万有引力定律及其应用练习题
万有引力定律及其应用练习题
1．(多选)2014年3月8日凌晨马航客机失联后，西安卫星测控中心紧急调动海洋、风云、高分、遥感4个型号近10颗卫星，为地面搜救提供技术支持．特别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技
术．如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图．“北斗”系统中两颗卫星“G 1”和“G 3”以及“高分一号”均可认为绕地心O 做匀速圆周运动．卫星“G 1”和“G 3”的轨道半径为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，“高分一号”在C 位置．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．则以下说法正确的是( )
A ．卫星“G 1”和“G 3”的加速度大小相等均为R r
g B ．卫星“G 1”由位置A 运动到位置B 所需的时间为
πr
3R
r g
C ．如果调动“高分一号”卫星快速到达B 位置的下方，必须对其加速
D ．“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度有稀薄气体，运行一段时间后机械能会减小
解析：选BD.根据万有引力提供向心力
GMm r 2＝ma 可得，a ＝GM r
2，而GM ＝gR 2
，所以卫星的加速度a ＝gR 2
r
2，故A 错误；根据万有引力提供向心力，得ω＝
GM
r 3
＝gR 2
r 3
，所以卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间t ＝π
3ω＝
πr
3R
r
g
，故B 正确；“高分一号”卫星加速，将做离心运动，轨道半径变大，速度变小，路程变长，运动时间变长，故如果调动“高分一号”卫星快速到达B 位置的下方，必须对其减速，故C 错误；“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度有稀薄气体，克服阻力做功，机械能减小，故D 正确．
2．银河系的恒星中有一些是双星，某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动；由天文观测得其周期为T ，
S 1到O 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知万有引力常量为G ，由此可求出S 2的质量为
( )
A.4π2r 2
（r －r 1）
GT
2
B ．4π2r 3
1
GT
2
C.
4π2r
3
GT 2
D ．4π2r 2
r 1GT
2
解析：选D.设星体S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2，星体S 1做圆周运动的向心力由万有引
力提供得即：G m 1m 2r 2＝m 14π2r 1T 2，解得：m 2＝4π2r 2
r 1
GT 2
，故D 正确，ABC 错误．
3．我国发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射了“神州十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神州十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
解析：选C.在同一轨道上运行加速做离心运动，减速做向心运动均不可实现对接，则AB 错误；飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，则其做离心运动可使飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接．则C 正确；飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，则其做向心运动，不可能与空间实验室相接触，则D 错误．故选C.
4．有一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在从M 中挖去一半径为R
2的球体(如图)，
然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，如图所示．则填充后的实心球体对m 的万有引力为( )
A.11GMm
36R 2 B ．5GMm 18R 2
C.1GMm 3R
2 D ．13GMm 36R
2
解析：选A.设密度为ρ，则ρ＝
M
43
πR 3
，在小球内部挖去直径为R 的球体，其半径为R
2，
挖去小球的质量为：m ′＝ρ43π? ????R 22＝M 8，挖去小球前，球与质点的万有引力：F 1＝GMm
（2R ）2＝
GMm 4R 2，被挖部分对质点的引力为：F 2＝
G M 8m
? ??
??
3R 22＝GMm
18R
2，填充物密度为原来物质的2倍，则填充物对质点的万有引力为挖去部分的二倍，填充后的实心球体对m 的万有引力为：F 1－F 2＋2F 2＝11GMm 36R
2，A 正确，BCD 错误．故选A. 5．(多选)某卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为T .已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，假设地球的质量分布均匀，忽略地球自转．以下说法正确的是( )
A ．卫星运行半径r ＝ 3gR 2T 2
4π
2
B ．卫星运行半径r ＝RT 2π
3
g
C ．地球平均密度ρ＝3g
4πGR
D ．地球平均密度ρ＝3gR
4πG
解析：选AC.由万有引力提供向心力则有：G mM r 2＝m 4π2T 2r 和G Mm
R
2＝mg 联立解得：r ＝
3gR 2T 2
4π2，故A 正确，B 错误；地球的质量M ＝
gR 2G ，地球的体积V ＝4πR 33
，所以地球的密度为ρ＝M V ＝gR 2
G 4πR 33
＝3g
4πGR
，故C 正确，D 错误．
6．2016年8月16日1时40分，我国在酒泉用长征二号丁运载火箭成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空．如图所示为“墨子号”卫星在距离地球表面500 km 高的轨道上实现两地通信的示意图．若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，则下列说法正确的是( )
A ．工作时，两地发射和接收信号的雷达方向一直是固定的
B ．卫星绕地球做匀速圆周运动的速度小于7.9 km/s
C ．可以估算出“墨子号”卫星所受到的万有引力大小
D ．可以估算出地球的平均密度
解析：选B.由于地球自转的周期和“墨子号”的周期不同，转动的线速度不同，所以工作时，两地发射和接收信号的雷达方向不是固定的，故A 错误.7.9 km/s 是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，则卫星绕地球做匀速圆周运动的速度小于7.9 km/s ，故B 正确．由于“墨子号”卫星的质量未知，则无法计算“墨子号”所受到的万有引力大小，故C 错误．根
据G Mm （R ＋h ）2＝m (R ＋h )
4π
2
T 2
知，因周期未知， 则不能求解地球的质量，从而不能估算地球的密度，选项D 错误；故选B.
7．北斗导航已经应用于多种手机，如图所示，导航系统的一颗卫星原来在较低的椭圆轨道Ⅱ上飞行，到达A 点时转移到圆轨道Ⅰ上．若圆轨道Ⅰ离地球表面的高度为h 1，椭圆轨道Ⅱ近地点离地球表面的高度为h 2.地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，则下列说法不正确的是( )
A ．卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
B ．卫星在轨道Ⅰ上的运行速率v ＝
gR 2
R ＋h 1
C ．若卫星在圆轨道Ⅰ上运行的周期是T 1，则卫星在轨道Ⅱ的时间T 2＝
T 1
（h 1＋h 2＋2R ）
3
8（R ＋h 1）
3
D ．若“天宫一号”沿轨道Ⅱ运行经过A 点的速度为v A ，则“天宫一号”运行到B 点的
速度v B ＝
R ＋h 1
R ＋h 2
v A 解析：选D.卫星从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ要在A 点加速，则卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于
在轨道Ⅱ上的机械能，选项A 正确；卫星在轨道Ⅰ上：G Mm （R ＋h 1）＝m v 2R ＋h 1
，又GM ＝gR 2
，解
得v ＝
gR 2R ＋h 1，选项B 正确；根据开普勒第三定律可得：（R ＋h 1）
3
T 2
1
＝? ??
??
2R ＋h 1＋h 223T 22
，解得
T 2＝T 1
（h 1＋h 2＋2R ）
3
8（R ＋h 1）
3
，选项C 正确；根据开普勒第二定律得：v A (h 1＋R )＝v B (h 2＋R )，解
得v B ＝?
??
??h 1＋R h 2＋R v A
，选项D 错误．
8．2018年，我国将发射“嫦娥四号”，实现人类首次月球背面软着陆．为了实现地球与月球背面的通信，将先期发射一枚拉格朗日L 2点中继卫星．拉格朗日L 2点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用，能保持相对静止的点，是五个拉格朗日点之一，位于日地连线上、地球外侧约1.5×106
km 处．已知拉格朗日L 2点与太阳的距离约为1.5×108
km ，太阳质量约为2.0×1030
kg ，地球质量约为6.0×1024
kg.在拉格朗日L 2点运行的中继卫星，受到太阳引力F 1和地球引力F 2大小之比为( )
A ．100∶3
B ．10 000∶3
C ．3∶100
D ．3∶10 000
解析：选A.由万有引力定律F ＝GMm r 2 可得F 1F 2＝M 太d 22
M 地d 21＝2.0×1030×（1.5×109）2
6.0×1024×（1.5×1011）2＝
1003
，故A 正确．
9．2017年9月29日，世界首条量子保密通讯干线“京沪干线”与“墨子号”科学实验卫星进行天地链路，我国科学家成功实现了洲际量子保密通讯．设“墨子号”卫星绕地球做匀速圆周运动，在时间t 内通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ，已知引力常量为
G .下列说法正确的是( )
A ．“墨子号”的运行周期为π
θ
t B ．“墨子号”的离地高度为
l θ
C ．“墨子号”的运行速度大于7.9 km/s
D ．利用题中信息可计算出地球的质量为l 3
Gθt 2
解析：选D.“墨子号”的运行周期为T ＝2πω
＝2πθ
t
＝2πt
θ
，选项A 错误；“墨子号”的
离地高度为h ＝r －R ＝l θ
－R ，选项B 错误；任何卫星的速度均小于第一宇宙速度，选项C
错误；根据G Mm r 2＝mω2
r ，其中ω＝θt ，r ＝l θ，解得M ＝l 3Gθt 2
，选项D 正确；故选D.
10．(多选)从国家海洋局获悉，2018年我国将发射 3颗海洋卫星，它们将在地球上方约500 km 高度的轨道上运行．该轨道经过地球两极上空，所以又称为极轨道(图中虚线所示)．由于该卫星轨道平面绕地球自转轴旋转，且旋转方向和角速度与地球绕太阳公转的方向和角速度相同 ，则这种卫星轨道叫太阳同步轨道．下列说法中正确的是( )
A ．海洋卫星的轨道平面与地球同步轨道平面垂直
B ．海洋卫星绕地球运动的周期一定小于24 h
C ．海洋卫星的动能一定大于地球同步卫星的动能
D ．海洋卫星绕地球运动的半径的三次方与周期二次方的比等于地球绕太阳运动的半径的三次方与周期二次方的比
解析：选AB.海洋卫星经过地球两极上空，而地球的同步卫星轨道在地球赤道平面内，所以两轨道平面相互垂直，A 正确；海洋卫星的高度小于地球同步卫星的高度，由G Mm r
2 ＝
m ? ??
??2πT 2
r 可知，半径越小，周期越小，所以海洋卫星的周期小于地球同步卫星的周期，即小于24 h ，B 正确；由G Mm r 2＝m v 2
r
，得v ＝
GM
r
，所以卫星的轨道半径越大，速度越小，由于两卫星的质量关系未知，所以无法比较两者的动能，C 错误；行星的轨道半径的三次方与周期二次方的比值与中心天体有关，由于海洋卫星绕地球转动，而地球绕太阳转动，所以两者的比值不同，D 错误；故选AB.