线性代数第六章实二次型(自考经管类)
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第六章
知识结构
实二次型
二次型与矩阵
二次型
正交变换 标准形
配方法
规范形 惯性定理
正定二次型、正定矩阵
6.1 实二次型及其标准形
一、二次型概念及其对应矩阵 二、二次型的标准形 三、用配方法求标准形 四、规范形
一、二次型概念及其对应矩阵
定义 称 n 个变量的二次齐次式
f(x1 , x2 , ···, xn ) = a11x12 + a22x22 + ···+ annxn2 +
等价A B : B PAQ,其中P,Q可逆； 相似A B : B P -1AP, 其中P可逆； 合同A B : B P T AP,其中P可逆.
注 :（1）相似一定等价，合同一定等价；相似、合同 具有反身性，对称性，传递性； （2）若P为正交矩阵，则P1 PT ,此时相似即合同. 即正交相似必合同.
1 2
1 2
1 2
0
0
1 2
.
1 1
2
2
1 2
0
1 2
1 2
（6） 令正交变换x Py. （7） f -3y12 y22 y32 y42.
1st : 求正交矩阵P； 2nd : 经正交变换x Py,
二次型f =1 y12 2 y22 ... n yn2.
x1
记
A
a21
a22
a2n
,
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
二次型可以表示成
nn
f (x1,x2,,xn )
aij xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
1 1 0 1
A
1 0
0 2
2 3
百度文库
2
0.5
.
1
2 0.5
4
二、二次型的标准形
定义 如果一个二次型只含变量的平方项， 则称这个二次型为标准形.
此时二次型f d1x12 d2 x22 dn xn2 =xT x.
d1
对应矩阵为对角矩阵=
1
1
1
0
用正交变换把它化为标准形.
（1） 求特征值. 1= - 3, 2 =3 =4 =1
1 1 1 1
（2）求特征向量.
p1
=
1 1
,
p2
=
1 0
,p3
=
0 1
,p4
=
0 0
1
0
0
1
1 1 0 1
（3）正交化.
1
=
1 1
,
2
=
1 0
,3
=
0 1
,
4
=
1 1
1
0
1
1
d2
.
dn
问题：对于二次型，是否存在可逆线性变换，把 二次型化为标准形.
令 x Cy ，其中C为可逆阵
f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC ) y yT y
用矩阵表示，即是否存在可逆阵C, 使得 CT AC .
定义 设 A 和 B 是 n 阶矩阵 , 若有可逆矩阵 P , 使 B PT AP , 则称矩阵 A 与 B 合同.记A B
（4）单位化.
1
1
0
1
1
=
1 2
1 1
,
2
=
1 2
1 0
,3
=
1 2
0 1
,4
=
1 2
1 1
1
0
1
1
1
2
10 2
1
2
（5） 令P= 1, 2, 3, 4
练习
（13.1） 求正交变换x Py,化二次型 f (x1, x2 , x3) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3
为标准形.
三、用配方法求二次型的标准形
问题 有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？
配方法
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形 .
称这种标准形为二次型的相似标准形.
1
此时P1AP PT AP
2
n
利用正交变换化二次型为标准形
例3 设4元二次型f (x1, x2 , x3, x4 ) xT Ax的矩阵为
0 1 1 1
A=
1
0
1
1
1 1 0 1
阵. 这样, 实二次型与实对称矩阵之间就建立起
一一对应的关系.
例1 写出二次型f (x1, x2, x3) x12 3x32 4x1x2 x2x3 对应的矩阵.
1 2 1
例2
写出矩阵A
2
2
3
对应的二次型.
1 3 1
例 f (x1, x2, x3) x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
例4（11.10）用配方法化二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 2x32 4x1x2 12x2 x3 为标准形，并写出所做的可逆线性变换.
（3）二次型矩阵A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵 P，使得P1AP PT AP .
定理 任给二次型 f xT Ax,
总有正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形
f = 1y12 + 2 y22 + ···+ nyn2 ,
其中1 , 2 , ···, n 是 f 的矩阵 A = (aij) 的特征值.
知识结构
实二次型
二次型与矩阵
二次型
正交变换 标准形
配方法
规范形 惯性定理
正定二次型、正定矩阵
6.1 实二次型及其标准形
一、二次型概念及其对应矩阵 二、二次型的标准形 三、用配方法求标准形 四、规范形
一、二次型概念及其对应矩阵
定义 称 n 个变量的二次齐次式
f(x1 , x2 , ···, xn ) = a11x12 + a22x22 + ···+ annxn2 +
等价A B : B PAQ,其中P,Q可逆； 相似A B : B P -1AP, 其中P可逆； 合同A B : B P T AP,其中P可逆.
注 :（1）相似一定等价，合同一定等价；相似、合同 具有反身性，对称性，传递性； （2）若P为正交矩阵，则P1 PT ,此时相似即合同. 即正交相似必合同.
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2
2
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0
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（6） 令正交变换x Py. （7） f -3y12 y22 y32 y42.
1st : 求正交矩阵P； 2nd : 经正交变换x Py,
二次型f =1 y12 2 y22 ... n yn2.
x1
记
A
a21
a22
a2n
,
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
二次型可以表示成
nn
f (x1,x2,,xn )
aij xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
1 1 0 1
A
1 0
0 2
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百度文库
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0.5
.
1
2 0.5
4
二、二次型的标准形
定义 如果一个二次型只含变量的平方项， 则称这个二次型为标准形.
此时二次型f d1x12 d2 x22 dn xn2 =xT x.
d1
对应矩阵为对角矩阵=
1
1
1
0
用正交变换把它化为标准形.
（1） 求特征值. 1= - 3, 2 =3 =4 =1
1 1 1 1
（2）求特征向量.
p1
=
1 1
,
p2
=
1 0
,p3
=
0 1
,p4
=
0 0
1
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（3）正交化.
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=
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=
1 0
,3
=
0 1
,
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1 1
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dn
问题：对于二次型，是否存在可逆线性变换，把 二次型化为标准形.
令 x Cy ，其中C为可逆阵
f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC ) y yT y
用矩阵表示，即是否存在可逆阵C, 使得 CT AC .
定义 设 A 和 B 是 n 阶矩阵 , 若有可逆矩阵 P , 使 B PT AP , 则称矩阵 A 与 B 合同.记A B
（4）单位化.
1
1
0
1
1
=
1 2
1 1
,
2
=
1 2
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,3
=
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0 1
,4
=
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0
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（5） 令P= 1, 2, 3, 4
练习
（13.1） 求正交变换x Py,化二次型 f (x1, x2 , x3) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3
为标准形.
三、用配方法求二次型的标准形
问题 有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？
配方法
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形 .
称这种标准形为二次型的相似标准形.
1
此时P1AP PT AP
2
n
利用正交变换化二次型为标准形
例3 设4元二次型f (x1, x2 , x3, x4 ) xT Ax的矩阵为
0 1 1 1
A=
1
0
1
1
1 1 0 1
阵. 这样, 实二次型与实对称矩阵之间就建立起
一一对应的关系.
例1 写出二次型f (x1, x2, x3) x12 3x32 4x1x2 x2x3 对应的矩阵.
1 2 1
例2
写出矩阵A
2
2
3
对应的二次型.
1 3 1
例 f (x1, x2, x3) x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
例4（11.10）用配方法化二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 2x32 4x1x2 12x2 x3 为标准形，并写出所做的可逆线性变换.
（3）二次型矩阵A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵 P，使得P1AP PT AP .
定理 任给二次型 f xT Ax,
总有正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形
f = 1y12 + 2 y22 + ···+ nyn2 ,
其中1 , 2 , ···, n 是 f 的矩阵 A = (aij) 的特征值.