2
0
例：求二次型 f 的矩阵，并求二次型 f 的秩。
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3 x32 4 x1 x2 x2 x3
解：
1 2 0
A 2 0
1
2
0
1
3
2
f 的秩=R(A)=3.
例：求二次型 f 的矩阵A：f ( x1, x2 , x3 ) x12 4x1x2 3x22.
1 1
16
1 2
P
1
2
0
1 1
6
3
1
1 6 2
1
,
3
1
P 1 AP
P AP
1
2
6 3
f y12 y22 2 y32
第六章 二次型-PPT课件
在高中数学课程中我们就学习过圆锥曲线，比如椭圆、 双曲线、抛物线等，从代数上看，它们的方程分别为
f(x ,y ) a x 2 2 b y 2 2 1 , f(x ,y ) x y 1 ,
实际上，它们是高等数学课程中学习过的 k 2的
二元 k 次齐次函数，即有 f( tx ,ty ) tk f(x ,y ) , t R
yT
3 0
0 7
y
因此得到椭圆的标准形
3y127y22 48
% ex6105.m h=ezplot('5*x1^2-4*x1*x2+5*x2^2-48'),hold on % 绘出二次型的几何图形，这里为椭圆 set(h,{‘Color’},{‘r’}); %颜色为红色 set(h,{'LineWidth'},{2}); %线宽为2 axis square; grid on; %产生正方形坐标轴，加上网格
x 1 ( a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 2 1 x 1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n n x n )
[x1,x2,
a11x1 a12x2 ,xn]a21x1 a22x2
得 A 的特征值为 1 4 ,2 1 ,3 2 .
对于 1 4 ，解 (A1I)x0 ， 有
2 2 0 1 1 0 A4I2 3 2 0 1 2
0 2 4 0 0 0
可得特征向量
2
1
2
.
1
对于 2 1 ，解 (A2I)x0 ， 有
1 2 0 AI2 0 2
第九章 二次型
2．R上的二次型： 实二次型——实数域上的二次型.
（1） 实二次型等价的充要条件（实对称矩阵合同的充要条 件）.为此：
定理3 设是数域F上一个n 阶对称矩阵,则总存在F上一个n阶可逆矩 阵P使证,即A与对角阵合同.
例：将化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角 型）. 解：（略）P= . 将Th3应用于二次型得：
定理4 设q(x,x,…x)== xAX是数域F上一个n元二次型,则总可以通过 变量替换=. 把它化为,其中P为可逆矩阵.
的等价标准形的化法.
三 教学过程
1．二次型及表示
（1） 定义 数域F上n个文字x,x,…x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文
字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以
写成：
q(x,x,…x)=ax+ax+…+ax
+2axx+…+2axx
9.1 二次型
一 教学思考 1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,
但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容 上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理 论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的
同.
合同关系的性质：
1 自反性： A∈M(F),A与A合同.(∵A=).
2 对称性：若A与B合同,则B与A亦合同.事实上:
数学中的二次型和正交矩阵的应用
数学中的二次型和正交矩阵的应用数学作为一门抽象的学科，涉及到各种各样的数学概念和数学工具。
其中，二次型和正交矩阵在数学中具有很重要的作用，可以应用于各种各样的问题中。
一、二次型二次型是指形如 $q(x) = x^TAx$ 的二次多项式，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 的实数矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。
二次型在各种领域中都有广泛应用，例如在物理学中，二次型被用于描述能量函数和拉格朗日方程；在经济学中，二次型被用于描述效用函数和收益函数。
在矩阵理论中，二次型的概念很重要。
它可以用来描述和分析矩阵的性质，例如矩阵的正定性、半正定性和负定性等。
当二次型 $q(x)$ 是正定的时，表示 $A$ 是正定的。
当二次型 $q(x)$ 是半正定的时，表示 $A$ 是半正定的。
当二次型 $q(x)$ 是负定的时，表示 $A$ 是负定的。
这些性质在数学和物理中都有很多应用。
二、正交矩阵正交矩阵是指一个 $n \times n$ 的实数矩阵 $Q$，满足$Q^TQ=I$，其中 $Q^T$ 表示 $Q$ 的转置矩阵，$I$ 表示 $n$ 维单位矩阵。
正交矩阵被用于描述线性变换，它可以将一个向量从一个余弦系转化成另一个余弦系中。
例如，在三维空间中，我们可以将一个坐标系转换为另一个坐标系中，通过引入一个正交矩阵，从而将向量在不同坐标系中的表示互相转换。
这种转换在计算机图形学中非常重要，可以用来进行三维旋转和平移等操作。
正交矩阵还有一个非常重要的性质，就是它保持向量的长度和角度不变。
也就是说，如果一个向量在一个正交矩阵的作用下变换为另一个向量，那么这两个向量之间的长度和角度是不变的。
这个性质在很多领域中都有应用，例如在图像处理中，我们可以用正交矩阵来描述图像的旋转和平移操作，从而实现图像的变形和缩放。
三、应用实例二次型和正交矩阵在各种领域中都有广泛的应用。
例如，在量子力学中，二次型被用于描述自由粒子的能量函数和哈密顿量；在统计学中，二次型被用于描述方差和协方差矩阵；在机器学习中，正交矩阵被用于描述特征之间的相关性和协方差矩阵，从而可以进行特征选择和降维。
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
几何与代数-二次型
1 = [1, 1, 0]T, 为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交
的特征向量, 再解方程组
1 1
1 1
2 0
x=
得2 = [1, 1, 1]T . (此处求法比较特别)
此外A的对应于特征值 = –2的一个特征
向量为3 = [1, 1, –2]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 4E–A = 1
2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = [1, 1, 0]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 初等 1 1 2
4E–A = 1 1 2 行变换 0 0 0
2 2 4
00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
aij = aji
n
aijxixj
i, j =1
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
§6.1 二次型
定义: 对于方阵A, B(未必是实对称), 若存在可
逆矩阵P, 使得PTAP = B, 则称A与B合同，
记为A ~B.
易见, 矩阵间的合同关系满足
(1) 反身性: A ~A; (2) 对称性: A ~B B ~A; (3) 传递性: A ~B, B ~C A ~C. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系.
二次型在中学数学中的应用
二次型在中学数学中的应用摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。
二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。
二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。
在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。
此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。
关键词 二次型 标准形 对称矩阵1. 引言二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。
二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。
二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。
最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。
2. 正文二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下：文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。
定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。
定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。
或秩等于1．定理 3 对于实二次型12(,,,)'n f x x x X A =X ，其中A 是实对称的，下列条件等价：1) 12(,,,)n f x x x 是半正定的;2) 它的正惯性指数与秩相等地;3) 有可逆矩阵C ，使321'd d d AC C=,n i d i .....2,1,0,0=≥，其中;4) 有实数矩阵C ，使得'A C C =;5) A 的所有主子式皆大于或等于零(所谓主子式即行与列指标相同的子式)。
二次型及其矩阵表示
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。
二次型的标准形及其在几何中的应用
◎蒋
艳‘ 李 玻 （ １ ． 重庆 能源职业学院 ， 重庆
【 摘要】 正交变换可以保持 向量的内积和长度不变， 从
而保持 图形的形状 不 变， 并依 此来 确保 变换 前后 图形 的 面 积和体 积不变 ， 但计 算过 程较为繁 杂． 拉格 朗 日配 方法可 以 通过 较为简便 的过 程将 二次 型 转化为标 准形 ， 但 不 能保持 变换 前后 图形 围成 的 面积和体 积 不变． 为 了充分 利用 这 两 种方法的优点 ， 本 文提 出了与正 定二 次型有 关 的一 些定理 和推论 ， 并得到 了求解 正定 二次型面积和体 积 的简便方法．
ｔ ｙ ２ ＝ Ｙ，
Ｌ ｙ ＝ Ｙ２，
２ 一 ， 则 二 次型 ， ） ， ） 能通 过
可 逆 线 性 变 换 （ Ｙ ） ＝ （ － １ １ ） （ ） 转 化 成 标 准 形 ， （ ｚ ，
）＝ ＋ ， 曲线， （ ： ， Ｙ ２ ）＝１ 所 围图形 的面积仍为 由上可知 ， 两种不同的标准化 方法得 到的 面积都 为 订 ． 但并不意味着对 于任意 的二次 型 ， 通 过这两 种方 法得 到 的 面积是相等 的． 因为只有 正交 变换法 才能 保证 图形 的几 何 形状不变 ， 虽然配方法的计算过程 简便 ， 但 它却不 能保证 图 形 的几何形 状不变 ． 那么， 在什 么条件下 ， 我们可 以通 过
化 为标 准形． 由于， （ ， Ｙ ）＝ ＋ ２ ｘ ｙ＋ ２ ＝（ ＋ Ｙ ） ＋ ，
记Ａ ＝（ ） ， ＝（ ｌ ， ２ ， …， ） ， 则 二次 型 ， （ Ｉ ， ： ， …， ）可 以写成 ｆ＝ Ａ ｘ ． 其 中， Ａ 为对称矩 阵 ， 称 为二
， ， ｙ Ｉ ）： 二 ＋ ． 由 于
线性代数中二次型的题型
线性代数中二次型的题型线性代数中的二次型是代数分析学中应用最多的一类方程，它在数学、物理、化学、经济学等许多领域有广泛的应用，也是求解具体问题的重要工具。
本文将从定义、表达式推导、种类、求解方法、应用等方面介绍二次型的定义、性质以及在数学中的应用。
首先来定义二次型，二次型是一类方程，它的一般形式可以表示为ax+bx+c=0，其中a、b、c均为实数，x为未知数，用来求解未知数x的值。
可以看到，在二次型中，x的系数可以为1，也可以为0，但是不能为负数。
二次型的表达式推导要从其最基本的几何意义出发。
二次型可以表示为ym-xm-a=0，其中m为展开系数，x、y、a均为实数。
原始二次型可以分为两种情况，即y=ax+bx+c或x=ay+by+c，其中a、b、c均为实数。
在这两种情况下，展开系数m可以分别用展开系数a、b、c的积代替，即m=abc。
根据二次型的形式，将其分为三种，即完全平方型、二次分母型和二次型系数不全等式，而这三种二次型的求解方法也有各自的技巧： 1、完全平方型二次型的求解方法，即把原式化为完全平方的形式，再用平方根的原理来解题。
例如：2x+6x+5=0，可以化为(2x+3)=11，于是，x=3±√11/2，即x=3±√55/2，正解为x=3±5.5/2，即x=3.75或0.25。
2、二次分母型二次型的求解方法，即把原式化为一元二次分母型，再用小学代数中的分离变量求解。
例如：x+4x+5=0，即(x+4x+1)+4=0，可化为(x+2)=3，则x＝2±√3，即x＝2±1.732，正解为x＝3.732或0.268。
3、二次型系数不全等式的求解方法，即把原式改为一元二次型和一元一次型的和，再用小学代数中的解一元二次方程求解。
例如：3x+2x-7=0，其一元二次型为3x+2x=7，一元一次型为2x=7，原式可化为(3x+2)+18=0，则x＝2±√18，即x＝2±3√2，正解为x＝2.966或0.034。
二次型
因此 二次型可记作 fxTAx 其中A是一个对称矩阵 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵 f 也叫做对称矩阵A的二 次型 对称矩阵的秩就叫做二次型 f 的秩
二次型的标准形与规范形 对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变 换xCy 使二次型只含平方项 fk1y12k2y22 knyn2 这种只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式) 如果二次型的标准形形如 fy12y22 yp2yp12 yn2 则这种标准形称为二次型的规范形 注 xCy
p2 p3 1 2 1 2 (1, 1, 0, 0)T (0, 0, 1, 1)T
1 p4 (1, 1, 1, 1)T 2
例1 求一个正交变换xPy 把二次型 f 化为标准形 其中 f(x1 x2 x3 x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4 解 二次型的矩阵为
0 1 A 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
矩阵A的对应于2341的正 交的单位化的特征向量为
p2 p3 1 2 1 2 (1, 1, 0, 0)T (0, 0, 1, 1)T
矩阵A的特征值为 13 2341 矩阵A的对应于13的单位化 特征向量为
C 3 2 2 6 1 1 1 >>> 2 2 6 1 0 0 6 1 1
z2 2 ( y2 2 y3) z3 6 y3
z1 2 ( y1 y3)
***
**
例1 化二次型 f 为标准形 并求所用的变换矩阵 其中 fx122x225x322x1x22x1x36x2x3
解 配方可得 fx122x1x22x1x32x225x326x2x3 (x1x2x3)2x22x322x2x32x225x326x2x3 (x1x2x3)2x224x2x34x32 (x1x2x3)2(x22x3)2
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二次型的几何分类及其应用田金慧内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。
其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。
最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。
在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用1导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。
事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。
学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。
因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。
但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。
本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。
当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。
2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。
定义 在数域F 上，含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次函数22212111222(,,,)n nn n f x x x a x a x a x =+++n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1）称为n 元二次型，简称二次型【2】。
当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。
本文仅讨论实二次型。
若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成12,1(,,,)nT n ij iji j f x x x a x xX AX ===∑ （2）其中，111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x xX x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵也把f 叫做对称矩阵A 的二次型；同时A 的秩也称为二次型f 的秩。
定义 仅含有平方项的二次型222121122(,,,)n n n f y y y d y d y d y =+++ （3）称为二次型的标准形。
对于二次型，主要问题是：如何寻求一个可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=n nn n n nnn yc y c y c x y c y c y c x221112121111 （4） 将其化为标准型。
定理 任意n 元实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =都可经正交变换X PY =化为标准形12221122T n n n f y y y Y Y λλλλλ⎛⎫ ⎪=+++=⎪ ⎪⎝⎭其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值。
例2.1 利用正交变换化二次型1212(,)2f x x x x =化为标准型。
解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110A特征多项式为：()()211111E A λλλλλλ--==-=-+-所以A 的特征值为1,121-==λλ。
当11=λ时，解()10E A x -=得线性无关的特征向量()T1,11=ξ，单位化得T P )1,1(211=。
当12-=λ，解()10E A x --=得线性无关的特征向量()T1,12-=ξ，单位化得T P )1,1(212-=。
令()12,P P P ⎫⎪⎪== 则P 为正交矩阵。
于是，正交变换X PY =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212121212121y y x x 化二次型为标准型2221y y f -=二次型变换前后的几何描述如图1。
图1 二次型变换前（左图）、后（右图）3 二次型的分类对二次型进行分类，在理论和应用上都有重要的意义。
依二次型的正定性，可以将二次型分为以下几类：正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型和不定二次型等。
3．1 正定二次型和负定二次型定义3.1.1 设实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =，（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有0),,,(21>n c c c f ，称该二次型为正定二次型，且称矩阵A 为正定矩阵。
（ii ）如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有12(,,,)0n f c c c <，称该二次型为负定二次型，且称矩阵A 为负定矩阵。
二次型正定与负定的几何描述如图2、图3。
图2 一元、二元正定二次型图3一元、二元负定二次型定理3.1.1 对于实二次型12(,,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：（i ） f 是正定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d y d y d y d i n +++>=；（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且12(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ⎛⎫⎪⎪=>= ⎪ ⎪⎝⎭；（iv ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于零； （vi ） A 的各级顺序主子式皆大于零，即11110,(1,2,,)kk k kk a a A k n a a =>=。
定理3.1.2 对于实二次型=),,(21n x x x f x A x T ，下列条件等价： （i ） f 是负定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d y d y d y d i n +++<=;（iii ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iv ） A 的全部特征值皆小于零；（v ） A 的奇数阶顺序主子式为小于零，而偶数阶主子式为大于零[3]，即1111(1)(1)0,(1,2,,)kk kk k kk a a A k n a a -=->=。
例3.2.1 判别二次型222123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--的正定性。
解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=524212425A01,01,052221121111>=>=>=A a a a a a根据定理3.1.1，知f 为正定二次型。
f 的几何描述如图4。
图4 f 的三维切面图例3.1.2 判别二次型222(,,)56444f x y z x y z xy xz =---++的正定性。
解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=402062225A080,026,052221121111<-=>=<-=A a a a a a根据定理3.1.2，知f 为负定二次型。
f 的几何描述如图5。
图5 f 三维切面图3．2 半正定二次型和半负定二次型定义3.2.1 设实二次型12(,,)T n f x x x X AX =，（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有12(,,,)0n f c c c ≥，称该二次型为半正定二次型，且称矩阵A 为半正定矩阵。
（ii ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有12(,,,)0n f c c c ≤，称该二次型为半负定二次型，且称矩阵A 为半负定矩阵。
二次型半正定与半负定的几何描述如图6（二元二次型）。
图6二元半正定（左图），二元半负定（右图）定理3.2.1 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：（i ） f 是半正定的；（ii ）f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d x d x d x d i n +++≥=；（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且12(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ⎛⎫⎪⎪=≥= ⎪ ⎪⎝⎭；（iv ）存在实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于或等于零； （vi ）A 的所有主子式皆大于或小于零。
定理3.2.2 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价[3]：（i ） f 是半负定的；（ii ）存在实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iii ） A 的全部特征值皆小于或等于零；（iv ）A 的奇数阶主子式皆小于或等于零，而偶数阶主子式皆大于或等于零[3]，即),,2,1(,0)1(1111n r a a a a rrr rr=≥-。
3．3 不定二次型定义3.3.1 设实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，如果f 既不是正定的，也不是负定的，则称该二次型为不定二次型。
例3.3.1 判定二次型2222(,),0,0x y f x y a b a b=->>的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图7。
图7 3,4a b ==时的几何图形例3.3.2 判定二次型(,)f x y xy =的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图8。
图84 二次型理论在二次曲面分类上的应用4．1 理论分析二次曲面方程的一般形式[4]为2221122331212121232222220a x a y a z a xy a xz a yz b x b y b z c +++++++++= （5）令)(ij T a A A ==，(,,)T U x y z =，123(,,)T B b b b =，则上述方程可以写为20T T U AU B U c ++= （6）其中(,,)T f x y z U AU =就是一个二次型。