平方根的意义
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初中数学华师大版:数的开方
课题：平方根的意义
情景引入 要做一张边长是3分米的方桌面，它的面
积是多少？
这个问题实际上就是求：
32 ?
答：9平方分米
乘方运算
3分米
这是已知底数和指数，求幂的运算
反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌 面，它的边长是多少分米？
实际上就是要求出一个 数，使它的平方等于9，即：
（2）0.01的平方根是（ B ） A、0.1 B、±0.1 C、0.0001
D、±0.0001
（3）下列说法中，正确的是（ D） A、 ∵ 5的平方是25 ， ∴ 25的平方根是5； B、 ∵ - 5的平方是25 ， ∴ 25的平方根是-5； C、 ∵ (-5)2 的底数是-5 ，∴ (-5)2 没有平方根； D、 ∵ -25是负数 ，∴ -25没有平方根。
及 的 量
am N
及
名
称
底数
幂
思考问题
问题：要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边 长应是多少？
( ？)2=25
• 本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面 积为25 cm2，求这个正方形的边长．
• 容易知道，这个正方形的边长是5 cm．
• 这个问题实质是什么？
•就是要找一个数，这个数的平方等于25．
新知学习与探索
第三部分：求一个数的平方根
复习扫除障碍
• 我们已学过了有理数的加法、减法、乘 法、除法、乘方这五种运算。在这五种 运算中：
• ★加法与减法互为逆运算 • ★乘法与除法互为逆运算
那么乘方与谁互为逆运算呢？
定义：开平方
求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫 做开平方，开平方运算的结果就是平方根。
( )2 9
显然，括号里应是±3，但 －3不符题意。 ∴方桌面的边长应是3分米。
9平方分米 ？分米
这是已知幂、指数，求其底数
是什么运算？
揭题
本章学习内容：
• 有关数的一种运 算——开方。
• 认识数的家庭里 的新朋友——无 理数。
新知学习与探索
第一部分：平方根的意义
知识回顾：乘方的意义
指数
幂
设
平方与开平方是互为逆运算.
让我们一起来表示一个数的平方根
对于正数a
正的平方根表示为：+ 2 a
负的平方根表示为：- 2 a
，简写为： a
，简写为：- a
2
即：正数a的平方根表示为±
a
，简写为± a
如：49的平方根表示为
，即
=±7
10 的平方根表示为± 10
例1：判断下列各数有没有平方根，如果 有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方 根，说明理由。
学习小结：
思考本节课我们学习的内容，相互之间说说！
1.平方根的概念:
一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根.
2.平方根的性质:
一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0. 负数没有平方根.
3.平方根的表示法: a (a 0)
• 1、一个数的平方等于它本身，这个数是 。 一个数的平方根等于它本身，
（1）81
（2）－81
（3）0
（4） (7)2
（5） 72
例2：求下列各数的平方根。
（1）100；（2）1.44；（3）16 ；（4） 2 7
49
9
解： （1） (10)2 100
∴100的平方根是±10
即 100 10
注意：不能写成 100 10
请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
学习反思：
新知学习与探索
第二部分：平方根的特点
试求解并思考
举例：∵ 52 25
(5)2 25
∴5 和 －5 都是25的平方根。
25的平方根是±5
举例：∵
( 3)2 7
9 49
( 3)2 9 7 49
3
3
9
∴ 7 和 － 7 都是 49 的平方根。
9 的平方根是 3
49
7
认真观察
(
)2 25
从上式可知： 5是25的一个平方根． －5也是25的 一个平方根．（为什么？）
• 这个数是 。 • 2、若3a+1没有平方根，那么a一定 。 • 3、若4a+1的平方根是±5，则a= 。 • 4、一个数x的平方根等于m+1和m-3，则
m= 。x= 。47
5、若|a-9|+（b-4）²=0，则a 的平方根是 。 6、求下列各式中的x: b
• (1) x²=16
(2) x²= 25
• (3) x²=15
(4) 4x²4=981
• 根据平方根的意义，我们可以利用平方 来检验或寻找一个数的平方根．
举例辨析
5 的平方根，可以记作 5 和－ 5 ，或± 5 注意：因为负数没有平方根，所以在式子 a
中的被开方数 a ≥0 ，否则式子 a没有意义。 即式子 a 中的 a 是一个非负数。
巩固与练习
• 请你自己也编三道求平方根的题 目，并给出解答．
比一比：看谁最快发现？
判断下面的说法是否正确，如不正确，说明理由，并加以改正。
1) ﹣3的平方根是 9
( ×)
2) 9的平方根是﹣3
( ×)
3) 4的平方根是±2
(√ )
4) 5是25的平方根
(√ )
5) 5是5的平方根 6) (﹣10)2没有平方根
(√ ) ( ×)
Baidu Nhomakorabea
7) 如果x2 = a,则 a 一定是正数。 (× )
练习:下列说法中不正确的个数有 ( C ) ①0.25的平方根是0.5 ②-0.5的平方 根是-0.25 ③只有正数才有平方根 ④0的平方根是0
A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个
“负数没有平方根”与“一个数的平方根 不能为负数”意义是否一样？
（1）∵ （±6）2 = 36 ， ∴ 36的平方根是_±__6_
平方根的定义
• 如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根（square root）．
一般地，如果 x2 a ，那么 x 叫 a 的
平方根， a 叫 x 的平方数。
理解与思考
• 从已知和求解的角度，求一个数的幂和 求一个数的平方根有什么区别？
已知 底、指数→求 幂。 已知 幂、指数→求 方根
我们把括号里的±5叫做25的平方根（二次方根）。
这就是说，25的平方根有两个： 5与－5．
试一试:
(1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3) 64 的平方根是什么?
121
(4)-4的平方根是什么?为什么?
从上面的回答中,你发现了什么?
归纳思考：
• 平方根的性质：
★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ★零的平方根是零。 ★负数没有平方根。
课题：平方根的意义
情景引入 要做一张边长是3分米的方桌面，它的面
积是多少？
这个问题实际上就是求：
32 ?
答：9平方分米
乘方运算
3分米
这是已知底数和指数，求幂的运算
反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌 面，它的边长是多少分米？
实际上就是要求出一个 数，使它的平方等于9，即：
（2）0.01的平方根是（ B ） A、0.1 B、±0.1 C、0.0001
D、±0.0001
（3）下列说法中，正确的是（ D） A、 ∵ 5的平方是25 ， ∴ 25的平方根是5； B、 ∵ - 5的平方是25 ， ∴ 25的平方根是-5； C、 ∵ (-5)2 的底数是-5 ，∴ (-5)2 没有平方根； D、 ∵ -25是负数 ，∴ -25没有平方根。
及 的 量
am N
及
名
称
底数
幂
思考问题
问题：要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边 长应是多少？
( ？)2=25
• 本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面 积为25 cm2，求这个正方形的边长．
• 容易知道，这个正方形的边长是5 cm．
• 这个问题实质是什么？
•就是要找一个数，这个数的平方等于25．
新知学习与探索
第三部分：求一个数的平方根
复习扫除障碍
• 我们已学过了有理数的加法、减法、乘 法、除法、乘方这五种运算。在这五种 运算中：
• ★加法与减法互为逆运算 • ★乘法与除法互为逆运算
那么乘方与谁互为逆运算呢？
定义：开平方
求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫 做开平方，开平方运算的结果就是平方根。
( )2 9
显然，括号里应是±3，但 －3不符题意。 ∴方桌面的边长应是3分米。
9平方分米 ？分米
这是已知幂、指数，求其底数
是什么运算？
揭题
本章学习内容：
• 有关数的一种运 算——开方。
• 认识数的家庭里 的新朋友——无 理数。
新知学习与探索
第一部分：平方根的意义
知识回顾：乘方的意义
指数
幂
设
平方与开平方是互为逆运算.
让我们一起来表示一个数的平方根
对于正数a
正的平方根表示为：+ 2 a
负的平方根表示为：- 2 a
，简写为： a
，简写为：- a
2
即：正数a的平方根表示为±
a
，简写为± a
如：49的平方根表示为
，即
=±7
10 的平方根表示为± 10
例1：判断下列各数有没有平方根，如果 有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方 根，说明理由。
学习小结：
思考本节课我们学习的内容，相互之间说说！
1.平方根的概念:
一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根.
2.平方根的性质:
一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0. 负数没有平方根.
3.平方根的表示法: a (a 0)
• 1、一个数的平方等于它本身，这个数是 。 一个数的平方根等于它本身，
（1）81
（2）－81
（3）0
（4） (7)2
（5） 72
例2：求下列各数的平方根。
（1）100；（2）1.44；（3）16 ；（4） 2 7
49
9
解： （1） (10)2 100
∴100的平方根是±10
即 100 10
注意：不能写成 100 10
请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
学习反思：
新知学习与探索
第二部分：平方根的特点
试求解并思考
举例：∵ 52 25
(5)2 25
∴5 和 －5 都是25的平方根。
25的平方根是±5
举例：∵
( 3)2 7
9 49
( 3)2 9 7 49
3
3
9
∴ 7 和 － 7 都是 49 的平方根。
9 的平方根是 3
49
7
认真观察
(
)2 25
从上式可知： 5是25的一个平方根． －5也是25的 一个平方根．（为什么？）
• 这个数是 。 • 2、若3a+1没有平方根，那么a一定 。 • 3、若4a+1的平方根是±5，则a= 。 • 4、一个数x的平方根等于m+1和m-3，则
m= 。x= 。47
5、若|a-9|+（b-4）²=0，则a 的平方根是 。 6、求下列各式中的x: b
• (1) x²=16
(2) x²= 25
• (3) x²=15
(4) 4x²4=981
• 根据平方根的意义，我们可以利用平方 来检验或寻找一个数的平方根．
举例辨析
5 的平方根，可以记作 5 和－ 5 ，或± 5 注意：因为负数没有平方根，所以在式子 a
中的被开方数 a ≥0 ，否则式子 a没有意义。 即式子 a 中的 a 是一个非负数。
巩固与练习
• 请你自己也编三道求平方根的题 目，并给出解答．
比一比：看谁最快发现？
判断下面的说法是否正确，如不正确，说明理由，并加以改正。
1) ﹣3的平方根是 9
( ×)
2) 9的平方根是﹣3
( ×)
3) 4的平方根是±2
(√ )
4) 5是25的平方根
(√ )
5) 5是5的平方根 6) (﹣10)2没有平方根
(√ ) ( ×)
Baidu Nhomakorabea
7) 如果x2 = a,则 a 一定是正数。 (× )
练习:下列说法中不正确的个数有 ( C ) ①0.25的平方根是0.5 ②-0.5的平方 根是-0.25 ③只有正数才有平方根 ④0的平方根是0
A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个
“负数没有平方根”与“一个数的平方根 不能为负数”意义是否一样？
（1）∵ （±6）2 = 36 ， ∴ 36的平方根是_±__6_
平方根的定义
• 如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根（square root）．
一般地，如果 x2 a ，那么 x 叫 a 的
平方根， a 叫 x 的平方数。
理解与思考
• 从已知和求解的角度，求一个数的幂和 求一个数的平方根有什么区别？
已知 底、指数→求 幂。 已知 幂、指数→求 方根
我们把括号里的±5叫做25的平方根（二次方根）。
这就是说，25的平方根有两个： 5与－5．
试一试:
(1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3) 64 的平方根是什么?
121
(4)-4的平方根是什么?为什么?
从上面的回答中,你发现了什么?
归纳思考：
• 平方根的性质：
★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ★零的平方根是零。 ★负数没有平方根。