人教版选修4-5 平面上的柯西不等式的代数和向量形式

2.1柯西不等式

2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式

1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理3、定理4、定理5等几种不同形式，理解它们的几何意义.

2.会用柯西不等的代数形式和向量形式以及定理3、定理4、定理5，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.

自学导引

1.若a1，a2，b1，b2∈R，则(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，等号成立⇔a1b2＝a2b1.

2.设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，等号成立⇔α与β共线⇔α＝λβ(λ≠0)；|α|＋|β|≥|α＋β|，等号成立的条件为〈α，β〉＝0或α与β同向或α＝λβ(λ>0).

3.设a1，a2，b1，b2为实数，则a21＋a22

等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使得μa1＝λb1，μa2＝λb2.

4.设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋（b1－c1）2＋（b2－c2）2≥

，其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|.

5.设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立的充要条件为α－β＝λ(β－γ)__(λ>0).

基础自测

1.已知a，b∈R*且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是()

A.P≤Q

B.P

C.P≥Q

D.P>Q

解析P＝(ax＋by)2＝[a(ax)＋b(by)]2

≤(ax2＋by2)(a＋b)＝ax2＋by2＝Q

∴P≤Q，选A.

答案 A

2.下列说法：

①二维形式的柯西不等式中a，b，c，d没有取值限制.

②二维形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取数，不能为代数式.

③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β.

④柯西不等式只能应用于证明不等式或求最值.

其中正确的个数有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析由柯西不等式的概念知，只①正确，a，b，c，d是实数，没有其取值限制.

答案 A

3.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________. 解析运用柯西不等式求解.

根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为 5.

答案5

知识点1利用柯西不等式证明不等式

【例1】已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤11.

证明 由于2x ＋y ＝

23(3x )＋1

2

(2y ). 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 2

2)得

(2x ＋y )2

≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭

⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122(3x 2

＋2y 2)

≤⎝ ⎛⎭⎪⎫

43＋12×6＝116×6＝11， ∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.

●反思感悟：柯西不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2⇔a 21＋a 22

b 2

1＋b 22

≥|a 1b 1＋a 2b 2|，应用时关键是对已知条件的变形.

1.已知a ，b ，c ，d ∈R ，x >0，y >0，且x 2＝a 2＋b 2，y 2＝c 2＋d 2，求证：xy ≥ac ＋bd . 证明 由柯西不等式知：ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2＝x 2·y 2＝xy .∴xy ≥ac ＋bd . 【例2】 (二维形式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，用代数的方法证明

x 21＋y 2

1

＋x 2

2＋y 22≥

（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.

证明 (x 21＋y 21＋x 22＋y 22)2

＝x 21＋y 21＋2x 21＋y 21

x 22＋y 22＋x 22＋y 2

2

≥x 21＋y 21＋2|x 1x 2＋y 1y 2|＋x 22＋y 2

2 ≥x 21＋y 21－2(x 1x 2＋y 1y 2)＋x 22＋y 22 ＝x 21－2x 1x 2＋x 22＋y 21－2y 1y 2＋y 22

＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

∴x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥

（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2

●反思感悟：在平面中设α＝(x 1，y 1)，β＝(x 2，y 2)，则α±β＝(x 1±x 2，y 1±y 2)由向量加法的三角形法则知：

|α|＋|β|≥|α＋β|⇔x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥

（x 1＋x 2）2＋（y 1＋y 2）2，由向量减法的几何意义知：

|α|＋|β|≥|α－β|⇔x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥

（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.

2.利用柯西不等式证明：a 2＋b 28≥⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 42

. 证明 ⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 42＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b 42

≤(a 2＋b 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭

⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝a 2＋b 28. 知识点2 利用柯西不等式求函数的最值 【例3】 求函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值. 解 函数的定义域为{x |1≤x ≤5}.

y ＝5x －1＋25－x ≤52＋2x －1＋5－x ＝27×2＝63当且仅当55－x ＝2x －1 即x ＝127

27时取等号，故函数的最大值为6 3.

●反思感悟：解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.

3.已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值.

解 2x 2

＋3y 2

＝[(2x )2

＋(3y )2

]⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×65

≥65⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ·12＋3y ·132

＝65(x ＋y )2＝6

5.

课堂小结

1.二维形式的柯西不等式

(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时等号成立.

2.推论：(1)(a ＋b )·(c ＋d )≥(ac ＋bd )2；