万有引力定律及其应用练习题

万有引力定律及其应用练习题

1．(多选)2014年3月8日凌晨马航客机失联后，西安卫星测控中心紧急调动海洋、风云、高分、遥感4个型号近10颗卫星，为地面搜救提供技术支持．特别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技

术．如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图．“北斗”系统中两颗卫星“G 1”和“G 3”以及“高分一号”均可认为绕地心O 做匀速圆周运动．卫星“G 1”和“G 3”的轨道半径为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，“高分一号”在C 位置．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．则以下说法正确的是( )

A ．卫星“G 1”和“G 3”的加速度大小相等均为R r

g B ．卫星“G 1”由位置A 运动到位置B 所需的时间为

πr

3R

r g

C ．如果调动“高分一号”卫星快速到达B 位置的下方，必须对其加速

D ．“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度有稀薄气体，运行一段时间后机械能会减小

解析：选BD.根据万有引力提供向心力

GMm r 2＝ma 可得，a ＝GM r

2，而GM ＝gR 2

，所以卫星的加速度a ＝gR 2

r

2，故A 错误；根据万有引力提供向心力，得ω＝

GM

r 3

＝gR 2

r 3

，所以卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间t ＝π

3ω＝

πr

3R

r

g

，故B 正确；“高分一号”卫星加速，将做离心运动，轨道半径变大，速度变小，路程变长，运动时间变长，故如果调动“高分一号”卫星快速到达B 位置的下方，必须对其减速，故C 错误；“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度有稀薄气体，克服阻力做功，机械能减小，故D 正确．

2．银河系的恒星中有一些是双星，某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动；由天文观测得其周期为T ，

S 1到O 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知万有引力常量为G ，由此可求出S 2的质量为

( )

A.4π2r 2

（r －r 1）

GT

2

B ．4π2r 3

1

GT

2

C.

4π2r

3

GT 2

D ．4π2r 2

r 1GT

2

解析：选D.设星体S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2，星体S 1做圆周运动的向心力由万有引

力提供得即：G m 1m 2r 2＝m 14π2r 1T 2，解得：m 2＝4π2r 2

r 1

GT 2

，故D 正确，ABC 错误．

3．我国发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射了“神州十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神州十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )

A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

解析：选C.在同一轨道上运行加速做离心运动，减速做向心运动均不可实现对接，则AB 错误；飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，则其做离心运动可使飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接．则C 正确；飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，则其做向心运动，不可能与空间实验室相接触，则D 错误．故选C.

4．有一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在从M 中挖去一半径为R

2的球体(如图)，

然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，如图所示．则填充后的实心球体对m 的万有引力为( )

A.11GMm

36R 2 B ．5GMm 18R 2

C.1GMm 3R

2 D ．13GMm 36R

2

解析：选A.设密度为ρ，则ρ＝

M

43

πR 3

，在小球内部挖去直径为R 的球体，其半径为R

2，

挖去小球的质量为：m ′＝ρ43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＝M 8，挖去小球前，球与质点的万有引力：F 1＝GMm

（2R ）2＝

GMm 4R 2，被挖部分对质点的引力为：F 2＝

G M 8m

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3R 22＝GMm

18R

2，填充物密度为原来物质的2倍，则填充物对质点的万有引力为挖去部分的二倍，填充后的实心球体对m 的万有引力为：F 1－F 2＋2F 2＝11GMm 36R

2，A 正确，BCD 错误．故选A. 5．(多选)某卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为T .已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，假设地球的质量分布均匀，忽略地球自转．以下说法正确的是( )

A ．卫星运行半径r ＝ 3gR 2T 2

4π

2

B ．卫星运行半径r ＝RT 2π

3

g

C ．地球平均密度ρ＝3g

4πGR

D ．地球平均密度ρ＝3gR

4πG

解析：选AC.由万有引力提供向心力则有：G mM r 2＝m 4π2T 2r 和G Mm

R

2＝mg 联立解得：r ＝

3gR 2T 2

4π2，故A 正确，B 错误；地球的质量M ＝

gR 2G ，地球的体积V ＝4πR 33

，所以地球的密度为ρ＝M V ＝gR 2

G 4πR 33

＝3g

4πGR

，故C 正确，D 错误．

6．2016年8月16日1时40分，我国在酒泉用长征二号丁运载火箭成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空．如图所示为“墨子号”卫星在距离地球表面500 km 高的轨道上实现两地通信的示意图．若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，则下列说法正确的是( )

A ．工作时，两地发射和接收信号的雷达方向一直是固定的