高中数学必修2-3第二章2.4正态分布

2．4正态分布
1．问题导航
(1)什么是正态曲线和正态分布
(2)正态曲线有什么特点曲线所表示的意义是什么
(3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率
2．例题导读
请试做教材P74练习1题．
1．正态曲线
函数φμ，σ(x)＝
1
2πσ
e－
（x－μ）2
2σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，
φμ，σ(x)的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝
⎠⎛
a
bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为________X～N(μ，σ2)．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ(x)＝
1
2πσ
e－
（x－μ）2
2σ2
，x∈R有以下性质：
(1)曲线位于x轴________上方，与x轴________不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线________x＝μ对称；
(3)曲线在________x＝μ处达到峰值________1
σ2π
；
(4)曲线与x轴之间的面积为________1；
(5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.
4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝；
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝；
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝．
1．判断(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()
(3)正态曲线可以关于y轴对称．()
答案：(1)×(2)×(3)√
2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()
A．0 B．σ
C．－μD．μ
答案：D
3．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝()
答案：D
4．已知正态分布密度函数为f(x)＝
1
2π
e－
x2
4π
，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值
为________，标准差为________．
答案：02π
正态分布的再认识
(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．
(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．
(3)从正态曲线可以看出，对于固定的μ而言，随机变量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．对于固定的μ和σ，随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大，即3σ原则．
正态分布密度曲线
如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
[解]从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20
对称，最大值为
1
2π
，
所以μ＝20
，
1
2πσ
＝
1
2π
，
∴σ＝ 2.
于是φμ，σ(x)＝1
2π·e－
（x－20）2
4，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，
方差是σ2＝(2)2＝2.
利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝
μ，另一是最值1
σ2π
，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．
扫一扫进入91导学网正态分布密度曲线
1．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1
42π
.求该正态分布的概率密度函数的解析式．
解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.
由于
1
2πσ
＝
1
2π·4
，得σ＝4，
故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ(x)＝
1
42π
e－
x2
32，x∈(－∞，＋∞)．求正态分布下的概率
设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．
[解]因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝ 6.
(2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)， 所以P (3＜X ≤5)
＝1
2[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝1
2[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝1
2[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝1
2
4－ 6)＝ 9. [互动探究] 在本例条件下，试求P (X ≥5)． 解：因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)， 所以P (X ≥5)＝1
2[1－P (－3＜X ≤5)]
＝1
2[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝1
2[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝1
2
(1－ 4)＝ 8.
(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用．
(2)常用结论有
①对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； ②P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)；
③P (a ＜X ＜b )＝P (X ＜b )－P (X ≤a )．
2．(1)(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝%.)
A ．%
B ．%
C ．%
D ．%
解析：选B.由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝ 6，P (－6＜ξ＜6)＝ 4，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2
＝错误!＝ 9＝%，故选B.
(2)设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4＜X ＜8)＝，则P (X ＜0)＝________．
解析：概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为，在0左边的概率等于在8右边的概率，即－＝.
答案：
(3)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)．
①求c的值；②求P(－4＜X＜8)．
解：
①由X～N(2，9)可知，密度函数曲线关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，
故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
②P(－4＜X＜8)＝P(2－2×3＜X＜2＋2×3)＝4.
正态分布的实际应用
某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分的学生为不及格学生．
(1)成绩不及格的人数占多少
(2)成绩在80～90之间的学生占多少
[解](1)设学生的得分情况为随机变量X，
则X～N(70，102)，其中μ＝70，σ＝10.
在60到80之间的学生占的比为P(70－10<X≤70＋10)＝6＝%，
∴不及格的学生所占的比为
1
2×(1－6)＝7＝%.
(2)成绩在80到90之间的学生所占的比为
1
2×[P(70－2×10<X≤70＋2×10)－P(70－10<X≤70＋10)]＝1
2×4－6)＝%.
正态曲线的应用及求解策略：
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
3．(2015·杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．
解：∵X～N(50，102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30＜X≤60)＝P(30＜X≤50)＋P(50＜X≤60)
＝1
2P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＋
1
2P(μ－σ＜X≤μ＋σ)
＝12× 4＋1
2
× 6＝ 5. 即他在(30，60]分内赶到火车站的概率是 5.
数学思想
正态分布中的化归与转化思想
已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝ 6，则P (X >4)＝( ) A ． 8 B ． 7 C ． 6 D ． 5
[解析] 由于X 服从正态分布N (3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)，
故P (X >4)＝1－P （2≤X ≤4）2＝1－ 6
2
＝ 7.
[答案] B
[感悟提高] 化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一，在解决正态分布的应用问题时，化归与转化思想起着不可忽视的作用．
本小题考查正态分布的有关知识，求解时应根据P (X >4)＋P (X <2)＋P (2≤X ≤4)＝1将问题转化．
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝φμ，σ(x )＝1
8π
e －（x －10）2
8
，则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10
解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. 2.(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A ．2 386
B ．2 718
C ．3 413
D ．4 772 附：若X ～N (μ，σ2)， 则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝ 6， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝ 4.
解析：选C.由P (－1<X ≤1)＝ 6，得P (0<X ≤1)＝ 3，则阴影部分的面积为 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×错误!＝3 413，故选C.
3．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若X 在(0，1)内取值的概率为，则X 在(0，2)内取值的概率为________．
解析：如图，易得P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)， 故P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×＝.
答案：
4．设X ～N (5，1)，求P (6<X ≤7)． 解：由已知得P (4<X ≤6)＝ 6， P (3<X ≤7)＝ 4.
又∵正态曲线关于直线x ＝5对称， ∴P (3<X ≤4)＋P (6<X ≤7)＝ 4－ 6 ＝ 8.
由对称性知P (3<X ≤4)＝P (6<X ≤7)， 所以P (6<X ≤7)＝错误!＝ 9.
[A.基础达标]
1．设随机变量ξ～N (2，2)，则D (1
2ξ)＝( )
A ．1
B ．2 D ．4
解析：选C.∵ξ～N (2，2)，∴D (ξ)＝2. ∴D (12ξ)＝122D (ξ)＝14×2＝12
.
2．下列函数是正态密度函数的是( ) A ．f (x )＝
1
2σπe
（x －μ）2
2σ2
，μ，σ(σ＞0)都是实数
B ．f (x )＝2π2π
e －x 2
2
C ．f (x )＝1
22π
e －（x －1）24
D ．f (x )＝12π
e x 2
2
解析：选B.对于A ：函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A 错误；对于B ：符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B 正确；对于C ：从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，故C 不正确；对于D ：指数部分缺少一个负号，故D 不正确．
3．(2015·高考湖北卷)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ2
2)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )
A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)
B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)
C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )
D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )
解析：选D.由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P (Y ≥μ2)＝12，P (Y ≥μ1)>1
2，故P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，
故A 错；
因为σ1＜σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错； 对任意正数t ，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 错；
对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选D.
4．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝，则P (0＜ξ＜2)＝( ) A ． B ． C ． D ．
解析：选C.如图，正态分布的密度函数图象关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＜2)＝，并且P (0＜ξ＜2)＝P (2＜ξ＜4)，则P (0＜ξ＜2)＝P (ξ＜4)－P (ξ＜2)＝－＝.
5．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是1
2，
则μ＝( )
A ．1
B ．4
C ．2
D ．不能确定
解析：选B.根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态分布密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是1
2
时，μ＝4.
6．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)成立，则μ＝________．
解析：∵ξ～N (μ，σ2)，故概率密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ＜1)＝P (ξ＞3)，从而μ＝1＋32
＝2，即μ的值为2.
答案：2
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．
解析：由正态分布的特征易得P (ξ>2)＝12×[1－2P (0<ξ<1)]＝1
2
×(1－＝.
答案：
8．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在岁至19岁
的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于kg小于等于kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．
解析：依题意可知，μ＝，σ＝2，故P＜X≤＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝6，从而属于正常情况的人数为1 000× 6≈683.
答案：683
9．(2015·苏州高二检测)某个工厂的工人月收入服从正态分布N(2 500，202)，该工厂共有1 200名工人，试估计月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有多少人解：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(2 500，202)，
所以μ＝2 500，σ＝20，
所以月收入在区间(2 500－3×20，2 500＋3×20)内取值的概率是4，该区间即(2 440，2 560)．
因此月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有1 200×(1－4)＝1 200× 6≈3(人)．10．(2015·漳州高二检测)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分)服从正态分布N(50，102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60，42)．
(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线
(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线
解：由已知X～N(50，102)，Y～N(60，42)．由正态分布的2σ区间性质P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝4.然后解决问题的关键是：根据上述性质得到如下结果：
对X：μ＝50；σ＝10，2σ区间为(30，70)，
对Y：μ＝60；σ＝4，2σ区间为(52，68)，
要尽量保证用时在X?(30，70)，Y?(52，68)才能保证有95%以上的概率准时到达．
(1)时间只有70分钟可用，应该走第二条路线．
(2)时间只有65分钟可用，两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达，但是走市区平均用时比路线二少了10分钟，应该走第一条路线．
[B.能力提升]
1．设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，P(|X－μ|＜3σ)将会()
A．单调增加 B．单调减少
C．保持不变D．增减不定
解析：选C.对于服从正态分布的随机变量X，不论μ，σ怎么变化，P(|X－μ|＜3σ)总等于4.
2．设正态总体落在区间(－∞，－1)和区间(3，＋∞)的概率相等，落在区间(－2，4)内的概率为%，则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为()
A．(1，1
2π
) B．(1，2)
C．(1
2π
，1) D．(1，1)
解析：选A.正态总体落在区间(－∞，－1)和(3，＋∞)的概率相等，说明正态曲线关于x
＝1对称，所以μ＝1.
又在区间(－2，4)内的概率为%， ∴1－3σ＝－2，1＋3σ＝4，∴σ＝1.
∴f (x )＝1
2π
e －（x －1）22，x ∈R ，
∴最高点的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫1，
12π. 3．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，则下列结论正确的是________． ①P (|ξ|＜a )＝P (ξ＜a )＋P (ξ＞－a )(a ＞0)； ②P (|ξ|＜a )＝2P (ξ＜a )－1(a ＞0)； ③P (|ξ|＜a )＝1－2P (ξ＜a )(a ＞0)； ④P (|ξ|＜a )＝1－P (|ξ|＞a )(a ＞0)．
解析：因为P (|ξ|＜a )＝P (－a ＜ξ＜a )，所以①不正确；
因为P (|ξ|＜a )＝P (－a ＜ξ＜a )＝P (ξ＜a )－P (ξ＜－a )＝P (ξ＜a )－P (ξ＞a )＝P (ξ＜a )－(1－P (ξ＜a ))＝2P (ξ＜a )－1，所以②正确，③不正确；
因为P (|ξ|＜a )＋P (|ξ|＞a )＝1，
所以P (|ξ|＜a )＝1－P (|ξ|＞a )(a ＞0)，所以④正确． 答案：②④
4．设随机变量X ～N (1，22)，则Y ＝3X －1服从的总体分布可记为________． 解析：因为X ～N (1，22)，所以μ＝1，σ＝2. 又Y ＝3X －1，所以E (Y )＝3E (X )－1＝3μ－1＝2， D (Y )＝9D (X )＝62， 所以Y ～N (2，62)． 答案：Y ～N (2，62) 5．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.
①利用该正态分布，求P <Z <；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间，的产品件数，利用①的结果，求E (X )．
附：150≈.
若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝ 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝ 4.
解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×＋180×＋190×＋200×＋210×＋220×＋230×＝200，
s2＝(－30)2×＋(－20)2×＋(－10)2×＋0×＋102×＋202×＋302×＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P<Z<＝P(200－<Z<200＋＝6.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间，的概率为6，依题意知X～B(100，6)，所以E(X)＝100× 6＝.
6．请仔细阅读下面这段文字，然后解决后面的问题．
在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是：
(1)提出统计假设：某种指标服从正态分布N(μ，σ2)；
(2)确定一次试验中的取值a；
(3)作出统计推断：若a∈(μ－3σ，μ＋3σ)，则接受假设，若a?(μ－3σ，μ＋3σ)，则拒绝假设．
问题：
某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N(30，，质检人员从该厂某一天生产的1 000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为kg/cm2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格为什么
解：由于在一次试验中ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率为，故ξ几乎必然落在上述区间内．把μ＝30，σ＝代入，得区间(μ－3σ，μ＋3σ)＝，，而?，，∴据此认为这批砖不合格．。