上海洪山中学数学旋转几何综合(篇)(Word版 含解析)

上海洪山中学数学旋转几何综合（篇）（Word 版 含解析）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．

【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝

492． 【解析】

【分析】 （1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12

PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；

（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12

PM BD =，12

PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；

（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．

【详解】

解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，

//PN BD ∴，12

PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，

//PM CE ∴，12

PM CE =， AB AC =，AD AE =，

BD CE ∴=，

PM PN ∴=，

//PN BD ，

DPN ADC ∴∠=∠，

//PM CE ，

DPM DCA ∴∠=∠，

90BAC ∠=︒，

90ADC ACD ∴∠+∠=︒，

90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，

PM PN ∴⊥，

故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；

（2）PMN ∆是等腰直角三角形．

由旋转知，BAD CAE ∠=∠，

AB AC =，AD AE =，

()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，

ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12

PM CE =， PM PN ∴=，

PMN ∴∆是等腰三角形，

同（1）的方法得，//PM CE ，

DPM DCE ∴∠=∠，

同（1）的方法得，//PN BD ，

PNC DBC ∴∠=∠，

DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，

MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠

BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠

ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，

90BAC ∠=︒，

90ACB ABC ∴∠+∠=︒，

90MPN ∴∠=︒，

PMN ∴∆是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，

MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，

//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，

MN ∴最大AM AN =+，

连接AM ，AN ，

在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，

22AM ∴=

在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =

22522MN ∴=最大，

222111149(72)22242

PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12

PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，

∴点D 在BA 的延长线上，

14BD AB AD ∴=+=，

7PM ∴=，

2211497222

PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】

此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出

12PM CE =，12

PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．

2．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．

（1）求AF 和BE 的长；

（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）129,55AF BF =

=；（2）95

m =或165m =；（3）存在4组符合条件的点P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或25891055或35105

【解析】

【分析】

（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；

（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．

【详解】

（1）∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠BAD=90°，

在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4，

由勾股定理得：2222345AB AD +=+=， ∵S △ABD 12=

BD•AE=12AB•AD ， ∴AE=AB AD 3412BD 55

⋅⨯==， ∵点F 是点E 关于AB 的对称点， ∴AF=AE 125=

，BF=BE ， ∵AE ⊥BD ，