黄昆 固体物理 讲义 第六章

在 k 空间， E = E F 的等能面称为费米面。 1.
E F 的确定
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固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
V 电子按能量的统计分布 ： dZ = N ( E )dE —— N ( E ) 状态密度 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数） 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f ( E ) N ( E )dE
1 e
E − EF k BT
+1
0 0
当温度 T = T K ， E > E F 的状态中， 电子填充的几率增大，E < E F 如果 E F = E F 不随时间变化，
0
的状态中，电子填充的几率减小。费密分布函数在 E F = E F 左右的增加和减小是对称的。如图
0
XCH006_005 所示。 —— 对于近自由电子， N ( E ) ∝ E
3 0 dE = E F 5
结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每
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个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度 T ≠ 0 时金属中电子费密能量
—— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
电子的总数： N =
∑ f (E )
i i
—— 对所有的本征态求和
在温度 T ≠ 0 的情况时：在 E = E F ， f ( E F ) =
1 2
—— 说明在费米能级 E F 被电子填充和不被电子填充的几率相等。 1） 温度大于绝对温度零度：电子填充能量 E = E F 的几率相等；
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∞
N = Q( E F ) ∫ (−
−∞
∂f ∂f ∂f 1 )dE +Q ' ( E F ) ∫ ( E − E F )( − )dE + Q ' ' ( E F ) ∫ ( E − E F ) 2 ( − )dE ∂E ∂E ∂E 2 −∞ −∞
∞
金属中总的电子数： N =
∫ f ( E ) N ( E )dE
0
—— f ( E ) N ( E ) 具体概述了电子按能量的统计分布规律 —— 一取决于费密统计分布函数 f ( E ) —— 二决定于晶体的能态密度函数 N ( E ) ，如图 XCH006_003 所示。 绝对温度 T = 0 时费米能级 E F
−
ξ 2 dξ
=
π2
3
所以 N = Q ( E F ) +
π2
6
Q ''( EF )( k BT ) 2
0 EF
令 T → 0 K ， N = Q( E ) ， N = Q( E ) =
0 F 0 F
∫ N ( E )dE
0 -23
对于一般温度： T = 300 K ， k B T = 300 × 1.38 × 10 将 Q ( E F ) 按泰勒级数展开，只保留到第二项
得到 E F = E F −
0
π 2 Q' '
6 ( Q'
0 ) E 0 (k BT ) 2 , EF = EF {1 −
F
π2
6E
0 F
[
d ln Q '( E )]E 0 ( k BT ) 2 } F dE
而 Q ( E ) = N ( E )dE ， Q ' ( E ) = N ( E )
0
∫
0
∂f )dE ∂E
∞
因为 E ⇒ 0, Q ( E ) ⇒ 0 ， E ⇒ ∞, f ( E ) ⇒ 0 ， f ( E )Q ( E ) 0 = 0
∞
N = ∫ Q ( E )( −
0
∂f )dE ∂E 1 e
E − EF k BT
由费密分布函数： f ( E ) =
+1
得到 −
1 ∂f = ⋅ ∂E k B T
0
在绝对零度 T = 0 时： ⎨
⎧ f ( E ) = 1, ⎩ f ( E ) = 0,
0 E < EF 0 E > EF
因此： N =
0V 自由电子的费密能量
N 2m 2m 金属中自由电子的能态密度： N ( E ) = 4πV ( 2 ) 2 E 2 ，令 C = 4πV ( 2 ) 2 ， n = h h V
热平衡状态下，一个能量为 E 的本征态被电子占据的几率： f ( E ) =
1 e
E − EF k BT
—— 费米分布函数
+1
—— 就是能量为 E 的本征态上电子的数目 —— 平均占有数
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E
0 EF = EF {1 −
π2
6E
0 F
[
d ln N ( E )]E 0 ( k BT ) 2 } F dE
1/ 2
对于近自由电子： N ( E ) ∝ E
E F = E [1 −
0 F
π 2 k BT
12 E (
0 F
)2 ]
——温度升高，费密能级下降。
E F 随温度升高而降低的定性解释
费密分布函数： f ( E ) =
E − EF k BT
当 E − E F > 几个k B T 时： e
>> 1 ， f ( E ) ≈ 0
当 E F − E > several k BT 时： e
E − EF k BT
<< 1 ， f ( E ) ≈ 1
2） 温度等于绝对温度零度： E < E F ， f ( E ) = 1 —— 电子填满小于费米能量的状态
E > E F ， f ( E ) = 0 ，费米能量以上的状态全部空着；
3） 在较低温度时，费米分布函数在 E = E F 处发生很大变化。 能量变化范围： f ( E << E F ) = 1 → f ( E >> E F ) = 0 ，温度上升，能量变化范围变宽，但在任何 情况下，该能量范围约为： ± k B T ，如图 XCH006_001 所示的为不同温度下电子费密分布函数示意 图。
π2
6
0 R' ' ( E F )( k B T ) 2
将 E F = E F {1 −
0
π2
6E
0 F
[
d ln N ( E )] E 0 ( k B T ) 2 代入 F dE d d ln N ( E )] E 0 + [ ln R' ( E )] E 0 } F F dE dE
0 U = R( E F )+
1/ 2
， E > E F 的电子数比 E < E F 以下稍多，意味着电子总数将
0 0
有所增加。所以 E F 的降低就是在保持电子总数不变的前提下，维持费密分布函数在 E F 左右的对称 分布。 2. 电子热容量
∞
金属中电子总能量： U = Ef ( E ) N ( E )dE
0
∫
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∞
金属中总的电子数： N =
∫ f ( E ) N ( E )dE
0
引入函数： Q ( E ) = N ( E )dE ——能量 E 以下量子态的总数
0
∫
E
∞
对N =
∫ f ( E ) N ( E )dE 进行分部积分，得到
0
∞ ∞
N = f ( E )Q ( E ) 0 + ∫ Q ( E )( −
1 (e
E − EF k BT
+ 1)( e
−
E − EF k BT
+ 1)
— — 此 项 为 E − EF 的 偶 函 数 ， 且 只 在 E ~ EF 附 近 有 显 著 的 值 ， 具 有 δ 函 数 的 特 点 。 如 图 XCH006_004 所示。
∞
所以 N =
−∞
∫ Q( E )( − ∂E )dE
π2
6
0 R' ( E F )( k B T ) 2 + {−[
∞
∞
1 (e
E − EF k BT
+ 1)( e
−
E − EF k BT
+ 1)
引入积分变数： ξ =
E − EF k BT
∞
(k T ) 2 ξ 2 dξ N = Q( E F ) + B Q' ' ( E F ) ∫ ξ 2 ( e + 1)( e −ξ + 1) −∞
∞
定级分
−∞
∫ (eξ + 1)(e ξ + 1)
3 Nk B 2
—— 对大多数金属，实验上测得的热容量值只有理论值的 1％。 量子力学对金属中电子的处理 索末菲在自由电子模型的基础上，考虑到电子在离子产生的平均势场下，电子在金属中的运动，应 用量子理论和电子气体服从量子统计法的费密一狄拉克分布，计算了电子气体的热容量，解决了经 典理论的困难。 §6.1 费密统计和电子热容量 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动可以近似看作是独立的，具有一系列确定的本征态。 一般金属只涉及导带中的电子，因此所有电子占据的状态都在一个能带内。 1. 费密分布函数 电子气体服从泡利不相容原理和费米— 狄拉克统计