八年级上册全等三角形专题练习(解析版)

八年级上册全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1

2

BC，则△ABC的顶角的度数为

_____．

【答案】30°或150°或90°

【解析】

试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．

解：①BC为腰，

∵AD⊥BC于点D，AD=1

2 BC，

∴∠ACD=30°，

如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，

如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，

∵AD⊥BC于点D，AD=1

2 BC，

∴AD=BD=CD，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

∴∠BAD+∠CAD=1

2

×180°=90°，

∴顶角∠BAC=90°，

综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．

故答案为30°或150°或90°．

点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

2．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限

内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1

2

），且

△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．

【答案】-8

3

．

【解析】

【分析】

先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的

面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝13

2

，故可得出a的值．

【详解】

∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，

∴22

3+213

AB＝＝，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

∴

1113

•1313

222 ABC

S AB AC⨯⨯

＝＝＝，

作PE⊥x轴于E，连接OP，

此时BE＝2﹣a，

∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，

∴

111

•••

222 ABP POA AOB BOP

S S S S OA OE OB OA OB PE ++

＝﹣＝﹣，

111113332222222a ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝（﹣）﹣＝

，

解得a ＝﹣83

．

故答案为﹣83． 【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程．

3．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．

【答案】①②③

【解析】

【分析】

只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．

【详解】

解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，

∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，

∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，

∴∠A=∠DFB ，

∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，

∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，

∴BD=DC ，

在△BDF 和△CDA 中，

∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ，

∴△BDF ≌△CDA （AAS ），

∴BF=AC ，故①正确．

∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE ⊥AC ，

∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，

∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=45°，

∴∠ABE=∠CBE=22.5°，

∵∠BDF=∠BHG=90°，

∴∠BGH=∠BFD=67.5°，

∴∠DGF=∠DFG=67.5°，

∴DG=DF ，故③正确．

作GM ⊥AB 于M ．如图所示：

∵∠GBM=∠GBH ，GH ⊥BC ，

∴GH=GM ＜DG ，

∴S △DGB ＞S △GHB ，

∵S △ABE =S △BCE ，

∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故④错误，

故答案为：①②③．

【点睛】

此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．

4．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；

②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902

BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2

AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．