化学反应器轴向扩散模型的应用分析
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2 2 s = (1 - e - Pe ) Pe Pe2
2 θ
1 物理模型
由于分子扩散、 涡流扩散及流速分布的不均匀 等原因， 而使流体流动状况偏离理想平推流的现象， 可以总体地用一个轴向扩散过程来表示， 即采用该 轴向扩散过程的有效扩散系数 Da 来定量地表征一 维返混的强度。也就是在平推流流动模式的基础上 叠加了一个涡流扩散项 [10-12]， 其假定主要包括以下 三个方面： 1） 沿着与流体流动方向垂直的每一截面上， 具 有均匀的径向浓度； 2） 在每一截面上和沿流体流动方向， 流体速度 和扩散系数均为恒定值； 3） 物料浓度为流体流动距离的连续函数。
。该模型假定反应器内流体主体沿
反应器轴向进行流动的同时， 由于分子扩散、 涡流扩 散以及流速分布不均匀等原因造成了返混， 使得流 体流动偏离理想的平推流， 即轴向扩散模型就是在 平推流模型的基础上叠加了一个扩散项， 将所有造 成返混的因素归结于一个轴向扩散过程 [8]。 按照流体进入反应器时是否发生流型变化， 可 以分为开式系统和闭式系统， 分别对应于不同的边 界条件。对于常用的管式反应器和塔式反应器来说， 通常闭式系统的假定是符合绝大多数实际情况的 。 按照闭式系统的假定确定边界条件进行分析， 可以 得到该过程的无因次停留时间方差的表达式为：
3.0 2.5
（3）
tu ϕ = c ， 式 （３） 中， ζ q= ， Lr
c0
uL ， Pe = r 。 Da
（Peclet Number） ， 物理意义为过 Pe 为贝克莱数 程中主流体平推流流动与扩散返混的强度之比。 2.3 模型方程的解 按照闭式系统的假定确定边界条件， 可得轴向 扩散模型无因次停留时间的方差如前述方程式 （1） 所示。
其中， c 为浓度， t 为时间， Da 为轴向扩散系数， Z 为轴向的距离， u 为流速。 2.2 模型方程的无因次化 引入无因次量将方程化为无因次形式：
¶j 1 ¶ 2j ¶j = ¶ q Pe ¶ z 2 ¶ z
= Z Lr
在试差法计算的过程中， 有以下几个方面值得 注意。 1） 初值的选取 利用试差法计算时， 初值按照 0.1261 ≈ 2/Pe 取 值，即 Pe ≈15.9。因为对于大多数情况来说，式 （1）右端中减号后一项通常都很小，所以这样选 择初值可以很好地接近真实解。为了说明这一点， 可以将式（1）中右端减号后一项的值作图，结果 如图1所示。
2 数学模型
2.1 轴向扩散模型方程的建立 根据上述假设， 对流动系统进行物料衡算， 可建
作者简介： 杨东晓（1982-） ，男，副教授，硕士研究生导师，从事化学工程与技术的教学和研究。E-mail: 2013065@htu.cn 收稿日期： 2017-02-16
第4期
杨东晓等：化学反应器轴向扩散模型的应用分析
2 表 1 试差法求解σ θ =-Pe 方程
33
立轴向扩散模型的数学模型方程， 整理后可以得到 如下方程 [13-15]：
¶c ¶2c ¶c = Da 2 - u ¶t ¶Z ¶Z
Trial NO. 1 （2） 2 3 4 5 6 7
Pe 15.9 15 14 14.8 14.7 14.78 14.79
[9]
（1）
无因次停留时间方差是能够体现实际反应器中 流体流动过程返混程度的重要参数， 而贝克莱数 Pe 是体现轴向扩散模型中主体平推流与叠加的扩散返 混两个过程相对程度的特征参数。因此， 此式是一 个非常关键的桥梁， 将实际的流体流动过程与轴向 扩散模型联系起来。轴向扩散模型是单参数模型， 只要 Pe 确定， 模型就对应确定了。如果要用轴向 扩散模型进行过程模拟和分析计算， 那么对方程式
2 2 (1 - e - Pe ) Pe Pe2
3 Pe 方程的分析
如前所述，Pe 方程是轴向扩散模型中非常重 要的关系式。但是式 （1） 是超越方程， 不能直接得 到解析解， 给模型的应用增加了不便。本文从多个 方面对该超越方程展开分析。 3.1 试差法求解 在运用轴向扩散模型对某个实际的流动过程进 行模拟分析时， 可以首先针对流体流动过程进行示
在对化学反应器进行分析计算时， 轴向扩散模 型是描述非理想流动反应器的主要模型之一， 特别 适用于管式反应器、 塔式反应器等返混程度较小的 反应器系统
[1-7]
（1） 的求解是必不可少的。 轴向扩散模型是模拟非理想反应器的重要模型 之一， 但是对无因次停留时间方差的超越方程的求 解， 其讨论相对较少。本文对 Pe 方程展开分析， 得 到了许多有价值的结论， 对轴向扩散模型的应用拓 展和理论基础分析都有重要意义。
第 46 卷 第 4 期 2017 年 4 月
化
工
பைடு நூலகம்
技
术
与
开
发
Technology & Development of Chemical Industry
Vol.46 No.4 Apr.2017
化学工程 化学反应器轴向扩散模型的应用分析
杨东晓，李亚晓，任好雨，姜聚慧，娄向东
（河南师范大学，河南 新乡 453007） 摘 要：轴向扩散模型是化学反应器模拟分析的重要模型。轴向扩散模型中方差-Pe（贝克莱数）方程是联系实 际流体流动状况和模型特征参数的关键方程。该方程属于超越方程，不能直接得到解析解。本文对轴向扩散模型中 方差-Pe方程的特征和求解过程展开研究，从试差法求解初值的选取、方程表达式的单调性、近似解的适用范围，以 及方程的数据表等几个方面进行了分析和讨论，得到了多个有价值的结论，对轴向扩散模型的实际应用起到了推动 的作用。 关键词： 停留时间分布； 数学模拟； 模型； 轴向扩散； 贝克莱数 中图分类号： TQ 011 文献标志码： A 文章编号： 1671-9905(2017)04-0032-04
Right End Value 0.1179 0.1244 0.1326 0.1260 0.1268 0.1262 0.1261
Error -0.0082 -0.0017 0.0066 -0.0001 0.0007 0.0001 0.0000
% -6.5 -1.3 5.2 -0.1 0.6 0.0 0.0
2 θ
1 物理模型
由于分子扩散、 涡流扩散及流速分布的不均匀 等原因， 而使流体流动状况偏离理想平推流的现象， 可以总体地用一个轴向扩散过程来表示， 即采用该 轴向扩散过程的有效扩散系数 Da 来定量地表征一 维返混的强度。也就是在平推流流动模式的基础上 叠加了一个涡流扩散项 [10-12]， 其假定主要包括以下 三个方面： 1） 沿着与流体流动方向垂直的每一截面上， 具 有均匀的径向浓度； 2） 在每一截面上和沿流体流动方向， 流体速度 和扩散系数均为恒定值； 3） 物料浓度为流体流动距离的连续函数。
。该模型假定反应器内流体主体沿
反应器轴向进行流动的同时， 由于分子扩散、 涡流扩 散以及流速分布不均匀等原因造成了返混， 使得流 体流动偏离理想的平推流， 即轴向扩散模型就是在 平推流模型的基础上叠加了一个扩散项， 将所有造 成返混的因素归结于一个轴向扩散过程 [8]。 按照流体进入反应器时是否发生流型变化， 可 以分为开式系统和闭式系统， 分别对应于不同的边 界条件。对于常用的管式反应器和塔式反应器来说， 通常闭式系统的假定是符合绝大多数实际情况的 。 按照闭式系统的假定确定边界条件进行分析， 可以 得到该过程的无因次停留时间方差的表达式为：
3.0 2.5
（3）
tu ϕ = c ， 式 （３） 中， ζ q= ， Lr
c0
uL ， Pe = r 。 Da
（Peclet Number） ， 物理意义为过 Pe 为贝克莱数 程中主流体平推流流动与扩散返混的强度之比。 2.3 模型方程的解 按照闭式系统的假定确定边界条件， 可得轴向 扩散模型无因次停留时间的方差如前述方程式 （1） 所示。
其中， c 为浓度， t 为时间， Da 为轴向扩散系数， Z 为轴向的距离， u 为流速。 2.2 模型方程的无因次化 引入无因次量将方程化为无因次形式：
¶j 1 ¶ 2j ¶j = ¶ q Pe ¶ z 2 ¶ z
= Z Lr
在试差法计算的过程中， 有以下几个方面值得 注意。 1） 初值的选取 利用试差法计算时， 初值按照 0.1261 ≈ 2/Pe 取 值，即 Pe ≈15.9。因为对于大多数情况来说，式 （1）右端中减号后一项通常都很小，所以这样选 择初值可以很好地接近真实解。为了说明这一点， 可以将式（1）中右端减号后一项的值作图，结果 如图1所示。
2 数学模型
2.1 轴向扩散模型方程的建立 根据上述假设， 对流动系统进行物料衡算， 可建
作者简介： 杨东晓（1982-） ，男，副教授，硕士研究生导师，从事化学工程与技术的教学和研究。E-mail: 2013065@htu.cn 收稿日期： 2017-02-16
第4期
杨东晓等：化学反应器轴向扩散模型的应用分析
2 表 1 试差法求解σ θ =-Pe 方程
33
立轴向扩散模型的数学模型方程， 整理后可以得到 如下方程 [13-15]：
¶c ¶2c ¶c = Da 2 - u ¶t ¶Z ¶Z
Trial NO. 1 （2） 2 3 4 5 6 7
Pe 15.9 15 14 14.8 14.7 14.78 14.79
[9]
（1）
无因次停留时间方差是能够体现实际反应器中 流体流动过程返混程度的重要参数， 而贝克莱数 Pe 是体现轴向扩散模型中主体平推流与叠加的扩散返 混两个过程相对程度的特征参数。因此， 此式是一 个非常关键的桥梁， 将实际的流体流动过程与轴向 扩散模型联系起来。轴向扩散模型是单参数模型， 只要 Pe 确定， 模型就对应确定了。如果要用轴向 扩散模型进行过程模拟和分析计算， 那么对方程式
2 2 (1 - e - Pe ) Pe Pe2
3 Pe 方程的分析
如前所述，Pe 方程是轴向扩散模型中非常重 要的关系式。但是式 （1） 是超越方程， 不能直接得 到解析解， 给模型的应用增加了不便。本文从多个 方面对该超越方程展开分析。 3.1 试差法求解 在运用轴向扩散模型对某个实际的流动过程进 行模拟分析时， 可以首先针对流体流动过程进行示
在对化学反应器进行分析计算时， 轴向扩散模 型是描述非理想流动反应器的主要模型之一， 特别 适用于管式反应器、 塔式反应器等返混程度较小的 反应器系统
[1-7]
（1） 的求解是必不可少的。 轴向扩散模型是模拟非理想反应器的重要模型 之一， 但是对无因次停留时间方差的超越方程的求 解， 其讨论相对较少。本文对 Pe 方程展开分析， 得 到了许多有价值的结论， 对轴向扩散模型的应用拓 展和理论基础分析都有重要意义。
第 46 卷 第 4 期 2017 年 4 月
化
工
பைடு நூலகம்
技
术
与
开
发
Technology & Development of Chemical Industry
Vol.46 No.4 Apr.2017
化学工程 化学反应器轴向扩散模型的应用分析
杨东晓，李亚晓，任好雨，姜聚慧，娄向东
（河南师范大学，河南 新乡 453007） 摘 要：轴向扩散模型是化学反应器模拟分析的重要模型。轴向扩散模型中方差-Pe（贝克莱数）方程是联系实 际流体流动状况和模型特征参数的关键方程。该方程属于超越方程，不能直接得到解析解。本文对轴向扩散模型中 方差-Pe方程的特征和求解过程展开研究，从试差法求解初值的选取、方程表达式的单调性、近似解的适用范围，以 及方程的数据表等几个方面进行了分析和讨论，得到了多个有价值的结论，对轴向扩散模型的实际应用起到了推动 的作用。 关键词： 停留时间分布； 数学模拟； 模型； 轴向扩散； 贝克莱数 中图分类号： TQ 011 文献标志码： A 文章编号： 1671-9905(2017)04-0032-04
Right End Value 0.1179 0.1244 0.1326 0.1260 0.1268 0.1262 0.1261
Error -0.0082 -0.0017 0.0066 -0.0001 0.0007 0.0001 0.0000
% -6.5 -1.3 5.2 -0.1 0.6 0.0 0.0