15第10章经典弹塑性本构关系、第11章岩土本构关系和第12章 弹塑性力学边值问题分析(第15讲)
弹塑性本构关系简介
松比)。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关(可称为历 史相关性或路径相关性),本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性(塑性)金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型,目前广 泛采用的有:等向强化;随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变,只是作均匀
称后继屈服面,f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态,如
果
f (,ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k,关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j,klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量,形式上仍可表为
Dt ijkl
第11章-弹塑性力学--本构关系
xy c41 x c42 y c43 z
y y
图4-2
(a)
z
x
x
z
现在引进坐标系 Ox’y’z’, 原坐 标系 Oxyz 绕 y 轴转动 1800 后可与之重合 (图4-2)
新旧坐标轴间的方向余弦
l11 l33 cos180
1 0 0 1 l22 cos 0 1 0 0 l21 l31 l12 l32 l13 l23 cos 90 0
(11-13)
平面应力问题 用应变分量表示 应力分量
E y x 1 2 x E (11-14) y y x 1 2 G
ij ije 2 ij
(11-3’)
以上证明了各向同性的均匀弹性体的弹性常数只有 两个。
现在考虑一种物体各边平行于坐标轴的特殊情况,并 由此导出工程上常用的弹性常数和广义胡克定律。当物 体边界法线方向与 z 轴重合的两对边上有均匀的σz 作 用,其他边均为自由边时,则由材料力学知道
第11章 本构关系
11.1 广义胡克定律 单向应力状态,应力小于屈服应力时,应力应变呈简单的 线性关系
x E x
E 为弹性常数(扬氏弹性模量)
三维应力状态,一点处的应 力状态需9个应力分量,相对 应的也要用9个应变分量表示
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值,反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大,材料抵抗塑性变形的能力越强,进入塑性阶段所需 的应力水平越高,材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内,应力与应变之比,反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大,材料的刚度越大,相同应力作用下产生的弹性
变形越小,进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为,应 力与应变呈线性关系,卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时,材料进入塑 性阶段,应力不再增加但应变继续增 加,卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ,随着塑性应变的增加,屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型,屈服后应 力保持恒定,应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数,为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型,进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比,验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二:混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点,选择合适 的弹塑性损伤本构模型,如塑性损伤模
岩石的弹塑性本构关系
其中:
t 1 3, 2
s
1
3
2
用剪应力和平均应力来表示
• 常用三维: p q 空间表示
1
P
( 3
1
2
3)
q
1 2
(1
2 )2 ( 2
3 )2 ( 3
1 )2
3
3J2
2 oct
oct
2 3
J2
1 3
(1
2 )2 ( 2
3 )2 ( 3
1 )2
1 J2 6 ( 1
2 )2 ( 2
2)参数意义:
1 ,
(1 3 )u
1 a b
1 b
b 1
1
1
(1 3 )u
1 0
E0
1 3 1
1
a b1
1 a
1 a
E0
变化的规律为
Ti ijTj
•或
i 1,2,3
Ti jiTj
i 1,2,3
• 该3个元素组成的整体称为一阶张量,记作 T
Ti
i 1, 2,3
称为T 的分量,记作
T (Ti ) (T1,T2 ,T3 )
• 一阶张量=向量
4.二阶张量
• 有 32 9 个元素, Tij i, j 1,2,3
1.Cauchy假设:在外力作用下,物体内各点的 应力状态和应变状态之间存在着一一对应的关 系。因此,弹性介质的响应仅与当时的状态有 关而与应变路径或应力路径无关。
• 推论: ① 卸荷后,介质回到初始状态
② 应力、应变都是瞬时发生的,在时间上无先 后顺序
③ 在应力空间和应变空间的各点之间构成一 一对应的映射关系。
弹塑性本构关系简介
2) 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1)虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为:对 一切自平衡的虚应力,恒有如下虚功方程成 立(矩阵)
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性:位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向,多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量,
B c
为混凝土单轴抗压强度,a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1
《岩土弹塑性力学》课件
02
数值模拟的精度和稳 定性
数值模拟的精度和稳定性是评价数值 模拟技术的重要指标,需要不断改进 数值方法和模型参数,提高模拟结果 的可靠性和精度。
03
数值模拟的可视化和 后处理
可视化技术和后处理技术是数值模拟 的重要组成部分,能够直观地展示模 拟结果和进行结果分析,需要不断改 进和完善相关技术。
THANKS
感谢您的观看
弹塑性力学的未来发展
随着科技的不断进步和应用领域的拓展,弹塑性力学将进 一步发展并应用于更广泛的领域,如新能源、环保、生物 医学等。
Part
02
岩土材料的弹塑性性质
岩土材料的弹性性质
弹性模量
表示岩土材料在弹性范围内抵抗变形的能力,是 材料刚度的度量。
泊松比
描述材料横向变形的量,表示材料在单向受拉或 受压时,横向变形的收缩量与纵向变形的关系。
各向同性假设
假设材料在各个方向上具 有相同的物理和力学性质 ,即材料性质不随方向变 化而变化。
弹塑性力学的历史与发展
弹塑性力学的起源
弹塑性力学起源于20世纪初,随着材料科学和工程技术的 不断发展,人们对材料在复杂应力状态下的行为有了更深 入的认识。
弹塑性力学的发展
弹塑性力学经过多年的发展,已经形成了较为完善的理论 体系和研究方法,为解决工程实际问题提供了重要的理论 支持。
《岩土弹塑性力学》 PPT课件
• 弹塑性力学基础 • 岩土材料的弹塑性性质 • 岩土弹塑性本构模型 • 岩土弹塑性力学的应用 • 岩土弹塑性力学的挑战与展望
目录
Part
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性变形和塑性变形共同作用下的力学行为的学科。
《弹塑性力学》第十一章塑性力学基础
描述了塑性变形过程中应变和位移之 间的关系,是塑性力学的基本方程之 一。
塑性变形的增量理论
流动法则
描述了塑性变形过程中应力和应变增量之间的关系,是增量理论的核心。
屈服准则
描述了材料在受力达到屈服点时的行为,是增量理论的重要概念。
塑性变形的全量理论
全量应力和全量应变
描述了塑性变形过程中应力和应变的 状态,是全量理论的基本概念。
100%
材料性能
塑性力学为材料性能的描述提供 了理论基础,有助于深入了解材 料的变形和破坏行为。
80%
科学基础
塑性力学是连续介质力学的一个 重要分支,为研究物质宏观性质 的变化规律提供了科学基础。
塑性力学的发展历程
初创期
塑性力学作为独立学科始于20 世纪初,初期主要研究简单的 应力状态和理想塑性材料。
有限元法的优点在于其灵活性和通用性,可以处 理复杂的几何形状和边界条件,适用于各种类型 的塑性变形问题。
然而,有限元法在处理大规模问题时可能会遇到 计算效率和精度方面的问题,需要进一步优化算 法和网格划分技术。
边界元法在塑性力学中的应用
01
02
03
04
边界元法是一种仅在边界上离 散化的数值方法,通过将问题 转化为边界积分方程来求解。
发展期
随着实验技术的进步,塑性力 学在20世纪中叶得到了快速发 展,开始涉及更复杂的材料和 应力状态。
深化期
进入20世纪末至今,塑性力学 与计算机技术、先进材料等交 叉融合,研究领域不断扩大和 深化。
塑性力学的基本假设
02
01
03
连续性
材料内部是连续的,没有空洞或缝隙。
塑性变形不可逆
塑性变形发生后,不会消失或还原。
弹塑性力学本构关系
—— Green公式
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x , y , z , xy , yz , zx x y z xy yz zx
由
同理
x U 0 c12 y x c31 c14 c41
横观各向异性材料,其独立的弹性常数为13个;正应变会 产生切应力,切应变也会产生正应力 工程上,单斜晶体(如正长石)可简化为横观各向异性弹 性体。
二. 正交各向异性材料
z
具有三个相互垂直弹性对 称面的材料称为正交各向异性 材料。 设三个弹性对称面分别为 Oxy、Oyz和Ozx平面,材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。
对 称
1 c22 c33 , c44 c66 , c55 c22 c23 2
0 0 0 0 1 c11 c12 2
x y z 0 xy yz 0 zx 1 c11 c12 2 0 0 0
c12 c21 c15 c51
c56 c65
即
cmn cnm
x c11 c12 c22 y z xy 对 yz zx
c13 c23 c33
称
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 31
如,c22 c2222 , c56 c2331 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质,但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导, ij f ij 有势, 其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能(应变能)。
第十一章塑性本构关系
其中:k
E
31 2
0
2 3
-体积模量
§11-2 加卸载判别准则
一、理想弹塑性材料
屈服面
当 d ij 与屈服面相切时,为加载,这时可发生 任意的塑性变形。当d ij 指向屈服面内时,则 为卸载,此时不产生新的塑性变形。
f ij 0, f ij dij 0 加载
,
E
2 1
8
当ξβ固定时,(3)式
11
1 E
11
22
33 ,23
1
E
23
化为应力率与应变率之 间的弹性关系:
11
1 E
22
33
11 ,31
1
E
31
rp
s
0 r rp
s rp r R
卸去的应力: (按弹性计算) e M pr
Mp
2R3 s
3
1
1 4
rp R
I
3
p
4r s
3R
1
ijp ,相应的应力为
3
ij
2
ij
ij
。最后,
再通过某一弹性卸载路径使应力由
3回到初值
ij
4
ij
1
ij
,此段材料未产
生新的塑性变形。
得不等式:
2
ij
非线性有限元-9-弹塑性本构关系
屈服面:
对于单向应力状态,其屈服条件可以写成 s
可以看出,描述一维问题的屈服条件需要应力-应变曲线上的一个临界点
(屈服点),描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面,该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f 1,2,3 C
F J2, J3 C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数:
最大剪应力屈服条件。 1870年:圣维南(Saint-Venant)提出在平面情
况下理想刚塑性的应力-应变关系。假设最大剪应 力方向和最大剪应变率方向一致,求解了柱体中发 生部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受 内压问题。 1871年:莱维(Levy)将塑性应力-应变关系推广 到三维情况。
3) 塑性阶段:继续加载,材料可承受 更大应力,称为材料强化,并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载, 路径接近直线,即坏点:继续加载至可承受的最大 极限应力,试件出现颈缩而破坏,
称为强度极限。
单轴试验下材料的弹塑性性态 (3/3)
强度限 b
A
弹性限 s
其它:1)在强化规律方面,除等向强化模型外, 普拉格(Prager)提出随动强化等模型;2)在实 验分析方面,运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法 等能测量大变形的手段。等等。
单轴试验下材料的弹塑性性态 (1/3)
对塑性变形基本规律的认识来自于实验: 1) 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; 2) 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型,
25
二、塑性力学的基本法则
将上述单轴应力状态的基本概念推广到一般的应力 状态,需要利用塑性力学的增量理论。
初始屈服条件
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态?什么是静水压力状态?举例说明?静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么?物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ,试问:两者之间的关系?两者主方向之间的关系?相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+。
4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法?不规则,内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外?保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的,而是相关,否则导致位移不单值,不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态,且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么?可否忽略其中一个?第二章 应变1、从数学和物理的不同角度,阐述相容方程的意义。
从数学角度看,由于几何方程是6个,而待求的位移分量是3个,方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值。
从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”,即产生不连续。
2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数)等都完全相同的线弹性平面问题,它们的应力分布是否相同?为什么?相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件,未涉及本构方程,与材料性质无关。
3、应力状态是否可以位于加载面外?为什么?不可以。
保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的,而是相关,否则导致位移不单值,不连续。
4、给定单值连续的位移函数,通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程?为什么?满足。
弹塑性力学-本构关系
xx C11 xx C12 yy C13 zz C16 xy C C C C 21 xx 22 yy 23 zz 26 xy yy zz C31 xx C32 yy C33 zz C36 xy yz C44 yz C45 zx zx C54 yz C55 zx xy C61 xx C62 yy C63 zz C66 xy
设弹性体内的位移矢量为:
线弹性本构关系
dA dt
u ui ei 体积力矢量为: f f i ei 面积力矢量为: F X i ei
考察微单元体上的体积力和面积力在单位时间内所 做的功为:
V
dV f u
dS F u
C16 C26 C36 C45 0
xx C11 xx C12 yy C13 zz C C C 21 xx 22 yy 23 zz yy C C C zz 31 xx 32 yy 33 zz yz C44 yz zx C55 zx 这种材料称为正交各向异性 材料,有9个独立的材料常数。 C xy 66 xy
S i i S ij j i V ij i , j
w ij dV dV ij 又: U wdV V t V V w w ij dw ij d ij ij ij t ij
dU dA dt dt
(
V
ij , j
i dV f i )u
xy xx , zz , zx , xy xx yy yy , zz yz yz , zx
岩土弹塑性力学
J216
(xy)2(yz)2(zx)26(x2yy2zz2x)
16 (xy)2(yz)2(zx)2 12SijSij
〔八面体
J3SxSySz2xyyzzxSxy2zSyz2xSzx2yS1S2S3剪〔应与力剪倍应数〕
力方向有关〕
在岩土塑性理论中,常用I1、J2、J3表示一点的 应力状态
27
q 应力张量分解及其不变量
Ø 理论、试验及工程实践相结合,通过试验确定屈服条 件及其参数,以提供客观与符合实际的力学参数
Ø 建立复杂加荷条件下、各向异性情况下、动力加荷 以及非饱和土情况下的各类实用模型
Ø 引入损伤力学、不连续介质力学、智能算法等新理 论,宏细观结合,开创土的新一代结构性本构模型
Ø 岩土材料的稳定性、应变软化、损伤、应变局部化
采用真三轴仪,通过改 变 1、 3的比值,在 改变 2试验直至破坏, 可得到不同的 与r 值,即能给出偏 平面上的破坏曲线
三轴压缩
三轴拉伸
偏平面上的应力路径
38
q 应变张量的分解
=
+
立方体变形
纯体积变形
纯畸变变形
x ij 1 2 yx
1 2 xy
y
1 2
1 2
x z m y z 0
F(ij) 0 或 F(ij) 0 均质各向同性,不考虑应力主轴旋转时
F (1 ,2 ,3 ) F 1 ( I 1 , J 2 , J 3 ) F 2 ( p , q , ) 0
47
q 基本概念
传统塑性力学中与I1无关
F ( 1 ,2 ,3 ) F 1 ( J 2 , J 3 ) F 2 ( q ,) F 3 ( J 2 ,) 0
Ø 不同加荷方式的应力路径
第11章-弹塑性力学--本构关系分析
11.1 广义胡克定律 3 张量表示法
ij cijkl kl (i, j,k ,l 1,2,3)
(11-1’)
广义虎克定律或弹性本构方程 弹性系数 cmn (或cijkl ) 共有36个。对于各向同性材料,独立 的弹性常数只有2个。
附页
ij cijkl kl (i, j,k ,l 1,2,3)
个。
ij ji , ij ji
于是,对均匀的理想弹性体:
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y
c21 x
c22 y
c23 z
c24 xy
c25
yz
c26
zx
x c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
不是独立的弹性常数。 对于各向同性弹性体,独立的弹性常数
只有两个, 即 λ和μ或 E 和ν。将式 (11-9) 稍加变换后, 可缩
2
e
2 2
3 e 23
常数λ, μ称为拉梅弹性常数。
(11-2)
通过坐标变换后, 可得任意坐标系 Oxyz 内的本构关系为
x e 2 x , xy xy
y
e
2 y , yz
yz
z
e
2 z , zx
zx
(11-3)
ij ije 2 ij
(11-3’)
以上证明了各向同性的均匀弹性体的弹性常数只有 两个。
证明:首先,在弹性状态下主应力方向与主应变方向相重合
为此,令x, y, z为主应变方向,则剪应变分量γxy,γyz, γzx应等于零。于是,由式 (4-1) 有
xy c41 x c42 y c43 z
弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识(精品PDF)
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
(2)梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段,梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式,可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段,由于梁弯曲时截面仍然保持平面,可得
s Ey0
,
或
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时 M 的表达式
将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为
f () = - s = 0 初始屈服条件(函数) 当软钢应力达到 A 点后,软钢有明显屈服(塑性流动)阶段。
经过屈服阶段后,荷载可再次增加(称为强化阶段,BC 段),但
强化阶段 增幅较少。对于此种材料(有明显屈服流动,强化阶段
应力较少)屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时,卸载将有
2 3
J
* 2
类似于e 的定义,在三维应力状态定义等效应变e:
1
e
2 3
J
* 2
2 3
1 2
eij
eij
2
2 3
eij
eij
2 3
1 2 2 2
3 2 3 1 2
1 2
1
2 3
x
y
2
y
z
2
z
x
23 2
2 xy
2 yz
2 zx
2
e 以发生塑性变形定义的量(由 1、2、3 定义),在变形 过程中的每一瞬时,发生应变增量(d1、d2、d3),则可定义瞬
对于三维应力状态,定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e
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A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
dσ ij
= Dijkl dε kl − Dijkl
∂g ∂σ kl
∂f ∂σ ij
Dijkl
A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
d ε kl
=
( Dijkl
−
Dijkl A+
∂g ∂σ kl ∂f ∂σ ij
∂f ∂σ ij
Dijkl
Dijkl
¾塑性应变εijp硬化定律: ¾塑性功Wp硬化定律: ¾ 塑性体应变εvp 硬化定律
2
¾塑性应变εijp硬化定律:
ξβ
=
ξβ
(ε
p ij
)
由
dΦ
= ∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
d ξβ
=
∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
∂ξβ
∂ε
p ij
dε
p ij
=0
得:
∂Φ ∂σ ij
=
dsij
/
2G,
dε
p ij
= deipj ,
dεm
=
1 3K
dσ
m
∂f / ∂sij = sij ,
dε
p ij
=
dλsij
展开为
dε
p x
=
dε
p y
=
dε
p z
=
dγ
p xy
=
dγ
p yz
=
dγ
p zx
=
dλ
sx
sy
sz 2τ xy 2τ yz 2τ zx
考虑弹性应变,得到:
d ε ij
=
dε
第十章 经典弹塑性本构关系
10.2 流动法则
dε ij
=
dε
e ij
+
dε
p ij
σ
ε
e ij
=
Cijklσ kl
dε
e ij
=
Cijkl dσ kl
ε
e ij
=
∂W ∂σ ij
ε εp εe
与弹性位势理论相类似,Mises于1928年提出塑性位势理论。 他假设经过应力空间的任何一点M,必有一塑性位势等势面存在, 其数学表达式称为塑性位势函数,记为:
Tresca形式的流动法则
在应力状态位于塑性势能面顶点或奇异点,塑性 应变增量必须位于六边形两相邻边的法线方向之间。
不规定主应力大小顺序,Tresca屈服条件可写成
f1 = σ2 − σ3 − σs=0 f3 = σ1 − σ2 − σs=0 f5 = σ3 − σ1 − σs=0
f2 = −σ3 + σ1 − σs=0 f4= −σ2 + σ3 − σs=0 f6 = −σ1 + σ2 − σs=0
=
dλ1
∂f1 ∂σi
+ dλ2
∂f2 ∂σi
( ) dε1p : dε2p : dε3p = dλ2 : dλ1 : − dλ1 + dλ2 = (1− λ) : λ : −1
0 ≤ λ = dλ1 ≤ 1 dλ1 + dλ2
可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化,这个变化区 域称之为尖点应变锥
∂f ∂σ
}T
[D
]
e
{
∂g ∂σ
}
{d
ε
}
5
{dε }
=
{d ε }e
+ {d ε }p
=
[
D
]
− e
1
{
d
σ
}
+
d λ{ ∂g ∂σ
}
{dσ
}
=
([ D
]e
−
[
D
]
e
{
∂g ∂σ
A
+
{
∂f ∂σ
}{ ∂f }T [ D ∂σ
}T
[
D
]
e
{
∂g ∂σ
]e }
) {d ε
}
= [ D ]ep {d ε }
为了求出逆关系,将上式两端乘上
∂f {
∂σ
}T [ D
]e
{
∂f ∂σ
}T
[D
]e
{d ε
}
=
{
∂f ∂σ
}T {d σ
}
+
1 { ∂f A ∂σ
}T
[
D
]
e
{
∂g ∂σ
}{ ∂f ∂σ
}T {d σ }
=
Ad λ
+ { ∂f ∂σ
}T
[
D
]
e
{
∂g ∂σ
}d λ
dλ
=
A
+
{
∂f ∂σ
}T
[D
]e
{
=
1 E
⎡⎣σ z
−ν
σx +σy
⎤⎦
γ xy
=
1 G
τ
xy
γ
yz
=
1τ G
yz
γ zx
=
1 G
τ
zx
在弹性范围内,应力和应变间的方向关系是应力主轴
和应变主轴重合,而分配关系是应变偏量各分量和应
力偏量各分量成比例。
eij
=
1 2G
sij
eij = ϕsij
其中,φ不是一个常数,它和点的位置以及荷载水 平有关,即对物体的不同的点,不同的荷载水平, φ 都是不同的。
− Dijkl dλ
∂g ∂σ kl
)
dλ
=
1 ∂f A ∂σ ij
dσ ij
=
1 ∂f A ∂σ ij
(Dijkl dε kl
− Dijkl dλ
∂g )
∂σ kl
(1 +
1 ∂f A ∂σij
Dijkl
∂g )dλ ∂σ kl
=
1 ∂f A ∂σij
Dijkl dε kl
dλ
=
∂f ∂σ ij
Dijkl dε kl
dλ
=
1 ⎧ ∂f A ⎨⎩ ∂σ
⎫T ⎬
{dσ
}
⎭
A可通过实验测定
{d ε } p = d λ { ∂ g } = 1 { ∂ g } { ∂ f } T { d σ }
∂σ
A ∂σ ∂σ
用应力增量表示应变增量:
{d ε } = [ D ]e −1{d σ } +
1 A
{
∂g ∂σ
}{
∂f ∂σ
}T {d σ }
由
dΦ
=
∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
dξβ
=
∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂εvp
dεvp
=0
得:
dλ
=
1 ∂Φ A ∂σ ij
dσ ij
A
=
−
∂Φ ∂εvp
∂g ∂p
10.4 弹塑性本构关系的一般形式
(1)全量形式
由于塑性本构关系与应力或应变路径有关,应力和应变之间不 存在唯一的对应关系;因此,对一般的复杂加载历史和应力路 径不可能建立起全量本构关系。
≤
π
2
Mises形式的流动法则
相关流动法则得
g(σ ij ) = f (σij ) = J 2 − C = sij sij / 2 − C = 0,
C
=
σ
2 s
/
3
由于塑性变形不可压缩,引入应力偏量形式
dε ij = dε mδij + deij , deij = deiej + deipj
deiej
• Roscoe K H, Schofield A N and Wroch C P (1958),On the yielding of soils,Geotechnigue,8(1),22-53
Dijkl dε kl = Dijkl dεije + Dijkl dε kl p
Dijkl dε kl = dσ kl + Dijkl dε kl p
dσ ij
=
Dijkl dε kl
−
Dijkl dλ
∂g ∂σ kl
dλ
=
1 ∂f A ∂σ ij
dσ ij
=
1 ∂f A ∂σ ij
(Dijkl dε kl
当应力点位于f1=0上
dεipj
=
dλ1
∂f1 ∂σij
(dε1p
:
dε
p 2
:
dε
p 3
)
= (0 : dλ1 : −dλ1)
当应力点位于f2=0上
dε
p ij
=
dλ 2
∂f2 ∂σij
(dε1p
:
dε
p 2
:
dε3p
)
= (dλ2 : 0 : −dλ2)
当应力点在f1=0和f2=0的交点上
dεip
线性
全量理论适用于: (1)小变形+(2)简单加载
简单加载:在加载过程中物体内每一点的各个应力分量 按比例增长的。即在简单加载时,各应力分量与一个共 同的参数成比例,即:
σ
0 ij
是某一非零的参考应力状态,α
(t)
是一个单调增加的参数。