高中数学必修2-3第二章2.4正态分布

2．4正态分布

1．问题导航

(1)什么是正态曲线和正态分布

(2)正态曲线有什么特点曲线所表示的意义是什么

(3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率

2．例题导读

请试做教材P74练习1题．

1．正态曲线

函数φμ，σ(x)＝

1

2πσ

e－

（x－μ）2

2σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，

φμ，σ(x)的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝

⎠⎛

a

bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为________X～N(μ，σ2)．

3．正态曲线的性质

正态曲线φμ，σ(x)＝

1

2πσ

e－

（x－μ）2

2σ2

，x∈R有以下性质：

(1)曲线位于x轴________上方，与x轴________不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线________x＝μ对称；

(3)曲线在________x＝μ处达到峰值________1

σ2π

；

(4)曲线与x轴之间的面积为________1；

(5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.

4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝；

P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝；

P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝．

1．判断(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()

(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()

(3)正态曲线可以关于y轴对称．()

答案：(1)×(2)×(3)√

2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()

A．0 B．σ

C．－μD．μ

答案：D

3．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝()

答案：D

4．已知正态分布密度函数为f(x)＝

1

2π

e－

x2

4π

，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值

为________，标准差为________．

答案：02π

正态分布的再认识

(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．

(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．

(3)从正态曲线可以看出，对于固定的μ而言，随机变量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．对于固定的μ和σ，随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大，即3σ原则．

正态分布密度曲线

如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．

[解]从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20

对称，最大值为

1

2π

，

所以μ＝20

，

1

2πσ

＝

1

2π

，

∴σ＝ 2.

于是φμ，σ(x)＝1

2π·e－

（x－20）2

4，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，

方差是σ2＝(2)2＝2.

利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝

μ，另一是最值1

σ2π

，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．

扫一扫进入91导学网正态分布密度曲线

1．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1

42π

.求该正态分布的概率密度函数的解析式．

解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.

由于

1

2πσ

＝

1

2π·4

，得σ＝4，

故该正态分布的概率密度函数的解析式是

φμ，σ(x)＝

1

42π

e－

x2

32，x∈(－∞，＋∞)．求正态分布下的概率

设X～N(1，22)，试求：

(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．

[解]因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.

(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝ 6.

(2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)， 所以P (3＜X ≤5)

＝1

2[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝1

2[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝1

2[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝1

2

4－ 6)＝ 9. [互动探究] 在本例条件下，试求P (X ≥5)． 解：因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)， 所以P (X ≥5)＝1

2[1－P (－3＜X ≤5)]

＝1

2[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝1

2[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝1

2

(1－ 4)＝ 8.

(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用．

(2)常用结论有

①对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； ②P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)；

③P (a ＜X ＜b )＝P (X ＜b )－P (X ≤a )．

2．(1)(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )

(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝%.)

A ．%

B ．%

C ．%

D ．%

解析：选B.由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝ 6，P (－6＜ξ＜6)＝ 4，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2

＝错误!＝ 9＝%，故选B.

(2)设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4＜X ＜8)＝，则P (X ＜0)＝________．

解析：概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为，在0左边的概率等于在8右边的概率，即－＝.

答案：